Sampling of Continuous-Time Signals連續時間訊號的取樣連続時間信号の標本化

6.1 Periodic Sampling6.1 週期取樣6.1 周期標本化

6.1.1 The Ideal Continuous-to-Discrete (C/D) Converter6.1.1 理想的連續到離散（C/D）轉換器6.1.1 理想的な連続時間→離散時間（C/D）変換器

Digital signal processing of real-world signals begins by converting a continuous-time (CT) signal into a discrete-time (DT) sequence. Periodic sampling records the value of $x_c(t)$ at uniformly spaced sampling instants $t = nT$:

真實世界訊號的數位處理，第一步是把連續時間（CT）訊號轉換成離散時間（DT）序列。週期取樣就是在等間隔的取樣時刻 $t = nT$ 記錄 $x_c(t)$ 的值：

実世界の信号のディジタル信号処理は、連続時間（CT）信号を離散時間（DT）系列へ変換するところから始まる。周期標本化とは、等間隔に並んだ標本化時刻 $t = nT$ において $x_c(t)$ の値を記録することである：

Here $T$ is the sampling period (seconds/sample), its reciprocal $f_s = 1/T$ is the sampling frequency (samples/second or Hz), and in radian units

這裡 $T$ 是取樣週期（秒／樣本），它的倒數 $f_s = 1/T$ 是取樣頻率（樣本／秒，也就是 Hz）；若換成弧度單位，則寫成

ここで $T$ は標本化周期（秒／標本）、その逆数 $f_s = 1/T$ は標本化周波数（標本／秒、すなわち Hz）であり、ラジアン単位では次のように書く

6.1.2 Impulse-Train Model of Sampling6.1.2 取樣的脈衝串模型6.1.2 標本化のインパルス列モデル

To analyze sampling mathematically we use a two-stage model. First multiply $x_c(t)$ by a periodic impulse train $s(t)$, then convert the impulse areas to a sequence:

為了用數學分析取樣，我們採用兩段式的模型：先把 $x_c(t)$ 乘上週期性的脈衝串（impulse train）$s(t)$，再把每根脈衝的面積轉換成序列：

標本化を数学的に解析するために、二段階のモデルを用いる。まず $x_c(t)$ に周期的なインパルス列 $s(t)$ を掛け、次にインパルスの面積を系列へ変換する：

The signal $x_s(t)$ (also written $x_p(t)$ in the slides) is still a CT signal — a train of impulses whose areas equal the sample values $x_c(nT)$. The DT sequence $x[n]=x_c(nT)$ carries exactly the same information but lives on the integer axis, with the time scale $T$ removed.

訊號 $x_s(t)$（投影片中也寫成 $x_p(t)$）仍然是連續時間訊號——它是一串脈衝，每根脈衝的面積等於樣本值 $x_c(nT)$。離散序列 $x[n]=x_c(nT)$ 帶著完全相同的資訊，但它活在整數軸上，時間尺度 $T$ 已經被拿掉了。

信号 $x_s(t)$（スライドでは $x_p(t)$ とも書かれる）は依然として連続時間信号である——インパルスの列であり、各インパルスの面積が標本値 $x_c(nT)$ に等しい。離散時間系列 $x[n]=x_c(nT)$ はまったく同じ情報を担うが、整数軸の上に住んでおり、時間尺度 $T$ は取り除かれている。

6.2 Frequency-Domain Analysis of Sampling6.2 取樣的頻域分析6.2 標本化の周波数領域解析

6.2.1 Spectrum Replication at Multiples of Ω_s6.2.1 頻譜在 Ω_s 的整數倍處複製6.2.1 Ω_s の整数倍におけるスペクトルの複製

The impulse train $s(t)$ is periodic with period $T$, so its CTFT is itself an impulse train in frequency, with spacing $\Omega_s = 2\pi/T$ and area $2\pi/T$:

脈衝串 $s(t)$ 以 $T$ 為週期，所以它的 CTFT 本身也是一串頻率上的脈衝，間距為 $\Omega_s = 2\pi/T$，每根的面積是 $2\pi/T$：

インパルス列 $s(t)$ は周期 $T$ の周期信号なので、その CTFT 自身も周波数軸上のインパルス列となり、間隔は $\Omega_s = 2\pi/T$、各インパルスの面積は $2\pi/T$ である：

Multiplication in time is convolution in frequency (divided by $2\pi$), so the spectrum of the sampled signal is a sum of shifted and scaled copies of $X_c(j\Omega)$:

時域相乘等於頻域摺積（再除以 $2\pi$），所以取樣後訊號的頻譜，就是 $X_c(j\Omega)$ 一堆平移且縮放的複本相加：

時間領域の乗算は周波数領域の畳み込み（さらに $2\pi$ で割る）に対応するので、標本化された信号のスペクトルは $X_c(j\Omega)$ の平行移動・定数倍されたコピーの和になる：

6.2.2 CT and DT Spectra — the Mapping ω = ΩT6.2.2 類比與數位頻譜——ω = ΩT 的對應6.2.2 連続時間スペクトルと離散時間スペクトル——対応 ω = ΩT

How does the CTFT of $x_s(t)$ relate to the DTFT of the sequence $x[n]$? Take the CTFT of the impulse-train expression term by term:

$x_s(t)$ 的 CTFT 和序列 $x[n]$ 的 DTFT 之間有什麼關係？把脈衝串的表示式逐項取 CTFT：

$x_s(t)$ の CTFT は系列 $x[n]$ の DTFT とどう関係するのか。インパルス列の表現を項ごとに CTFT してみよう：

The two sums are identical when $\omega = \Omega T$. Hence

當 $\omega = \Omega T$ 時，這兩個和式完全相同。因此

$\omega = \Omega T$ のとき、この二つの和は完全に一致する。したがって

Putting the last row together: the analog radian frequency that equals half the sampling frequency is one single point, and each domain spells it its own way.

把表格最後幾列合起來看：等於取樣頻率一半的那個類比角頻率，其實是同一個點，只是每個領域各有各的寫法。

最後の行をまとめると、標本化周波数の半分に等しいアナログ角周波数はただ一つの点であり、各領域がそれを自分の流儀で書き表しているにすぎない。

It is the right-hand edge of the useful band in either picture: the green dashed lines at $\pm\Omega_s/2$ in Fig. 6-2 mark it on the analog axis, and the same point sits at the end of the $\omega$ axis at $\pi$. Three things make it worth naming:

不論從哪張圖看，它都是可用頻帶的右端點：圖 6-2 中 $\pm\Omega_s/2$ 的綠色虛線在類比軸上標出它，而同一個點在 $\omega$ 軸上就是 $\pi$。它值得單獨命名，有三個理由：

どちらの図で見ても、それは有効帯域の右端である。図 6-2 の $\pm\Omega_s/2$ にある緑の破線がアナログ軸上でそれを示し、同じ点が $\omega$ 軸では端の $\pi$ に位置する。この点に名前を与える価値がある理由は三つある：

• The highest representable frequency. A cosine there gets exactly two samples per cycle, so the sequence is $1, -1, 1, -1,\ldots$ — the fastest alternation a sequence can show. It is a boundary case in the strict sense: the sine at the same frequency samples to all zeros instead (see the warning in §6.3.1).
• The mirror that aliases fold about. Content above $\Omega_s/2$ reflects back across this point. With $f_s = 10$ kHz, a 6 kHz tone reappears at 4 kHz, because 6 kHz and 4 kHz sit symmetrically about 5 kHz.
• The reference line for design. The signal's highest frequency must stay below it, and so must the anti-aliasing filter's cutoff (§6.3.3, §6.3.5).

• 能表示的最高頻率。在這個頻率上，餘弦波每個週期剛好只取到 兩個樣本，序列變成 $1, -1, 1, -1,\ldots$——這是序列所能呈現最快的正負交替。 嚴格說它是個邊界情況：同頻率的正弦波取樣後會全部變成零（見 §6.3.1 的提醒）。
• 混疊折返所依據的那面鏡子。高於 $\Omega_s/2$ 的成分會以這個點為鏡面反射回來。 當 $f_s = 10$ kHz 時，6 kHz 的訊號會出現在 4 kHz，因為 6 kHz 與 4 kHz 對 5 kHz 恰好對稱。
• 設計時的參考線。訊號的最高頻率必須低於它，抗混疊濾波器的截止頻率也一樣 （§6.3.3、§6.3.5）。

• 表現できる最高の周波数。そこにある余弦波はちょうど 1 周期あたり 2 標本しか得られないので、系列は $1, -1, 1, -1,\ldots$ となる——系列が示しうる最も速い交番である。厳密な意味では境界のケースでもある：同じ周波数の正弦波は標本化するとすべてゼロになってしまう（§6.3.1 の注意を参照）。
• 折り返しが鏡映する基準線。$\Omega_s/2$ より上の成分はこの点を軸にして折り返してくる。$f_s = 10$ kHz なら 6 kHz の正弦波は 4 kHz に現れる。6 kHz と 4 kHz が 5 kHz について対称だからである。
• 設計の基準線。信号の最高周波数はこれより下になければならず、アンチエイリアシングフィルタの遮断周波数も同様である（§6.3.3、§6.3.5）。

In one line: $\Omega = \Omega_s/2$ is the ceiling on the analog frequency axis that this sampling rate can represent faithfully; past it, aliasing.

一句話：$\Omega = \Omega_s/2$ 就是類比頻率軸上，這個取樣率所能忠實表示的上限；超過它，就是混疊。

一言で言えば、$\Omega = \Omega_s/2$ はこの標本化レートが忠実に表現できる、アナログ周波数軸上の上限である。それを超えれば折り返しが起きる。

Amplitude bookkeeping: where the $1/T$ comes from, and where it goes振幅的帳要算清楚：$1/T$ 從哪裡來，又到哪裡去振幅の帳尻：$1/T$ はどこから来て、どこへ行くのか

A natural misreading of the slide that stacks $g_p(t) \leftrightarrow G_p(j\Omega)$ above $g[n] \leftrightarrow G(e^{j\omega})$ is that the second row somehow "puts the amplitude back". It does not. Suppose the original analog spectrum $G_a(j\Omega)$ has peak height $M$. Then:

投影片把 $g_p(t) \leftrightarrow G_p(j\Omega)$ 疊在 $g[n] \leftrightarrow G(e^{j\omega})$ 上面，很容易讓人誤以為第二列「把振幅補回來了」。並沒有。設原本的類比頻譜 $G_a(j\Omega)$ 峰值高度為 $M$，那麼：

$g_p(t) \leftrightarrow G_p(j\Omega)$ を $g[n] \leftrightarrow G(e^{j\omega})$ の上に並べたスライドを見ると、二段目で「振幅が元に戻された」かのように読みたくなるが、そうではない。元のアナログスペクトル $G_a(j\Omega)$ のピーク高さを $M$ としよう。すると：

The reason is that the relation between them is a pure change of variable, with nothing multiplying the function value:

理由是：兩者之間的關係是一個純粹的變數代換，函數值本身並沒有被乘上任何東西：

その理由は、両者の関係が純粋な変数変換であり、関数の値に何かが掛かっているわけではないからである：

Where the $1/T$ came from$1/T$ 是怎麼來的$1/T$ はどこから来たのか

From the Fourier series of the impulse train in §6.2.1. Expanding the $T$-periodic $s(t)$ into harmonics,

來自 §6.2.1 中脈衝串的傅立葉級數。把週期為 $T$ 的 $s(t)$ 展開成諧波，

§6.2.1 のインパルス列のフーリエ級数からである。周期 $T$ の $s(t)$ を高調波に展開すると、

every harmonic carries the coefficient $1/T$, so when multiplication by $s(t)$ replicates $G_a$, each copy is scaled by $1/T$. The intuition: the smaller $T$ is, the more impulses per second the train contains, the more total strength it has, and the taller the resulting spectrum. $1/T$ is a measure of sampling density, not a property of the signal.

每一個諧波的係數都是 $1/T$，所以當乘上 $s(t)$ 把 $G_a$ 複製出去時，每一份複本都被乘上了 $1/T$。直觀上可以這樣想：$T$ 越小，脈衝串每秒包含的脈衝就越多、總強度越大，做出來的頻譜也就越高。$1/T$ 量的是取樣密度，而不是訊號本身的性質。

どの高調波も係数 $1/T$ をもつので、$s(t)$ を掛けて $G_a$ が複製されるとき、各複製は $1/T$ 倍される。直観的には、$T$ が小さいほどインパルス列は毎秒より多くのインパルスを含み、全体の強さが大きくなり、結果として得られるスペクトルも高くなる。$1/T$ は標本化密度の尺度であって、信号の性質ではない。

A units check confirms it. $G_a(j\Omega)$ is an integral over time, so it carries units of (signal)$\times$s; $G(e^{j\omega})$ is a plain sum of samples, so it carries units of (signal) alone. Dividing by $T$ is exactly what removes the second.

用單位檢查也能確認。$G_a(j\Omega)$ 是對時間的積分，單位是（訊號單位）$\times$ 秒；$G(e^{j\omega})$ 只是樣本的加總，單位就只有（訊號單位）。除以 $T$ 做的正是把「秒」消掉這件事。

単位を確かめれば裏づけが取れる。$G_a(j\Omega)$ は時間についての積分なので（信号の単位）$\times$秒 の次元をもつ。$G(e^{j\omega})$ は標本の単なる和なので（信号の単位）だけをもつ。$T$ で割るという操作は、まさにその「秒」を消す操作である。

Where the amplitude is actually restored振幅真正被補回來的地方振幅が実際に取り戻される場所

Not in this step, but at reconstruction. The ideal D/C filter of §6.4.1 is specified with passband gain $T$ precisely to cancel the $1/T$:

不在這一步，而是在重建的時候。§6.4.1 的理想 D/C 濾波器之所以把通帶增益訂為 $T$，正是為了抵消這個 $1/T$：

この段階ではなく、再構成においてである。§6.4.1 の理想 D/C フィルタの通過域利得が $T$ と定められているのは、ちょうどこの $1/T$ を打ち消すためである：

The filter keeps only the centre replica and discards the rest, and its gain $T$ lifts that replica from $M/T$ back to $M$ — which is $G_a(j\Omega)$ again.

濾波器只留下中央那一份複本、丟掉其餘的，而它的增益 $T$ 把那份複本從 $M/T$ 抬回 $M$——也就是又回到 $G_a(j\Omega)$。

フィルタは中央の複製だけを残して他を捨て、その利得 $T$ がその複製を $M/T$ から $M$ へ持ち上げる——これは再び $G_a(j\Omega)$ である。

6.2.3 What π rad/sample Actually Means（π rad/sample 的物理意義）6.2.3 π rad/sample 的物理意義6.2.3 π rad/sample が実際に意味するもの（π rad/sample の物理的意味）

The unit rad/sample is the whole point: $\omega$ measures the signal's frequency relative to the sampling rate, not in absolute terms. So $\omega = \pi$ says exactly one thing — the signal frequency is half the sampling frequency.

rad/sample 這個單位正是重點：$\omega$ 量的是訊號頻率相對於取樣率的比例，而不是絕對的頻率。所以 $\omega = \pi$ 只說了一件事——訊號頻率剛好是取樣頻率的一半。

rad/sample という単位こそが要点である：$\omega$ は信号の周波数を標本化レートに対する比として測るのであって、絶対的な値として測るのではない。したがって $\omega = \pi$ が言っていることはただ一つ——信号周波数は標本化周波数の半分であるということだ。

Read it as cycles per sample. One full cycle is $2\pi$ radians, so

把它讀成「每個樣本走幾個週期」。一個完整週期是 $2\pi$ 弧度，所以

1 標本あたり何周期進むか、と読むこと。1 周期は $2\pi$ ラジアンなので、

Putting $\omega = \pi$ gives $\tfrac{\pi}{2\pi} = 0.5$ cycle/sample: each sample advances the waveform by half a cycle, so a full cycle takes two samples. Turned around — the signal is sampled only twice per period, which is the bare minimum the sampling theorem allows.

代入 $\omega = \pi$ 得到 $\tfrac{\pi}{2\pi} = 0.5$ cycle/sample：每個樣本讓波形前進半個週期，所以走完一個週期需要兩個樣本。反過來說，訊號每個週期只被取樣兩次，正是取樣定理允許的最低下限。

$\omega = \pi$ を代入すると $\tfrac{\pi}{2\pi} = 0.5$ cycle/sample となる。1 標本ごとに波形は半周期進むので、1 周期を終えるのに 2 標本かかる。裏返せば、信号は1 周期あたり 2 回しか標本化されておらず、これは標本化定理が許す最低限である。

On its own it names no physical frequency. $\omega$ is a ratio; to recover hertz you must know $f_s$:

它本身並不代表任何實際的物理頻率。$\omega$ 是一個比值；要換回 Hz，必須知道 $f_s$：

それ自体は物理的な周波数を何も指定しない。$\omega$ は比であり、ヘルツに戻すには $f_s$ を知らなければならない：

The same $\omega = \pi$ means 4 kHz in one row and 500 MHz in another. This is the point of Fig. 6-1: once you hold only $x[n]$, the samples carry no time units at all, so $\omega$ cannot carry hertz either.

同樣是 $\omega = \pi$，在某一列代表 4 kHz，在另一列卻是 500 MHz。這正是圖 6-1 的重點：一旦手上只剩 $x[n]$，樣本就完全不帶時間單位，$\omega$ 自然也不可能帶著 Hz。

同じ $\omega = \pi$ が、ある行では 4 kHz を、別の行では 500 MHz を意味する。これが図 6-1 の要点である。いったん $x[n]$ だけを手にしてしまえば、標本は時間の単位をまったく担わないので、$\omega$ もヘルツを担いようがない。

$\omega = \pi$ means half a turn per sample: the sequence is $1, -1, 1, -1,\ldots$, one full cycle every two samples. That is the fastest a sequence can alternate, so it is the highest frequency a discrete-time signal can represent — and therefore the Nyquist frequency always sits at $\omega = \pi$ in normalized frequency, whatever $T$ happens to be.

$\omega = \pi$ 表示每個樣本轉半圈，序列是 $1, -1, 1, -1,\ldots$，每 2 個樣本一個週期。這是離散序列能表示的最高頻率，所以不論 $T$ 是多少，Nyquist 頻率在數位頻率上永遠是 $\pi$。

$\omega = \pi$ は 1 標本あたり半回転を意味する。系列は $1, -1, 1, -1,\ldots$ であり、2 標本ごとに 1 周期となる。これは系列が交番しうる最速であり、したがって離散時間信号が表現できる最高の周波数である——ゆえに $T$ がいくつであろうと、ナイキスト周波数は正規化周波数では常に $\omega = \pi$ に位置する。

The analog Nyquist frequency $\pi/T$ moves whenever $T$ moves; its normalized image does not, because $\omega = \Omega T$ absorbs exactly that factor.

類比的 Nyquist 頻率 $\pi/T$ 會隨著 $T$ 而變；它在正規化頻率上的影像卻不會，因為 $\omega = \Omega T$ 剛好把那個因子吸收掉了。

アナログのナイキスト周波数 $\pi/T$ は $T$ が動けば動くが、その正規化された像は動かない。$\omega = \Omega T$ がちょうどその因子を吸収するからである。

6.2.4 Why the DT Spectrum Is Periodic and the CT Spectrum Is Not6.2.4 數位頻譜為什麼是週期的，類比頻譜卻不是6.2.4 離散時間スペクトルが周期的で、連続時間スペクトルがそうでない理由

The replication formula makes the DTFT $2\pi$-periodic, but the root cause is simpler and sits entirely in the exponent: $n$ must be an integer, while $t$ may be any real number.

複製公式讓 DTFT 以 $2\pi$ 為週期，但根本原因更簡單，而且完全藏在指數裡：離散時間的 $n$ 只能是整數，連續時間的 $t$ 卻可以是任意實數。

複製の公式は DTFT を $2\pi$ 周期にするが、根本の原因はもっと単純で、すべて指数の中にある：$n$ は整数でなければならないが、$t$ は任意の実数でよい。

Discrete time — $\omega$ and $\omega+2\pi$ cannot be told apart. Because $n$ is an integer, $e^{j2\pi n}$ is always exactly 1:

離散時間——$\omega$ 和 $\omega+2\pi$ 無法區分。因為 $n$ 是整數，$e^{j2\pi n}$ 永遠恰好等於 1：

離散時間——$\omega$ と $\omega+2\pi$ は区別できない。$n$ が整数なので、$e^{j2\pi n}$ は常にちょうど 1 である：

The two frequencies generate the identical sequence, so the transform repeats, $G(e^{j(\omega+2\pi)}) = G(e^{j\omega})$, and a single period — conventionally $-\pi$ to $\pi$ — already contains everything there is to know.

兩個頻率產生的是完全相同的序列，所以轉換會重複：$G(e^{j(\omega+2\pi)}) = G(e^{j\omega})$。既然如此，只要看一個週期——習慣上取 $-\pi$ 到 $\pi$——就已經包含了全部的資訊。

二つの周波数はまったく同じ系列を生むので、変換は繰り返し $G(e^{j(\omega+2\pi)}) = G(e^{j\omega})$ となり、1 周期——慣例として $-\pi$ から $\pi$ まで——だけで知るべきことはすべて含まれている。

Continuous time — every $\Omega$ is distinct. Here $t$ ranges over the reals, so $e^{j2\pi t}$ is not identically 1 (at $t=0.25$ it equals $j$):

連續時間——每個 $\Omega$ 都不一樣。這裡 $t$ 取遍所有實數，所以 $e^{j2\pi t}$ 不會恆等於 1（例如 $t=0.25$ 時它等於 $j$）：

連続時間——どの $\Omega$ も互いに異なる。ここでは $t$ が実数全体を動くので、$e^{j2\pi t}$ は恒等的に 1 ではない（$t=0.25$ では $j$ になる）：

Different $\Omega$ always means a different signal, and the frequency axis runs from $-\infty$ to $\infty$ without ever repeating.

不同的 $\Omega$ 永遠對應不同的訊號，頻率軸從 $-\infty$ 一路延伸到 $\infty$，從不重複。

$\Omega$ が異なれば常に信号も異なり、周波数軸は $-\infty$ から $\infty$ まで一度も繰り返すことなく伸びていく。

The intuition. A continuous signal has a value at every instant, so however fast it oscillates, the oscillation is fully described. A sequence only has values at integer points — whatever happens between samples is invisible. In the rotating picture of §6.2.3, $e^{j\omega n}$ turns $\omega$ radians per sample: turning $\pi/4$ and turning $\pi/4 + 2\pi$ (one extra full revolution) land on exactly the same positions at every sampling instant. Discrete time can therefore only distinguish rotation speeds within a $2\pi$ range — which is aliasing, seen from the unit circle.

直觀的理解。連續訊號在任何時刻都有值，所以不論振盪多快，都被完整描述了。序列卻只在整數點上有值——樣本之間發生什麼事完全看不到。用 §6.2.3 的旋轉畫面來說：$e^{j\omega n}$ 每個樣本在單位圓上轉 $\omega$ 弧度，轉 $\pi/4$ 和轉 $\pi/4 + 2\pi$（多繞整整一圈），在每個取樣時刻看到的位置一模一樣。所以離散時間只能分辨 $2\pi$ 範圍內的轉速——從單位圓看過去，這就是混疊。

直観。連続信号はあらゆる瞬間に値をもつので、どれほど速く振動しても、その振動は完全に記述される。系列は整数点にしか値をもたない——標本と標本の間で何が起きても見えない。§6.2.3 の回転の絵で言えば、$e^{j\omega n}$ は 1 標本あたり $\omega$ ラジアン回る。$\pi/4$ 回るのと $\pi/4 + 2\pi$ 回る（まるまる 1 回転多い）のとでは、どの標本化時刻でもまったく同じ位置に来る。したがって離散時間は $2\pi$ の範囲内の回転速度しか区別できない——単位円から見た折り返しとは、このことである。

Seen from the sampling side. The result of §6.2.2 says the same thing in the frequency domain: sampling copies the analog spectrum at every multiple of $2\pi$ on the $\omega$ axis. The continuous signal's own spectrum $X_c(j\Omega)$ carries no such restriction — it is the act of sampling that makes the spectrum periodic.

從取樣的角度看。§6.2.2 的結果在頻域說的是同一件事：取樣會把類比頻譜沿著 $\omega$ 軸每隔 $2\pi$ 複製一份。連續訊號本身的頻譜 $X_c(j\Omega)$ 並沒有這種限制——是取樣這個動作讓頻譜變成週期性的。

標本化の側から見る。§6.2.2 の結果は周波数領域で同じことを述べている。標本化はアナログスペクトルを $\omega$ 軸上の $2\pi$ の整数倍ごとに複製する。連続信号自身のスペクトル $X_c(j\Omega)$ にはそのような制約はない——スペクトルを周期的にするのは標本化という行為なのである。

6.3 The Nyquist Sampling Theorem and Aliasing6.3 Nyquist 取樣定理與混疊6.3 ナイキストの標本化定理と折り返し

6.3.1 The Sampling Theorem6.3.1 取樣定理6.3.1 標本化定理

From Fig. 6-2: if $x_c(t)$ is bandlimited, i.e. $X_c(j\Omega) = 0$ for $|\Omega| \ge \Omega_N$, the replicas remain disjoint provided $\Omega_s - \Omega_N \ge \Omega_N$. This is the Nyquist–Shannon sampling theorem:

回到圖 6-2：如果 $x_c(t)$ 是帶限（bandlimited）的，也就是 $|\Omega| \ge \Omega_N$ 時 $X_c(j\Omega) = 0$，那麼只要 $\Omega_s - \Omega_N \ge \Omega_N$，複本就不會重疊。這就是 Nyquist–Shannon 取樣定理：

図 6-2 から：$x_c(t)$ が帯域制限されている、すなわち $|\Omega| \ge \Omega_N$ で $X_c(j\Omega) = 0$ であるなら、$\Omega_s - \Omega_N \ge \Omega_N$ が成り立つかぎり複製は互いに重ならない。これがナイキスト–シャノンの標本化定理である：

• $2\Omega_N$ is called the Nyquist rate — the minimum sampling rate.
• $\Omega_s/2$ is called the Nyquist frequency — the highest analog frequency representable at sampling rate $\Omega_s$.

• $2\Omega_N$ 稱為奈奎斯特率（Nyquist rate）—— 取樣率的下限。
• $\Omega_s/2$ 稱為奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）—— 在取樣率 $\Omega_s$ 之下所能表示的最高類比頻率。

• $2\Omega_N$ をナイキストレートと呼ぶ——標本化レートの下限である。
• $\Omega_s/2$ をナイキスト周波数と呼ぶ——標本化レート $\Omega_s$ のもとで表現できる最高のアナログ周波数である。

Where the condition comes from — count the edges. $\Omega_N$ is the signal's highest frequency (lecture slides often write $\Omega_M$, M for maximum), so "bandlimited at $\Omega_N$" means the spectrum has no energy at all outside that band:

這個條件是怎麼來的——數一數邊界。$\Omega_N$ 是訊號的最高頻率（下標 N 代表最高頻率；投影片常寫成 $\Omega_M$，M 取自 maximum）。所以「帶限於 $\Omega_N$」的意思是：超出這個頻帶，頻譜完全沒有能量：

この条件の出どころ——端を数える。$\Omega_N$ は信号の最高周波数である（講義スライドではしばしば $\Omega_M$ と書かれる。M は maximum の M）。したがって「$\Omega_N$ で帯域制限されている」とは、その帯域の外ではスペクトルがまったくエネルギーをもたないという意味である：

Each replica is therefore $2\Omega_N$ wide, and they sit $\Omega_s$ apart (the slides write $\Omega_T$ for this chapter's $\Omega_s$). Reading the two edges that face each other:

因此每個複本的寬度是 $2\Omega_N$，彼此相隔 $\Omega_s$（投影片寫成 $\Omega_T$，就是本章的 $\Omega_s$）。把面對面的那兩個邊界讀出來：

ゆえに各複製の幅は $2\Omega_N$ であり、互いに $\Omega_s$ だけ離れている（スライドでは本章の $\Omega_s$ を $\Omega_T$ と書く）。向かい合う二つの端を読み取ると：

That gap between the hills in Fig. 6-2 (middle panel) is the sampling theorem holding. On the $\omega$ axis the same statement reads $\omega_N = \Omega_N T < \pi$: the signal's highest digital frequency must stay below $\pi$, which is §6.2.2's Nyquist point seen from the signal's side.

圖 6-2 中間那張圖裡，山丘之間的那道空隙就是取樣定理成立的樣子。換到 $\omega$ 軸上，同一句話寫成 $\omega_N = \Omega_N T < \pi$：訊號的最高數位頻率必須低於 $\pi$——這正是 §6.2.2 的 Nyquist 點，只是改從訊號這一側來看（與前面 $\omega=\pi$ 的結論一致）。

図 6-2（中段）の山と山の間にあるあの隙間がまさに標本化定理の成立している姿である。$\omega$ 軸では同じ主張が $\omega_N = \Omega_N T < \pi$ と書ける。信号の最高ディジタル周波数は $\pi$ より下になければならない——これは §6.2.2 のナイキスト点を信号の側から見たものである。

6.3.2 Aliasing 混疊6.3.2 混疊6.3.2 折り返し（エイリアシング）

If $\Omega_s < 2\Omega_N$, the shifted copies in the replication formula overlap. High frequencies fold down and masquerade as low frequencies — they take on an alias. Once the copies are summed, the overlap cannot be filtered out and $x_c(t)$ can no longer be recovered.

如果 $\Omega_s < 2\Omega_N$，複製公式裡平移出來的複本就會重疊。高頻成分會折返下來，偽裝成低頻——也就是取了一個化名（alias）。一旦複本相加，重疊的部分再也濾不掉，$x_c(t)$ 也就無法還原了。

$\Omega_s < 2\Omega_N$ であれば、複製の公式に現れる平行移動されたコピーどうしが重なる。高い周波数は折り返して下りてきて、低い周波数になりすます——別名（alias）をまとうのである。いったんコピーが足し合わされてしまえば、重なりを濾波で取り除くことはできず、$x_c(t)$ はもはや復元できない。

For a sinusoid the alias is easy to compute: frequencies $\Omega_0$ and $\Omega_0 + k\Omega_s$ produce exactly the same samples:

對正弦訊號來說，別名很容易算：頻率 $\Omega_0$ 和 $\Omega_0 + k\Omega_s$ 產生的樣本完全相同：

正弦波については別名の計算は簡単である。周波数 $\Omega_0$ と $\Omega_0 + k\Omega_s$ はまったく同じ標本を生む：

6.3.3 Anti-Aliasing Filter 抗混疊濾波器6.3.3 抗混疊濾波器6.3.3 アンチエイリアシングフィルタ

Real signals (audio, sensor noise, RF interference) are never perfectly bandlimited. Before the C/D converter we therefore insert a CT lowpass filter — the anti-aliasing filter $H_{aa}(j\Omega)$ — that forcibly bandlimits the input to below the Nyquist frequency:

真實的訊號（語音、感測器雜訊、射頻干擾）從來不會是完美帶限的。所以在 C/D 轉換器之前，我們會插入一個類比低通濾波器——抗混疊濾波器 $H_{aa}(j\Omega)$——強制把輸入的頻寬壓到 Nyquist 頻率以下：

実際の信号（音声、センサ雑音、RF 干渉）は決して完全に帯域制限されてはいない。そこで C/D 変換器の手前に、入力を強制的にナイキスト周波数より下へ帯域制限する連続時間低域通過フィルタ——アンチエイリアシングフィルタ $H_{aa}(j\Omega)$——を挿入する：

6.3.4 Sampling Bandpass Signals 帶通取樣6.3.4 帶通訊號的取樣6.3.4 帯域通過信号の標本化

A signal need not sit around $\Omega = 0$. If its spectrum occupies a band $\Omega_L \le |\Omega| \le \Omega_H$ with bandwidth $\Delta\Omega = \Omega_H - \Omega_L$, sampling replicates the band at multiples of $\Omega_s$; as long as no replicas overlap, the signal can still be recovered, even with $\Omega_s$ far below $2\Omega_H$.

訊號不一定要落在 $\Omega = 0$ 附近。若它的頻譜占據 $\Omega_L \le |\Omega| \le \Omega_H$ 這一段、頻寬為 $\Delta\Omega = \Omega_H - \Omega_L$，取樣同樣會把這段頻帶複製到 $\Omega_s$ 的整數倍處；只要複本不重疊，訊號依然可以還原，即使 $\Omega_s$ 遠低於 $2\Omega_H$。

信号は $\Omega = 0$ の周りになければならないわけではない。そのスペクトルが帯域 $\Omega_L \le |\Omega| \le \Omega_H$（帯域幅 $\Delta\Omega = \Omega_H - \Omega_L$）を占めるとき、標本化はこの帯域を $\Omega_s$ の整数倍ごとに複製する。複製が重ならないかぎり、$\Omega_s$ が $2\Omega_H$ をはるかに下回っていても信号は復元できる。

The sampling rate is set by the bandwidth, not the highest frequency — the principle behind undersampling receivers in communications. Achieving the limit requires the band edges to align favorably with $\Omega_s$, so practical designs use somewhat higher rates.

取樣率是由頻寬決定的，不是由最高頻率決定——這正是通訊中欠取樣接收機（軟體無線電下變頻取樣）的原理。不過要真的逼近這個極限，頻帶邊界必須和 $\Omega_s$ 對得恰到好處，所以實務上會用稍高一點的取樣率。

標本化レートを決めるのは最高周波数ではなく帯域幅である——通信におけるアンダーサンプリング受信機の原理がこれである。ただしこの限界を実際に達成するには帯域端が $\Omega_s$ とうまく整合している必要があるので、実務上の設計ではやや高めのレートを使う。

6.3.5 The Nyquist Frequency in Practice（實務上怎麼用）6.3.5 實務上怎麼用 Nyquist 頻率6.3.5 実務でのナイキスト周波数（実際にどう使うか）

Read in the light of §6.2.3, the Nyquist frequency is the border between the analog and the digital world — one boundary with three spellings, one per domain:

對照 §6.2.3 來看，Nyquist 頻率就是類比世界與數位世界之間的邊界——同一個邊界，在三個領域各有一種寫法：

§6.2.3 に照らして読めば、ナイキスト周波数はアナログの世界とディジタルの世界の境界である——一つの境界に、領域ごとに一つずつ、三通りの書き方がある：

Two names are easy to confuse, and they are bounds in opposite directions — both were defined in §6.3.1:

有兩個名詞很容易混淆，而且它們是方向相反的兩種界線（一個是上限，一個是下限）；兩者都在 §6.3.1 定義過：

紛らわしい名前が二つあり、しかもそれらは互いに逆向きの限界である。どちらも §6.3.1 で定義した：

The no-aliasing condition is one statement seen from either side: sampling rate > Nyquist rate, equivalently highest signal frequency < Nyquist frequency.

不混疊的條件其實是同一句話的兩種看法：取樣率 > 奈奎斯特速率，等價於訊號最高頻率 < 奈奎斯特頻率。

折り返しが起きない条件は、どちらの側から見ても同じ一つの主張である。標本化レート > ナイキストレート、同じことだが、信号の最高周波数 < ナイキスト周波数。

1. Choosing $f_s$. Find the signal's highest frequency first, then pick $f_s$. In theory $f_s > 2f_{\max}$ suffices; in practice you leave margin, because no anti-aliasing filter has a brick-wall edge — it needs a transition band. CD audio is the standard illustration: hearing stops near 20 kHz, so 40 kHz would do in theory, yet the rate is 44.1 kHz — the extra 2.05 kHz is the filter's transition band. For a vibration sensor with content to 1 kHz, 2.5–5 kHz is typical.

1. 選擇 $f_s$。先知道訊號的最高頻率，再決定 $f_s$。理論上 $f_s > 2f_{\max}$ 就夠了；實務上會留餘裕，因為抗混疊濾波器不可能是直角截止，它需要一段過渡帶。CD 音訊是最典型的例子：人耳上限約 20 kHz，理論上 40 kHz 就夠，實際卻選 44.1 kHz——多出來的 2.05 kHz 就是留給濾波器的過渡帶。若是內容到 1 kHz 的振動感測器，通常會取 2.5–5 kHz。

1. $f_s$ を選ぶ。まず信号の最高周波数を把握し、それから $f_s$ を決める。理論上は $f_s > 2f_{\max}$ で足りるが、実務では余裕をとる。矩形の遮断特性をもつアンチエイリアシングフィルタなど存在せず、遷移帯域が必要だからである。CD オーディオが定番の例である。聴覚は 20 kHz 付近で止まるので理論上は 40 kHz で足りるはずだが、実際のレートは 44.1 kHz である——余分な 2.05 kHz がまさにフィルタの遷移帯域なのだ。1 kHz まで成分をもつ振動センサなら 2.5–5 kHz が典型である。

2. Designing the anti-aliasing filter. Its cutoff goes below the Nyquist frequency, and at $f_s/2$ its attenuation must already be negligible — commonly below the ADC's quantization noise floor (§6.6.2). Raising $f_s$ pushes the Nyquist frequency away from the signal band and makes the analog filter dramatically easier to build. That is the main argument for oversampling, and sigma-delta converters take the idea to its limit.

2. 設計抗混疊濾波器。它的截止頻率要設在 Nyquist 頻率以下，而且到了 $f_s/2$ 處衰減必須已經夠低——通常要求低於 ADC 的量化雜訊底（§6.6.2）。把 $f_s$ 拉高，Nyquist 頻率就離訊號頻帶更遠，類比濾波器也就好做得多。這正是過取樣（oversampling）最主要的理由，而 $\Sigma\Delta$ ADC 把這個想法推到了極致。

2. アンチエイリアシングフィルタを設計する。その遮断周波数はナイキスト周波数より下に置き、$f_s/2$ においては減衰が既に十分であること——ふつうは ADC の量子化雑音フロア（§6.6.2）より下に落ちていることが求められる。$f_s$ を上げればナイキスト周波数は信号帯域から遠ざかり、アナログフィルタは劇的に作りやすくなる。これがオーバーサンプリングを支持する主な論拠であり、シグマデルタ変換器はこの発想を極限まで推し進めたものである。

3. Writing digital filter specifications. A digital filter is designed on the $\omega$ axis, so every specification must first be expressed relative to the Nyquist frequency. With $f_s = 8$ kHz and a 1 kHz lowpass corner:

3. 寫數位濾波器的規格。數位濾波器是在 $\omega$ 軸上設計的，所以每一項規格都要先換算成相對於 Nyquist 頻率的比例。以 $f_s = 8$ kHz、低通轉角 1 kHz 為例：

3. ディジタルフィルタの仕様を書く。ディジタルフィルタは $\omega$ 軸の上で設計されるので、どの仕様もまずナイキスト周波数に対する比で表さなければならない。$f_s = 8$ kHz、低域通過の折れ点 1 kHz の場合：

4. Reading a spectrum. In a DTFT or FFT plot only $0$ to $\pi$ (that is, $0$ to $f_s/2$) carries information; for a real signal the half from $\pi$ to $2\pi$ is just the mirror image of the first. This is why FFT plots normally stop at the Nyquist frequency. A component that should not be there is a standard symptom of something above $f_s/2$ folding back, and you can predict where it lands:

4. 解讀頻譜圖。在 DTFT 或 FFT 圖上，只有 $0$ 到 $\pi$（也就是 $0$ 到 $f_s/2$）帶有資訊；對實數訊號而言，$\pi$ 到 $2\pi$ 那一半只是前半段的鏡像。這就是為什麼 FFT 圖通常畫到 Nyquist 頻率就停。如果看到一個不該存在的成分，那是高於 $f_s/2$ 的東西折回來的典型症狀，而且你可以算出它會落在哪裡：

4. スペクトルを読む。DTFT や FFT の図では $0$ から $\pi$ まで（すなわち $0$ から $f_s/2$ まで）だけが情報を担う。実信号では $\pi$ から $2\pi$ までの半分は前半の鏡像にすぎない。FFT の図がふつうナイキスト周波数で止まっているのはこのためである。あるはずのない成分が見えたら、$f_s/2$ より上の何かが折り返してきた典型的な兆候であり、それがどこに現れるかは予測できる：

With $f_s = 10$ kHz, a 13 kHz interferer shows up at $|13-10| = 3$ kHz — indistinguishable, in the plot alone, from a genuine 3 kHz tone.

當 $f_s = 10$ kHz 時，一個 13 kHz 的干擾會出現在 $|13-10| = 3$ kHz——單看圖，它和真正的 3 kHz 訊號完全分不出來。

$f_s = 10$ kHz のとき、13 kHz の妨害波は $|13-10| = 3$ kHz に現れる——図だけを見ていては、本物の 3 kHz の正弦波と区別がつかない。

5. Decimation. Dropping the sampling rate by a factor $M$ divides the Nyquist frequency by $M$ as well. So before discarding samples you must first remove everything above $\omega = \pi/M$ with a digital lowpass — the same anti-aliasing argument, now inside the discrete-time domain, where skipping the filter aliases just as irreversibly. Ch. 7 develops rate conversion in full.

5. 降取樣（decimation）。把取樣率降低 $M$ 倍，Nyquist 頻率也跟著除以 $M$。所以在丟掉樣本之前，必須先用數位低通濾波器把 $\omega = \pi/M$ 以上的成分濾掉——這是同一套抗混疊的道理，只是搬進了離散時間領域；少了這道濾波，混疊一樣是不可逆的。取樣率轉換的完整內容在第 7 章。

5. 間引き（デシメーション）。標本化レートを $M$ 分の 1 に落とせば、ナイキスト周波数も $M$ で割られる。したがって標本を捨てる前に、まず $\omega = \pi/M$ より上をすべてディジタル低域通過フィルタで取り除かなければならない——同じアンチエイリアシングの論法が、今度は離散時間領域の内側で効いており、このフィルタを省けば同じく不可逆に折り返す。レート変換は第 7 章で本格的に扱う。

6.4 Reconstruction 訊號重建6.4 訊號重建6.4 再構成

6.4.1 Ideal Reconstruction (D/C) Filter6.4.1 理想重建（D/C）濾波器6.4.1 理想再構成（D/C）フィルタ

If sampling obeyed the Nyquist condition, the baseband replica ($k=0$ term) of $X_s(j\Omega)$ is an undistorted copy of $X_c(j\Omega)/T$. To rebuild $x_c(t)$ we pass the impulse train $x_s(t)$ through an ideal lowpass reconstruction filter with gain $T$ and cutoff at the Nyquist frequency $\pi/T$:

如果取樣時滿足 Nyquist 條件，$X_s(j\Omega)$ 的基頻複本（$k=0$ 那一項）就是 $X_c(j\Omega)/T$ 未失真的副本。要重建 $x_c(t)$，我們把脈衝串 $x_s(t)$ 送進一個理想低通重建濾波器，增益為 $T$、截止頻率設在 Nyquist 頻率 $\pi/T$：

標本化がナイキスト条件を満たしていれば、$X_s(j\Omega)$ のベースバンド複製（$k=0$ の項）は $X_c(j\Omega)/T$ の歪みのないコピーである。$x_c(t)$ を復元するには、インパルス列 $x_s(t)$ を利得 $T$、遮断周波数をナイキスト周波数 $\pi/T$ にとった理想低域通過再構成フィルタに通す：

The gain $T$ cancels the $1/T$ amplitude scaling introduced by sampling; the cutoff $\pi/T = \Omega_s/2$ keeps only the $k=0$ replica and erases all the images at $\pm\Omega_s, \pm 2\Omega_s,\dots$

增益 $T$ 正好抵消取樣帶來的 $1/T$ 振幅縮放；截止頻率 $\pi/T = \Omega_s/2$ 只留下 $k=0$ 那一份複本，把位於 $\pm\Omega_s, \pm 2\Omega_s,\dots$ 的鏡像全部刪掉。

利得 $T$ は標本化がもたらした $1/T$ の振幅スケーリングを打ち消し、遮断周波数 $\pi/T = \Omega_s/2$ は $k=0$ の複製だけを残して $\pm\Omega_s, \pm 2\Omega_s,\dots$ にあるイメージをすべて消し去る。

Can this filter actually be built? Non-causal is not one condition but two這個濾波器做得出來嗎？「非因果」其實要分成兩種このフィルタは本当に作れるのか？「非因果」は一つの条件ではなく二つである

The usual summary — "it is non-causal, so it only works offline" — is too coarse, and it hides why the ideal reconstruction filter is in a harder class than, say, a centred moving average. Separate two cases:

常見的說法「它是非因果的，所以只能離線處理」講得太粗，而且掩蓋了一件事：理想重建濾波器所屬的難度等級，其實比「置中移動平均」那類還要高一層。要分成兩種情況來看：

よくあるまとめ——「非因果だからオフラインでしか使えない」——は粗すぎるし、理想再構成フィルタが例えば中心対称の移動平均より難しい部類に属する理由を覆い隠してしまう。二つの場合を分けて考えよう：

The ideal reconstruction filter's impulse response $h_r(t) = \mathrm{sinc}(t/T)$ fails on both counts:

理想重建濾波器的脈衝響應 $h_r(t) = \mathrm{sinc}(t/T)$ 兩項都不合格：

理想再構成フィルタのインパルス応答 $h_r(t) = \mathrm{sinc}(t/T)$ は、二つとも失格である：

• Non-causal. $h_r(t) \ne 0$ for $t < 0$, so the output at time $t$ depends on input that has not arrived yet.
• 非因果。當 $t < 0$ 時 $h_r(t) \ne 0$，所以時刻 $t$ 的輸出取決於還沒到達的輸入。
• 非因果。$t < 0$ で $h_r(t) \ne 0$ なので、時刻 $t$ の出力はまだ到着していない入力に依存する。
• Infinite in duration. It extends to $t \to \pm\infty$, and — the part that really hurts — it decays only as $1/|t|$. A slowly decaying tail means truncation error is not negligible, which is why the truncated sinc must also be windowed.
• 長度無限。它往 $t \to \pm\infty$ 兩邊延伸，而且——真正麻煩的是——它只以 $1/|t|$ 的速度衰減。尾巴衰減得這麼慢，代表截斷誤差並不可以忽略，這也正是為什麼截斷後的 sinc 還必須再乘上窗函數。
• 継続時間が無限。$t \to \pm\infty$ まで伸びており、しかも——本当に厄介なのはここだが——その減衰は $1/|t|$ でしかない。裾の減衰が遅いということは打ち切り誤差が無視できないということであり、だからこそ打ち切った sinc にはさらに窓関数を掛けなければならない。

Even offline, with the entire record already stored, the record is finite — an infinitely long convolution is not something a longer wait can buy you. So the ideal lowpass is an approximation in every setting.

就算是離線處理、整段資料都已經存好，資料長度終究是有限的——無限長的摺積，並不是「多等一下」就能算得出來的東西。所以理想低通在任何情境下都只是近似。

オフラインで、記録全体が既に保存されていても、その記録は有限である——無限長の畳み込みは、長く待ったからといって手に入るものではない。したがって理想低域通過フィルタは、どのような状況でも近似にとどまる。

Non-causal but finite: real-time, at the price of delay非因果但有限長：可以即時，代價是延遲非因果だが有限長：遅延を代価として実時間で動く

Take the centred three-point average of Chapter 2, $y[n] = \tfrac13\big(x[n-1] + x[n] + x[n+1]\big)$. It needs exactly one future sample. Delay everything by one sample and the same filter is causal:

以第 2 章的置中三點平均為例，$y[n] = \tfrac13\big(x[n-1] + x[n] + x[n+1]\big)$。它只需要一個未來樣本。把整體延遲一個樣本，同一個濾波器就變成因果的：

第 2 章の中心対称な 3 点平均 $y[n] = \tfrac13\big(x[n-1] + x[n] + x[n+1]\big)$ を取り上げよう。これはちょうど一つの未来標本を必要とする。全体を 1 標本遅らせれば、同じフィルタが因果になる：

Nothing about the filtering changed — only the label on the output. A finite non-causal filter needing $D$ future samples runs in real time with a fixed latency of $D$ samples, and that is the whole cost. (Chapter 2 calls this filter "offline only"; the sharper statement is "real time with one sample of delay".)

濾波這件事本身完全沒變——變的只是輸出的標籤。一個需要 $D$ 個未來樣本的有限長非因果濾波器，可以用固定 $D$ 個樣本的延遲在即時系統中運作，代價就只有這樣。（第 2 章把這個濾波器說成「只能離線」；更精確的說法是「延遲一個樣本即可即時」。）

濾波そのものは何も変わっていない——変わったのは出力に付けたラベルだけである。$D$ 個の未来標本を必要とする有限長の非因果フィルタは、$D$ 標本の固定遅延で実時間動作する。コストはそれだけである。（第 2 章ではこのフィルタを「オフライン専用」と呼んだが、より鋭い言い方は「1 標本の遅延で実時間動作」である。）

How the ideal lowpass is approximated in practice實務上怎麼近似理想低通実務で理想低域通過フィルタをどう近似するか

Digitally (FIR). Truncate the sinc to a finite span — say $\pm 50$ samples about the centre — and multiply by a window so the ends taper smoothly instead of being chopped. The result is exactly the "non-causal but finite" class above, so it runs in real time behind 50 samples of delay. Longer truncation gets closer to the brick wall and costs proportionally more delay; that is the entire trade.

數位（FIR）。把 sinc 截斷成有限長度——例如以中心為準前後各取 50 個樣本——再乘上一個窗函數，讓兩端平滑收斂而不是被硬切。做出來的東西正好屬於上面說的「非因果但有限長」那一類，所以延遲 50 個樣本之後就能即時運作。截得越長越接近直角截止，延遲也按比例增加；整個取捨就只是這樣。

ディジタルで（FIR）。sinc を有限の範囲——たとえば中心の前後 $\pm 50$ 標本——に打ち切り、両端がぶつ切りにならず滑らかに減衰するよう窓関数を掛ける。できあがるものはまさに上で言う「非因果だが有限長」の部類なので、50 標本の遅延の後ろで実時間動作する。打ち切り長を伸ばせば矩形特性に近づき、遅延も比例して増える。取引はそれがすべてである。

In analog (the actual reconstruction filter). Note that $H_r(j\Omega)$ above is an analog filter — its axis is $\Omega$, and it physically sits after the DAC. An analog circuit is causal by construction: it cannot wait for input that has not arrived. So the rectangle is approximated with causal Butterworth, Chebyshev or elliptic designs, and two costs follow:

類比（真正的重建濾波器）。注意上面的 $H_r(j\Omega)$ 是一個類比濾波器——它的橫軸是 $\Omega$，而且實體上是接在 DAC 之後。類比電路天生就是因果的：它沒有辦法等待還沒到達的輸入。所以那個矩形只能用因果的 Butterworth、Chebyshev 或橢圓濾波器去逼近，並因此付出兩項代價：

アナログで（実際の再構成フィルタ）。上の $H_r(j\Omega)$ はアナログフィルタであることに注意してほしい——軸は $\Omega$ であり、物理的には DAC の後ろに置かれる。アナログ回路は構造上つねに因果である。まだ到着していない入力を待つことはできない。そこであの矩形は因果なバターワース、チェビシェフ、楕円フィルタで近似され、二つのコストが生じる：

• the cutoff is not steep enough, so a transition band must be left between the signal band and the first image;
• 截止不夠陡，所以必須在訊號頻帶與第一個鏡像之間留下一段過渡帶；
• 遮断が十分に急峻でないので、信号帯域と最初のイメージとの間に遷移帯域を残さなければならない。
• the phase is not linear, so different frequency components are delayed by different amounts and the waveform is distorted even where the magnitude response is flat.
• 相位不是線性的，於是不同頻率成分被延遲的量不同，即使在振幅響應平坦的地方波形依然會失真。
• 位相が線形でないので、周波数成分ごとに遅延量が異なり、振幅応答が平坦なところでさえ波形が歪む。

This is the reconstruction-side twin of the argument in §6.6.4: raise the sampling rate and the images move further away, so the analog filter never has to be steep in the first place. Oversampling buys an easy analog filter at both ends of the chain.

這正是 §6.6.4 那個論證在重建端的雙胞胎：把取樣率拉高，鏡像就離得更遠，類比濾波器一開始就不需要那麼陡。過取樣在整條鏈的兩端都買到了好做的類比濾波器。

これは §6.6.4 の議論の再構成側の双子である。標本化レートを上げればイメージは遠ざかり、アナログフィルタはそもそも急峻である必要がなくなる。オーバーサンプリングは鎖の両端で作りやすいアナログフィルタを買ってくれる。

What offline processing buys you離線處理多買到什麼オフライン処理で何が手に入るか

• Arbitrarily long filters, since latency no longer matters — a 10,000-tap approximation is as acceptable as a 100-tap one.
• 想多長就多長的濾波器，因為延遲已經無所謂了——10,000 個抽頭的近似和 100 個抽頭的一樣可以接受。
• いくらでも長いフィルタ。遅延がもはや問題にならないので、10,000 タップの近似も 100 タップのものと同じように許容される。
• Zero-phase filtering. Filter forward, then backward (MATLAB's filtfilt): the phase responses cancel exactly, leaving no phase distortion at all. The price is that the magnitude response is applied twice, so the effective response is $|H(e^{j\omega})|^2$ — design for that, or the stopband ends up twice as deep in dB as intended.
• 零相位濾波。先正向濾一次、再反向濾一次（MATLAB 的 filtfilt）：兩次的相位響應剛好抵消，完全沒有相位失真。代價是振幅響應被施加了兩次，等效響應變成 $|H(e^{j\omega})|^2$——設計時要把這件事算進去，否則阻帶的 dB 深度會變成預期的兩倍。
• 零位相濾波。前向きに濾波し、次に後ろ向きに濾波する（MATLAB の filtfilt）。位相応答がちょうど打ち消し合い、位相歪みはまったく残らない。代価は振幅応答が二度掛かることであり、実効的な応答は $|H(e^{j\omega})|^2$ になる——設計時にそれを見込まないと、阻止域の深さが dB で意図の 2 倍になってしまう。
• Filtering in the frequency domain: FFT the whole record, multiply by the rectangle, inverse FFT. Be careful — this implements circular convolution, so the two ends of the record wrap into each other and the result is wrong near the boundaries unless the data is zero-padded first.
• 直接在頻域濾波：把整段資料做 FFT、乘上矩形、再做反 FFT。但要小心——這實現的是圓周摺積，資料的頭尾會互相繞進對方，所以除非先補零，否則邊界附近的結果是錯的。
• 周波数領域での濾波：記録全体を FFT し、矩形を掛け、逆 FFT する。ただし注意が必要である——これは巡回畳み込みを実装してしまうので、記録の両端が互いに回り込み、あらかじめゼロ詰めしておかないと境界付近の結果が誤る。

6.4.2 Sinc Interpolation 弦波內插6.4.2 sinc 內插6.4.2 sinc 内挿

Convolving the impulse train with $h_r(t)$ hangs one scaled sinc on every sample:

把脈衝串和 $h_r(t)$ 做摺積，等於在每個樣本上掛一個縮放過的 sinc：

インパルス列を $h_r(t)$ と畳み込むことは、各標本の上に定数倍された sinc を一つずつ吊るすことに等しい：

Two properties make this work:

有兩個性質讓它成立：

これが成り立つ理由は二つの性質にある：

• Interpolation: $h_r(0)=1$ and $h_r(kT)=0$ for integer $k\ne 0$ — at every sampling instant only one sinc is nonzero, so $\hat{x}_a(nT) = x[n]$ exactly.
• Bandlimitation: each sinc is bandlimited to $\pi/T$, so the reconstruction is automatically the unique bandlimited signal through the samples.

• 內插性質：$h_r(0)=1$，而且對整數 $k\ne 0$ 有 $h_r(kT)=0$ —— 在每個取樣時刻只有一個 sinc 不為零，所以 $\hat{x}_a(nT) = x[n]$ 完全成立。
• 帶限性質：每個 sinc 的頻寬都限制在 $\pi/T$ 以內，所以重建出來的自動就是通過這些樣本的唯一帶限訊號。

• 内挿性：$h_r(0)=1$ であり、整数 $k\ne 0$ について $h_r(kT)=0$ である——どの標本化時刻でも非零の sinc は一つだけなので、$\hat{x}_a(nT) = x[n]$ が厳密に成り立つ。
• 帯域制限性：各 sinc は $\pi/T$ に帯域制限されているので、再構成されたものは自動的に、それらの標本を通る唯一の帯域制限信号となる。

Reading the picture: two kinds of curve怎麼看這張圖：兩種曲線この図の読み方：2 種類の曲線

The figure draws the interpolation formula literally, so it is worth reading term by term.

這張圖就是把 sinc 內插公式照字面畫出來：每個樣本各自產生一個 sinc，全部疊加之後就得到還原的連續訊號。所以值得逐項讀一遍。

この図は内挿の公式を文字どおりに描いたものなので、項ごとに読む価値がある。

The dashed curves — one sinc per sample. Each term of the sum

虛線：每個樣本各自的 sinc。公式中的每一項

破線の曲線——標本 1 個につき sinc が 1 本。和の各項は

• is centred at $t=nT$ — the position of the $n$-th impulse of $x_s(t)$ in §6.1.2.
• has peak height $x[n]$ — the larger the sample, the taller its sinc. Every dashed hump in the figure is as tall as the sample it sits on.
• has side lobes that dip below the axis — the small dashed arcs swinging negative on both sides of each main peak.

• 中心在 $t = nT$ —— 也就是 §6.1.2 中 $x_s(t)$ 第 $n$ 根脈衝的位置。
• 峰值高度就是 $x[n]$ —— 樣本值越大，這個 sinc 就越高。圖中每個虛線山峰的高度，正對應它底下那根樣本的高度。
• 兩側有往下的小波瓣 —— sinc 在主峰兩邊會擺盪到負值，就是橫軸附近那些小小的虛線弧。

• $t=nT$ を中心とする——§6.1.2 における $x_s(t)$ の第 $n$ インパルスの位置である。
• ピーク高さが $x[n]$ である——標本が大きいほどその sinc は高い。図中の破線の山はどれも、その下にある標本と同じ高さをもつ。
• 軸より下へ沈むサイドローブをもつ——各主峰の両側で負へ振れる小さな破線の弧がそれである。

The solid curve — the sum of all the dashed ones. Adding every sinc pointwise at each instant gives $\hat{x}_a(t)$, the reconstructed signal.

實線：所有虛線的總和。把所有 sinc 在每個時刻逐點相加，得到的就是 $\hat{x}_a(t)$，也就是還原出來的訊號。

実線の曲線——すべての破線の和。各時刻ですべての sinc を点ごとに足し合わせると、再構成された信号 $\hat{x}_a(t)$ が得られる。

Why the solid curve passes exactly through every sample. The sinc has one decisive property:

為什麼實線會剛好通過每一個樣本。sinc 函數有一個關鍵性質：

実線がすべての標本をぴったり通る理由。sinc には決定的な性質が一つある：

Every sinc equals 1 at its own centre and is exactly 0 at every other sampling instant. Look along the axis of the figure: all the dashed curves cross zero together at the integer multiples of $T$. So at $t = nT$ only the $n$-th sinc is non-zero and the sum is $x[n]$ — the reconstruction cannot miss a sample. Between two sampling instants many sincs are non-zero at once, some positive and some negative, and their sum is what fills in the smooth curve.

也就是說，每個 sinc 在自己的中心等於 1，在其他所有取樣點都剛好是 0。仔細看圖的橫軸：所有虛線都在 $T$ 的整數倍處一起穿過 0，形成一排交叉點。因此在取樣時刻 $t = nT$，只有第 $n$ 個 sinc 不是 0，總和就等於 $x[n]$ —— 重建曲線不可能錯過任何一個樣本。而在兩個取樣點之間，許多 sinc 同時有值，有正有負，疊加起來剛好填出那條平滑的曲線。

どの sinc も自分の中心では 1 に等しく、それ以外のすべての標本化時刻では厳密に 0 になる。図の横軸に沿って見てほしい。破線の曲線はどれも $T$ の整数倍のところで揃ってゼロを横切っている。したがって $t = nT$ では第 $n$ の sinc だけが非零で、和は $x[n]$ になる——再構成が標本を外すことはありえない。二つの標本化時刻のあいだでは多くの sinc が同時に非零となり、正のものも負のものもあって、その和がなめらかな曲線を埋めていく。

The step between the two columns is exactly the ideal lowpass filtering of §6.4.1: each impulse enters the filter and comes out as one sinc.

這兩欄之間的那個動作，正是 §6.4.1 的理想低通濾波：每根脈衝經過濾波器，就變成一個 sinc。

この二つの列のあいだの一歩が、まさに §6.4.1 の理想低域通過濾波である。各インパルスがフィルタに入り、一つの sinc となって出てくる。

6.5 Discrete-Time Processing of Continuous-Time Signals6.5 用離散時間系統處理連續時間訊號6.5 連続時間信号の離散時間処理

6.5.1 The C/D → H(e^jω) → D/C Chain6.5.1 C/D → H(e^jω) → D/C 串接6.5.1 C/D → H(e^jω) → D/C の縦続接続

The central architecture of applied DSP: filter an analog signal by sampling it, processing the samples with a DT LTI system, and converting back:

這是應用 DSP 最核心的架構：想濾一個類比訊號，就先把它取樣，用離散時間的 LTI 系統處理這些樣本，再轉換回類比：

応用 DSP の中心となる構成：アナログ信号を標本化し、その標本を離散時間 LTI システムで処理し、再び戻すことで濾波する：

Tracking the spectra through the chain (assuming no aliasing at the C/D):

把頻譜沿著這條鏈一路追下去（假設 C/D 處沒有混疊）：

この縦続接続に沿ってスペクトルを追う（C/D で折り返しが起きないと仮定する）：

6.5.2 Effective Continuous-Time Frequency Response6.5.2 等效的連續時間頻率響應6.5.2 等価な連続時間周波数応答

Composing the three relations, the whole chain behaves like a single CT LTI system:

把這三個關係合起來，整條鏈的行為就像一個單一的連續時間 LTI 系統：

三つの関係を合成すると、鎖全体が単一の連続時間 LTI システムのようにふるまう：

6.6 Quantization 量化6.6 量化6.6 量子化

6.6.1 Uniform Amplitude Quantization6.6.1 均勻振幅量化6.6.1 均一な振幅量子化

Sampling discretizes time; a real A/D converter must also discretize amplitude. A uniform quantizer with $B$ bits maps each sample to the nearest of $2^B$ levels spaced $\Delta$ apart. For full-scale amplitude $m_{\max}$:

取樣把時間離散化；真實的 A/D 轉換器還必須把振幅也離散化。一個 $B$ 位元的均勻量化器，會把每個樣本對應到 $2^B$ 個間隔為 $\Delta$ 的階層中最接近的一個。若滿刻度振幅為 $m_{\max}$：

標本化は時間を離散化する。実際の A/D 変換器はさらに振幅も離散化しなければならない。$B$ ビットの均一量子化器は、各標本を間隔 $\Delta$ で並んだ $2^B$ 個のレベルのうち最も近いものへ写す。フルスケール振幅を $m_{\max}$ とすると：

Two standard conventions differ in where the levels sit:

兩種標準慣例的差別，在於階層擺放的位置：

標準的な二つの流儀は、レベルをどこに置くかで異なる：

• Midtread: round to the nearest integer multiple of $\Delta$ — zero is a level. Example with $\Delta=1$, 2 bits: levels $\{-2,-1,0,1\}$, codes via two's complement $\{10,11,00,01\}$.
• Midrise: round with a half-step offset, $Q[x] = \Delta\,(\lfloor x/\Delta\rfloor + \tfrac12)$ — zero is a threshold, levels $\{-\tfrac32,-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac32\}\Delta$. This is the "rounding with offset" used in Homework 6.

• 中平型（midtread）：四捨五入到最接近的 $\Delta$ 整數倍 —— 零本身就是一個階層。以 $\Delta=1$、2 位元為例：階層為 $\{-2,-1,0,1\}$，用二補數編碼成 $\{10,11,00,01\}$。
• 中升型（midrise）：帶半階偏移地取整，$Q[x] = \Delta\,(\lfloor x/\Delta\rfloor + \tfrac12)$ —— 零是一個門檻，階層為 $\{-\tfrac32,-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac32\}\Delta$。作業 6 用的「帶偏移的四捨五入」就是這一種。

• ミッドトレッド型：$\Delta$ の最も近い整数倍へ丸める——ゼロそのものがレベルである。$\Delta=1$、2 ビットの例では、レベルは $\{-2,-1,0,1\}$、符号は 2 の補数で $\{10,11,00,01\}$ となる。
• ミッドライズ型：半ステップのオフセットを付けて丸める。$Q[x] = \Delta\,(\lfloor x/\Delta\rfloor + \tfrac12)$ であり、ゼロはしきい値、レベルは $\{-\tfrac32,-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac32\}\Delta$ となる。宿題 6 で使う「オフセット付きの丸め」がこれである。

Midtread vs midrise, side by side中平型 vs 中升型：兩者的差別ミッドトレッド型とミッドライズ型を並べて比べる

Both are uniform quantizers and both have step size $\Delta = 1$ in Fig. 6-6. The only difference is where the origin $x=0$ falls on the staircase. The names say it: on a real staircase the tread is the flat part you stand on (the output holds a constant value) and the rise is the vertical face between treads (the output jumps to the next level).

兩者都是均勻量化器，在圖 6-6 中步階大小 $\Delta$ 也都等於 1。差別只在於原點 $x = 0$ 落在階梯的哪個位置。名稱本身就說明了一切：把量化曲線想成樓梯，tread（踏面）是階梯平的部分，也就是輸出維持定值的區段；rise（豎板）是階梯垂直跳起的部分，也就是輸出跳到下一個值的位置。

どちらも均一量子化器であり、図 6-6 ではステップサイズもどちらも $\Delta = 1$ である。違いは原点 $x=0$ が階段のどこに落ちるかだけである。名前がそれを語っている。実際の階段では踏み面（tread）が足を乗せる平らな部分（出力が一定値を保つ区間）であり、蹴上げ（rise）が踏み面と踏み面のあいだの垂直な面（出力が次のレベルへ跳ぶところ）である。

That is exactly what Fig. 6-6 shows: on the left there is a flat run through $x=0$ (output 0); on the right $x=0$ is a vertical jump, from $-1/2$ straight to $+1/2$.

看圖 6-6 就是這樣：左圖在 $x = 0$ 附近是一段水平線（輸出 0）；右圖在 $x = 0$ 處剛好是一個垂直跳躍，從 $-1/2$ 跳到 $+1/2$。

図 6-6 が示しているのはまさにそれである。左では $x=0$ を貫く平らな区間があり（出力は 0）、右では $x=0$ が $-1/2$ から $+1/2$ へまっすぐ跳ぶ垂直な段差になっている。

Why the bit patterns differ. Midtread codes map straight onto two's complement integers, which is also why its levels are lopsided — 2-bit two's complement runs from $-2$ to $1$ by construction:

位元表示為什麼不同。Midtread 用二補數，剛好對應整數 —— 這也正是它的位階不對稱的原因：2 位元的二補數範圍本來就是 $-2$ 到 $1$：

ビットパターンが異なる理由。ミッドトレッド型の符号は2 の補数整数にそのまま対応する。レベルが偏っているのもそのためで、2 ビットの 2 の補数は構造上 $-2$ から $1$ までを走る：

Midrise instead uses a sign–magnitude style code: the first bit is the sign, the second the magnitude.

Midrise 則用類似符號與大小的表示：第一個位元是正負號，第二個位元是大小。

一方ミッドライズ型は符号絶対値方式の符号を用いる。第 1 ビットが符号、第 2 ビットが大きさである。

With $B=2$ there are $2^2 = 4$ levels and therefore $4-1 = 3$ gaps between them. Both conventions span a range of 3, so both give $\Delta = 1$, and inside the linear region the quantization error of either never exceeds $\pm\Delta/2$.

$B = 2$ 位元有 $2^2 = 4$ 個位階，位階之間就有 $4 - 1 = 3$ 個間隔。兩種方式的範圍都是 3，所以 $\Delta$ 都是 1；在線性區內，兩者的量化誤差也都不超過 $\pm\Delta/2$。

$B=2$ ならレベルは $2^2 = 4$ 個あり、したがってレベル間の隙間は $4-1 = 3$ 個である。どちらの流儀も範囲 3 をまたぐので $\Delta = 1$ となり、線形領域の内側ではどちらの量子化誤差も $\pm\Delta/2$ を超えることはない。

6.6.2 Quantization Noise Model6.6.2 量化雜訊模型6.6.2 量子化雑音モデル

The quantization error $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ is deterministic, but for signals that are large and busy compared to one LSB it behaves like additive white noise, uncorrelated with itself and with the signal:

量化誤差 $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ 其實是確定性的，但只要訊號相對於一個 LSB 夠大、變化夠劇烈，它的行為就很像加性白雜訊——自身不相關，也和訊號不相關：

量子化誤差 $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ は決定論的な量であるが、1 LSB に比べて十分大きく、かつ目まぐるしく変化する信号に対しては、自分自身とも信号とも無相関な加法性白色雑音のようにふるまう：

Why the variance is being called a power為什麼把變異數叫做功率なぜ分散を電力と呼ぶのか

The box above writes $\sigma_e^2 = E[e^2]$ and then calls the result the noise power, quietly treating two different quantities as one. They are worth separating for a moment. The average power of a signal is its mean-square value, $P_x = E[x^2]$; the variance $\sigma_x^2$ measures spread about the mean $\mu_x$. Rearranging the definition of the variance relates them in one line:

上面的方框寫 $\sigma_e^2 = E[e^2]$，然後直接把結果稱為雜訊功率，等於是悄悄把兩個不同的量當成同一個。值得花一點時間把它們分開看。訊號的平均功率是它的均方值 $P_x = E[x^2]$；變異數 $\sigma_x^2$ 量的則是相對於平均值 $\mu_x$ 的離散程度。把變異數的定義移項，一行就能把兩者連起來：

上の囲みは $\sigma_e^2 = E[e^2]$ と書いたうえで、その結果を雑音電力と呼んでおり、二つの異なる量をさりげなく一つのものとして扱っている。ここでいったん分けて考える価値がある。信号の平均電力はその二乗平均値 $P_x = E[x^2]$ であり、分散 $\sigma_x^2$ は平均 $\mu_x$ のまわりのばらつきを測る。分散の定義を移項すれば、両者は一行で結びつく：

What the two terms are. Split the signal into its constant part and its fluctuation, $x = \mu_x + (x - \mu_x)$, and square:

這兩項各是什麼。把訊號拆成固定的部分與擺動的部分，$x = \mu_x + (x - \mu_x)$，再平方：

二つの項が何であるか。信号を一定部分と変動部分に分け、$x = \mu_x + (x - \mu_x)$ として二乗する：

The cross term vanishes because the fluctuation has zero mean by construction. That is what makes the two powers simply add: $\mu_x^2$ is the power of the DC component (a fixed offset), and $\sigma_x^2$ is the power of whatever swings above and below it — the AC component.

交叉項之所以消失，是因為擺動的那一部分依定義平均值就是 0。正因如此，兩邊的功率可以直接相加：$\mu_x^2$ 是直流成分（固定偏移）的功率，$\sigma_x^2$ 則是在平均值上下擺動那一部分的功率，也就是交流成分的功率。

交差項が消えるのは、変動部分が定義により平均ゼロだからである。それゆえ二つの電力は単純に足し合わさる。$\mu_x^2$ は直流成分（固定オフセット）の電力であり、$\sigma_x^2$ はその上下に振れる分——交流成分——の電力である。

Rounding vs truncation — where the mean comes back四捨五入 vs 無條件捨去——平均值跑回來的地方丸めと切り捨て——平均が戻ってくるところ

Whether the quantization error has zero mean is decided entirely by how the quantizer maps $x$ to a level. Two choices, same step size $\Delta$:

量化誤差的平均值是不是 0，完全取決於量化器用什麼方式把 $x$ 對應到階層。同樣的階距 $\Delta$，兩種做法：

量子化誤差の平均がゼロかどうかは、量子化器が $x$ をレベルへどのように写すかだけで決まる。同じステップサイズ $\Delta$ に対して二つの選択肢がある：

• Rounding (round to nearest). The error is at most half a step in either direction, $e \in [-\Delta/2,\ \Delta/2]$, symmetric about the origin: $\mu_e = 0$, so $E[e^2] = \sigma_e^2 = \Delta^2/12$.
• 四捨五入（rounding）。誤差最多是半個階距，落在 $e \in [-\Delta/2,\ \Delta/2]$，且對原點對稱：$\mu_e = 0$，所以 $E[e^2] = \sigma_e^2 = \Delta^2/12$。
• 丸め（最近接への丸め）。誤差はどちら向きにもせいぜい半ステップで、$e \in [-\Delta/2,\ \Delta/2]$ と原点について対称である。$\mu_e = 0$ なので $E[e^2] = \sigma_e^2 = \Delta^2/12$ となる。
• Truncation (round toward zero / floor). The output never overshoots, so the error is one-sided: $e \in [-\Delta,\ 0]$, with $\mu_e = -\Delta/2$.
• 無條件捨去（truncation）。輸出永遠不會超過，所以誤差是單邊的：$e \in [-\Delta,\ 0]$，平均值 $\mu_e = -\Delta/2$。
• 切り捨て（ゼロ方向への丸め／床関数）。出力が行き過ぎることはないので、誤差は片側に偏る。$e \in [-\Delta,\ 0]$ であり、$\mu_e = -\Delta/2$ となる。

The variance is unchanged — the error distribution is still a uniform density of width $\Delta$, merely slid over — but the added DC offset quadruples the total error power, a penalty of $10\log_{10}4 \approx 6.02$ dB. Truncating throws away a whole bit's worth of SNR. That is one of the reasons both the midtread and midrise quantizers of §6.6.1 are defined with rounding (midrise being rounding with a half-step offset), and why a DSP that truncates internally is worth a second look.

變異數沒有變——誤差分布仍然是寬度為 $\Delta$ 的均勻密度，只是整個平移過去——但多出來的直流偏移讓總誤差功率變成 4 倍，代價是 $10\log_{10}4 \approx 6.02$ dB。捨去等於白白丟掉整整一個位元的 SNR。這正是 §6.6.1 的中平型與中升型都定義成四捨五入（中升型是帶半階偏移的四捨五入）的理由之一，也是為什麼看到一顆內部採用捨去的 DSP 時值得多留意一下。

分散は変わらない——誤差分布は依然として幅 $\Delta$ の一様密度であり、単に平行移動しただけである——が、加わった直流オフセットが全誤差電力を 4 倍にし、$10\log_{10}4 \approx 6.02$ dB の損失となる。切り捨ては丸ごと 1 ビット分の SNR を捨てている。§6.6.1 のミッドトレッド型もミッドライズ型も丸めで定義されている（ミッドライズ型は半ステップのオフセット付きの丸めである）のはこれが理由の一つであり、内部で切り捨てを行う DSP を見かけたら二度見する価値があるのもそのためである。

So which one goes into the SNR?那 SNR 到底要用哪一個？では SNR に入れるのはどちらか

• If the DC component carries no information — audio being the standard case, where a coupling capacitor removes DC anyway — quote the SNR from the AC part alone, i.e. from $\sigma^2$. Including a DC pedestal would inflate the "signal power" with something nobody hears.
• 若直流成分不帶有資訊——音訊就是標準情況，反正也會用耦合電容把直流去掉——那 SNR 就只看交流部分，也就是用 $\sigma^2$。把直流台階算進去，等於用一個沒有人聽得到的成分去灌水「訊號功率」。
• 直流成分が情報を担っていないなら——結合コンデンサでどのみち直流が除かれる音響が標準的な例である——交流部分だけから、つまり $\sigma^2$ から SNR を述べる。直流の台座を含めれば、誰にも聞こえないもので「信号電力」を水増しすることになる。
• If you want the total distortion the error actually causes, use $E[e^2]$, offset included. This is the honest figure for a truncating quantizer, for a converter with an offset error, or any time the DC term is part of what reaches the output.
• 若要算誤差造成的總失真，就要用 $E[e^2]$，把直流偏移一起算進去。對採用捨去的量化器、有偏移誤差的轉換器，或任何直流項會真的傳到輸出的場合，這才是誠實的數字。
• 誤差が実際に引き起こす全歪みを知りたいなら、オフセットを含めた $E[e^2]$ を使う。切り捨て型の量子化器、オフセット誤差をもつ変換器、あるいは直流項が出力まで届くあらゆる場合に、これが誠実な数字である。

So when the slides write $\sigma^2$ throughout, the assumption riding along silently is that both the signal and the error are zero-mean. Check that assumption before reusing the formula — it is exactly what fails under truncation.

所以投影片一路寫 $\sigma^2$，背後悄悄帶著的假設就是訊號與誤差的平均值都是 0。要把公式搬去別的地方用之前，先確認這個假設成立——它正是在「無條件捨去」的情況下失效的那一個。

したがってスライドが一貫して $\sigma^2$ と書くとき、その背後に黙って乗っている仮定は信号も誤差も平均ゼロであるということだ。公式を使い回す前にこの仮定を確かめること——切り捨てのもとで崩れるのは、まさにこれである。

One last convention to keep straight: for a deterministic sequence the same quantity is written as a time average, $P_x = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$, rather than an expectation. For the ergodic, stationary signals assumed throughout this chapter the two agree, which is why the quantization-noise model can be validated by simply measuring the mean square of a simulated error sequence — as Fig. 6-7 does.

最後還有一個符號慣例要分清楚：對確定性序列，同一個量是寫成時間平均 $P_x = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$，而不是期望值。對本章自始假設的遍歷、平穩訊號來說兩者相等，這也正是為什麼量化雜訊模型可以直接用「量一段模擬誤差序列的均方值」來驗證——圖 6-7 做的就是這件事。

最後にもう一つ、取り違えないでおきたい約束がある。決定論的な系列に対しては、同じ量が期待値ではなく時間平均 $P_x = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$ として書かれる。本章を通じて仮定しているエルゴード的・定常な信号では両者は一致し、だからこそ量子化雑音モデルはシミュレーションで得た誤差系列の二乗平均を測るだけで検証できる——図 6-7 がやっているのがそれである。

Deriving $\Delta^2/12$推導 $\Delta^2/12$$\Delta^2/12$ の導出

With the variance-vs-power distinction settled, the $\Delta^2/12$ in the box above takes three short steps. The model says the error is uniformly distributed over one step, so its density is a rectangle of width $\Delta$ and height $1/\Delta$ — the height is forced, since the area must be 1:

把變異數與功率的區別釐清之後，上面方框裡的 $\Delta^2/12$ 只要三個小步驟。模型說誤差在一個階距內均勻分布，所以它的機率密度是一個寬 $\Delta$、高 $1/\Delta$ 的長方形——高度是被逼出來的，因為面積必須等於 1：

分散と電力の区別が片づいたので、上の囲みの $\Delta^2/12$ は短い三段階で得られる。モデルは誤差が 1 ステップにわたって一様分布すると言うので、その密度は幅 $\Delta$、高さ $1/\Delta$ の長方形である——面積が 1 でなければならないので、高さは強制的に決まる：

Step 1 — the mean. The rectangle is symmetric about the origin, so $\mu_e = 0$. By the result just established, the variance therefore is the average power: $\sigma_e^2 = E[e^2]$, with no $\mu_e^2$ term to carry.

第 1 步 — 平均值。長方形對 0 對稱，所以 $\mu_e = 0$。依照剛剛得到的結論，變異數就是平均功率：$\sigma_e^2 = E[e^2]$，不必再帶一個 $\mu_e^2$ 項。

手順 1 — 平均。長方形は原点について対称なので $\mu_e = 0$ である。いま確かめた結果により、分散はそのまま平均電力となる：$\sigma_e^2 = E[e^2]$ であり、$\mu_e^2$ の項を背負う必要はない。

Step 2 — the integral. Take the second moment of the rectangle:

第 2 步 — 積分。對這個長方形取二階動差：

手順 2 — 積分。長方形の二次モーメントをとる：

The factor $\tfrac{2}{3}$ appears because $e^3$ is odd: evaluating it at both limits gives $(\Delta/2)^3 - (-\Delta/2)^3 = 2(\Delta/2)^3$, and the $\tfrac13$ comes from the integration. Note the answer depends on $\Delta$ alone — not on the signal, not on the number of bits except through $\Delta = 2m_{\max}/2^B$.

會出現 $\tfrac{2}{3}$ 這個係數，是因為 $e^3$ 是奇函數：代入上下限得到 $(\Delta/2)^3 - (-\Delta/2)^3 = 2(\Delta/2)^3$，而 $\tfrac13$ 來自積分本身。注意這個答案只和 $\Delta$ 有關——與訊號無關，也只透過 $\Delta = 2m_{\max}/2^B$ 才和位元數扯上關係。

係数 $\tfrac{2}{3}$ が現れるのは $e^3$ が奇関数だからである。両端で評価すると $(\Delta/2)^3 - (-\Delta/2)^3 = 2(\Delta/2)^3$ となり、$\tfrac13$ は積分から来る。答えが $\Delta$ だけに依存することに注意してほしい——信号にはよらず、ビット数にも $\Delta = 2m_{\max}/2^B$ を通してしか関係しない。

Step 3 — read it as an amplitude. Powers are hard to feel; take the square root:

第 3 步 — 換成振幅來看。功率不容易有感覺，開個根號：

手順 3 — 振幅として読む。電力は実感しにくいので、平方根をとる：

A worked number for the CD: with $B = 16$ and full scale $\pm 1$, $\Delta = 2/2^{16} \approx 3.05 \times 10^{-5}$, so $\sigma_e \approx 8.8 \times 10^{-6}$ — about nine parts per million of full scale. Compare that against the full-scale sinusoid's rms of $1/\sqrt2 \approx 0.707$ and the ratio is $\approx 80\,300$, i.e. $20\log_{10}(80\,300) \approx 98.1$ dB. Same 98 dB as §6.6.3 and §6.6.4, arrived at from the amplitude side.

用 CD 的數字算一次：$B = 16$、滿刻度 $\pm 1$ 時，$\Delta = 2/2^{16} \approx 3.05 \times 10^{-5}$，所以 $\sigma_e \approx 8.8 \times 10^{-6}$——大約是滿刻度的百萬分之九。拿它和滿刻度正弦波的均方根值 $1/\sqrt2 \approx 0.707$ 相比，比值約為 $80\,300$，也就是 $20\log_{10}(80\,300) \approx 98.1$ dB。和 §6.6.3、§6.6.4 得到的同樣是 98 dB，只是這次從振幅這一側算過來。

CD について数字を入れてみよう。$B = 16$、フルスケール $\pm 1$ なら $\Delta = 2/2^{16} \approx 3.05 \times 10^{-5}$ なので $\sigma_e \approx 8.8 \times 10^{-6}$——フルスケールのおよそ 100 万分の 9 である。これをフルスケール正弦波の実効値 $1/\sqrt2 \approx 0.707$ と比べると比は $\approx 80\,300$、すなわち $20\log_{10}(80\,300) \approx 98.1$ dB となる。§6.6.3 や §6.6.4 と同じ 98 dB に、今度は振幅の側からたどり着いた。

What the model buys you這個模型帶來的好處このモデルが何をもたらすか

Under the same conditions — a busy signal spanning many steps — two further assumptions are normally layered on top of the uniform density. Neither is exactly true; both are close enough to be extremely useful:

在同樣的條件下——訊號夠活潑、跨越許多階距——通常會在均勻密度之上再疊加兩個假設。兩者都不是嚴格成立，但都夠接近，而且極其好用：

同じ条件——多くのステップにまたがる活発な信号——のもとでは、一様密度の上にさらに二つの仮定を重ねるのが普通である。どちらも厳密には正しくないが、どちらも極めて有用なほど真実に近い：

• The error is uncorrelated with the signal: $E[x[n]\,e[n]] = 0$.
• 誤差和訊號無關：$E[x[n]\,e[n]] = 0$。
• 誤差は信号と無相関である：$E[x[n]\,e[n]] = 0$。
• The errors at different samples are independent of one another: $E[e[n]\,e[m]] = \sigma_e^2\,\delta[n-m]$. An uncorrelated sequence has a flat spectrum, so $e[n]$ is white noise.
• 不同樣本的誤差彼此獨立：$E[e[n]\,e[m]] = \sigma_e^2\,\delta[n-m]$。不相關的序列頻譜是平坦的，所以 $e[n]$ 是白雜訊。
• 異なる標本の誤差は互いに独立である：$E[e[n]\,e[m]] = \sigma_e^2\,\delta[n-m]$。無相関な系列のスペクトルは平坦なので、$e[n]$ は白色雑音である。

With those in hand, the quantizer — a memoryless nonlinearity, and therefore something no linear tool can touch — is replaced by the original signal plus an independent additive noise source:

有了這兩點，量化器——一個無記憶的非線性元件，因此任何線性工具都碰不得——就可以被換成「原訊號加上一個獨立的雜訊源」：

これらが手に入れば、量子化器——無記憶の非線形要素であり、それゆえ線形的な道具では手が出せないもの——を、元の信号に独立な加法性雑音源を加えたものへ置き換えられる：

Whiteness pays a second dividend, and it is the one §6.6.4 was quietly relying on. If the noise power $\sigma_e^2$ is spread uniformly over the full band $|\omega| < \pi$, then sampling $M$ times faster does not change the total but does spread it over $M$ times as much bandwidth. Lowpass-filtering to the signal band and decimating back down keeps only $1/M$ of it:

「白」這個性質還有第二項紅利，而 §6.6.4 其實一直默默依賴著它。如果雜訊功率 $\sigma_e^2$ 均勻散布在整個 $|\omega| < \pi$ 頻帶上，那麼把取樣率提高 $M$ 倍並不會改變總量，卻會把它攤到 $M$ 倍寬的頻寬上。接著低通濾到訊號頻帶再降取樣回來，就只留下其中的 $1/M$：

白色性はもう一つ配当を払う。§6.6.4 が静かに頼っていたのがそれである。雑音電力 $\sigma_e^2$ が全帯域 $|\omega| < \pi$ に一様に広がっているなら、$M$ 倍速く標本化しても総量は変わらないが、$M$ 倍の帯域幅にばらまかれることになる。信号帯域まで低域通過濾波してから間引いて戻せば、残るのはその $1/M$ だけである：

So oversampling does not only make the analog anti-aliasing filter easy (§6.6.4) — it also buys resolution outright: 64× gives $10\log_{10}64 \approx 18$ dB, three extra bits, for free. Sigma-delta converters go further still by shaping the noise so that even less of it lands in the signal band, which is how a 1-bit quantizer ends up delivering 16-bit audio.

所以過取樣不只是讓類比抗混疊濾波器好做（§6.6.4）而已——它還直接買到解析度：64 倍可得 $10\log_{10}64 \approx 18$ dB，等於白送三個位元。$\Sigma\Delta$ 轉換器更進一步，用雜訊整形讓落在訊號頻帶內的雜訊更少，這就是一個 1 位元量化器最後能交出 16 位元音質的原因。

つまりオーバーサンプリングはアナログのアンチエイリアシングフィルタを楽にする（§6.6.4）だけではない——分解能そのものを買ってもいる。64 倍なら $10\log_{10}64 \approx 18$ dB、すなわち 3 ビット分がただで手に入る。シグマデルタ変換器はさらに進んで、信号帯域に落ちる雑音がもっと少なくなるよう雑音を整形する。1 ビットの量子化器が最終的に 16 ビットの音質を出せるのはそのためである。

Watching the model hold and fail: 3 bits vs 8 bits看著模型成立與失效：3 位元 vs 8 位元モデルが成り立つ様子と破綻する様子：3 ビットと 8 ビット

The classic demonstration puts one signal through two very different quantizers and compares the errors. The input is a near-full-scale cosine, $x[n] = 0.99\cos(n/10)$ — amplitude 0.99 deliberately, period $20\pi \approx 63$ samples — quantized first with $B=3$ and then with $B=8$.

最經典的示範，是把同一個訊號送進兩個差很多的量化器，再比較它們的誤差。輸入是一個接近滿刻度的餘弦波 $x[n] = 0.99\cos(n/10)$——振幅刻意取 0.99，週期 $20\pi \approx 63$ 個樣本——先用 $B=3$ 量化，再用 $B=8$ 量化。

古典的な実演では、一つの信号をまったく性格の異なる二つの量子化器に通し、誤差を比べる。入力はフルスケールに近い余弦波 $x[n] = 0.99\cos(n/10)$——振幅はあえて 0.99、周期は $20\pi \approx 63$ 標本——であり、まず $B=3$ で、次に $B=8$ で量子化する。

(b) — the staircase. Three bits give $2^3 = 8$ levels. In two's complement the set is lopsided, running $-1$ to $0.75$ with the extra level on the negative side (§6.6.1), and $\Delta = 2/8 = 0.25$. Every sample is forced onto one of those eight dashed lines. Look at the positive peaks, $n \approx 0, 63, 126$: the input reaches $0.99$ but the highest level available is $0.75$, so the waveform is simply clipped flat.

(b) — 階梯。3 個位元給出 $2^3 = 8$ 個位階。用二補數表示時這組位階是不對稱的，從 $-1$ 到 $0.75$，多出來的那一階在負方向（§6.6.1），而 $\Delta = 2/8 = 0.25$。每個樣本都被強制落到這八條虛線之一。看正峰值處 $n \approx 0, 63, 126$：輸入到達 $0.99$，但最高的位階只有 $0.75$，所以波形直接被削平。

(b) — 階段。3 ビットは $2^3 = 8$ 個のレベルを与える。2 の補数ではこの集合は偏っていて、$-1$ から $0.75$ まで走り、余分な 1 レベルは負側にある（§6.6.1）。$\Delta = 2/8 = 0.25$ である。どの標本も八本の破線のいずれかに強制的に乗せられる。正のピーク $n \approx 0, 63, 126$ を見てほしい。入力は $0.99$ に達するが利用できる最高レベルは $0.75$ なので、波形はそのまま平らにクリップされる。

(c) — two things wrong at once. The error $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ is plotted against $\pm\Delta/2 = \pm 0.125$:

(c) — 同時出了兩個問題。誤差 $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ 與 $\pm\Delta/2 = \pm 0.125$ 一起畫出來：

(c) — 二つの不具合が同時に。誤差 $e[n] = Q[x[n]] - x[n]$ を $\pm\Delta/2 = \pm 0.125$ とともに描いてある：

• It escapes the $\pm\Delta/2$ bound. At the three positive peaks the error dives to about $0.75 - 0.99 = -0.24$, roughly twice the supposed limit. That is not quantization error at all — it is overload (clipping) distortion, the signal exceeding the converter's range. Everything §6.6.1 said about the linear region, and therefore the whole uniform-density model, is void there.
• 它跑出了 $\pm\Delta/2$ 的界線。在三個正峰值處，誤差掉到約 $0.75 - 0.99 = -0.24$，大約是理論上限的兩倍。那根本不是量化誤差——而是過載（削波）失真，訊號超出了轉換器的範圍。§6.6.1 講的線性區、以及整個均勻密度模型，在那裡完全失效。
• $\pm\Delta/2$ の境界から飛び出す。三つの正のピークで誤差は約 $0.75 - 0.99 = -0.24$ まで落ち込み、想定された限界のおよそ 2 倍になる。これはそもそも量子化誤差ではない——信号が変換器のレンジを超えたことによる過負荷（クリッピング）歪みである。§6.6.1 が線形領域について述べたこと、したがって一様密度モデル全体が、そこでは無効になる。
• It has visible structure. The whole pattern repeats every $\approx 63$ samples — the period of the cosine. Near the negative peaks ($n \approx 31, 94$) the error traces smooth little arcs, because the signal is barely moving there and sits near $-1$, so the error drifts slowly with it. The error is plainly not random.
• 它有看得見的結構。整個圖案每約 63 個樣本重複一次——正好是餘弦波的週期。在負峰值附近（$n \approx 31, 94$），誤差描出平滑的小弧形，因為訊號在那裡幾乎不動、停在 $-1$ 附近，誤差就跟著它緩慢變化。這個誤差顯然不是隨機的。
• 目に見える構造をもつ。模様全体が $\approx 63$ 標本ごとに繰り返す——余弦波の周期である。負のピーク付近（$n \approx 31, 94$）では誤差がなめらかな小さい弧を描く。そこでは信号がほとんど動かず $-1$ の近くにとどまるので、誤差もそれにつれてゆっくり漂うからである。この誤差は明らかにランダムではない。

(d) — the model working. Eight bits give $\Delta = 2/256 \approx 0.0078$, so $\Delta/2 \approx 0.0039$ — exactly the $\pm 3.9 \times 10^{-3}$ dashed lines. Every sample stays inside them, scattered across the range with no period and no pattern. The signal now crosses 256 levels rather than 8, which is the $|x| \gg 1$ LSB condition of §6.6.2 being comfortably met.

(d) — 模型成立的樣子。8 個位元給出 $\Delta = 2/256 \approx 0.0078$，所以 $\Delta/2 \approx 0.0039$——正好就是圖上 $\pm 3.9 \times 10^{-3}$ 的虛線。每個樣本都落在它們之內，散布在整個範圍裡，沒有週期也沒有規律。此時訊號跨過的是 256 個位階而不是 8 個，§6.6.2 要求的 $|x| \gg 1$ LSB 條件被輕鬆滿足。

(d) — モデルが働いている様子。8 ビットでは $\Delta = 2/256 \approx 0.0078$ なので $\Delta/2 \approx 0.0039$——これがちょうど $\pm 3.9 \times 10^{-3}$ の破線である。どの標本もその内側にとどまり、周期も模様もなくレンジ全体に散らばっている。信号はいまや 8 ではなく 256 のレベルを横切っており、§6.6.2 の $|x| \gg 1$ LSB という条件が余裕をもって満たされている。

What the spectra add頻譜又告訴我們什麼スペクトルが付け加えること

The right-hand panel is the power spectral density of the same error for $B = 3, 7, 11, 15$, and it turns the two observations above into one picture. Shape answers "is it white?" and height answers "how much of it is there?":

右邊那張是同一個誤差在 $B = 3, 7, 11, 15$ 時的功率譜密度，它把上面兩點觀察合成了一張圖。形狀回答「它白不白？」，高度回答「它有多大？」：

右のパネルは $B = 3, 7, 11, 15$ における同じ誤差の電力スペクトル密度であり、上の二つの観察を一枚の絵にまとめてくれる。形が「白いか？」に答え、高さが「どれだけあるか？」に答える：

• $B = 3$ is visibly not flat. The curve heaves up and down by more than 20 dB. Because the error is locked to the signal, its energy piles up at particular frequencies — those humps are harmonic distortion, not a noise floor. This is the spectral signature of the correlation seen in panel (c).
• $B = 3$明顯不平坦。曲線上下起伏超過 20 dB。因為誤差和訊號綁在一起，能量堆積在特定頻率——那些隆起是諧波失真，不是雜訊底。這正是圖 (c) 中那種相關性在頻譜上的特徵。
• $B = 3$ は見るからに平坦でない。曲線は 20 dB 以上も上下にうねる。誤差が信号に縛りつけられているため、そのエネルギーは特定の周波数に積み上がる——それらの隆起は雑音フロアではなく高調波歪みである。これがパネル (c) で見た相関のスペクトル上の特徴である。
• $B = 7, 11, 15$ flatten out progressively. By $B=15$ the trace is a straight horizontal line: white noise, exactly as the additive model promises.
• $B = 7, 11, 15$ 逐漸變平。到了 $B=15$，曲線已經是一條水平直線：白雜訊，正如加性模型所保證的。
• $B = 7, 11, 15$ では次第に平坦になる。$B=15$ では軌跡はまっすぐな水平線になる。加法性モデルが約束するとおりの白色雑音である。
• Each 4 extra bits drop the floor by about 24 dB — that is $4 \times 6.02$, the 6 dB per bit rule of §6.6.3 read off a graph.
• 每多 4 個位元，雜訊底就下降約 24 dB——也就是 $4 \times 6.02$，等於從圖上直接讀出 §6.6.3 的「每位元 6 dB」規則。
• 4 ビット増やすごとにフロアは約 24 dB 下がる——これは $4 \times 6.02$ であり、§6.6.3 の「1 ビットあたり 6 dB」の法則をグラフから読み取ったものである。

6.6.3 Quantization SNR, Bits, and Dynamic Range6.6.3 量化訊雜比、位元數與動態範圍6.6.3 量子化 SNR、ビット数、ダイナミックレンジ

With signal power $P_{\text{avg}} = \sigma_x^2$ and noise power $\sigma_e^2 = \Delta^2/12$, substituting $\Delta = 2\,m_{\max}\,2^{-B}$ gives $\sigma_e^2 = \tfrac{1}{3}\,m_{\max}^2\,2^{-2B}$, so:

設訊號功率為 $P_{\text{avg}} = \sigma_x^2$、雜訊功率為 $\sigma_e^2 = \Delta^2/12$，代入 $\Delta = 2\,m_{\max}\,2^{-B}$ 得到 $\sigma_e^2 = \tfrac{1}{3}\,m_{\max}^2\,2^{-2B}$，因此：

信号電力 $P_{\text{avg}} = \sigma_x^2$、雑音電力 $\sigma_e^2 = \Delta^2/12$ とし、$\Delta = 2\,m_{\max}\,2^{-B}$ を代入すると $\sigma_e^2 = \tfrac{1}{3}\,m_{\max}^2\,2^{-2B}$ となるので：

Dynamic range of a linear system equals this SNR: the ratio in dB between the largest representable signal and the noise floor. Powers use $10\log_{10}(\cdot)$, amplitudes $20\log_{10}(\cdot)$, since $P \propto |A|^2$. A related implementation issue is coefficient quantization: filter coefficients stored with finite precision move the poles/zeros of $H(z)$ slightly, perturbing the realized frequency response — a preview of finite-wordlength effects (§6.6.6).

線性系統的動態範圍就等於這個 SNR：能表示的最大訊號與雜訊底之間的 dB 比值。功率用 $10\log_{10}(\cdot)$，振幅用 $20\log_{10}(\cdot)$，因為 $P \propto |A|^2$。另一個相關的實作問題是係數量化：濾波器係數以有限精度儲存，會讓 $H(z)$ 的零極點稍微移位，實際做出來的頻率響應也跟著偏掉——這是有限字長效應的前奏（§6.6.6）。

線形システムのダイナミックレンジはこの SNR に等しい。表現できる最大の信号と雑音フロアとの dB 比である。$P \propto |A|^2$ なので、電力には $10\log_{10}(\cdot)$、振幅には $20\log_{10}(\cdot)$ を使う。関連する実装上の問題が係数量子化である。有限精度で格納されたフィルタ係数は $H(z)$ の極・零点をわずかに動かし、実現される周波数応答を乱す——有限語長効果の予告編である（§6.6.6）。

6.6.4 Case Study — How Deep Must the CD Anti-Aliasing Filter's Stopband Be?6.6.4 案例——CD 抗混疊濾波器的阻帶要壓多深？6.6.4 ケーススタディ——CD のアンチエイリアシングフィルタの阻止域はどれだけ深くすべきか

Sections 6.3.3 and 6.6.3 meet here. The anti-aliasing filter of §6.3.3 has a passband and a stopband, and the passband is easy: $0$ dB from DC to 20 kHz, the edge of hearing. The stopband is the real design question — how many dB of attenuation is enough? A brick wall is impossible, so some out-of-band energy always survives the filter and folds into the baseband when the signal is sampled. The quantizer of §6.6 supplies the answer: stop when the residual aliasing has been pushed below the converter's own quantization noise.

§6.3.3 與 §6.6.3 在這裡交會。§6.3.3 的抗混疊濾波器有通帶與阻帶，通帶很好訂：從直流到人耳上限 20 kHz，增益 $0$ dB。真正的設計問題在阻帶——衰減要做到幾 dB 才夠？直角截止不可能存在，所以帶外總有一些能量穿過濾波器，取樣後折回基頻變成混疊。§6.6 的量化器給了答案：把殘留的混疊壓到比轉換器自身的量化雜訊還低，就可以停了。

§6.3.3 と §6.6.3 がここで出会う。§6.3.3 のアンチエイリアシングフィルタには通過域と阻止域があり、通過域のほうは易しい。直流から聴覚の上限である 20 kHz まで $0$ dB でよい。本当の設計課題は阻止域である——減衰は何 dB あれば十分なのか。矩形特性は不可能なので、帯域外のエネルギーは常にいくらかフィルタを生き延び、標本化のときにベースバンドへ折り返してくる。その答えを与えるのが §6.6 の量子化器である。残留した折り返しを変換器自身の量子化雑音より下に押し下げたら、そこでやめればよい。

The logic is symmetric, and both directions matter:

這個邏輯是對稱的，兩個方向都要想過：

この論法は対称であり、両方向とも重要である：

• Too little attenuation. The folded-back alias is louder than the quantization noise, so it is the dominant error. Worse, aliasing is not noise-like — it is a coherent tone at the wrong frequency, which the ear picks out far more readily than a flat noise floor. The audio is audibly damaged.
• 衰減不夠深。折回來的混疊比量化雜訊還大，就變成主要的誤差來源。更糟的是混疊不像雜訊——它是一個落在錯誤頻率上的相干音，人耳對它的敏感度遠高於平坦的雜訊底。音質會被聽得出來的破壞。
• 減衰が足りない場合。折り返してきた別名が量子化雑音より大きくなり、支配的な誤差になる。さらに悪いことに、折り返しは雑音らしくない——誤った周波数に立つ干渉性の純音であり、平坦な雑音フロアよりはるかに耳につきやすい。音質ははっきりと損なわれる。
• More attenuation than that. Wasted. The residual alias is already buried under the quantizer's own noise; pushing it lower cannot improve what you hear, because the 16-bit quantization noise now sets the quality ceiling. All you have bought is a much harder — larger, more expensive, more phase-distorting — analog filter.
• 衰減做得更深。白費工夫。殘留的混疊已經被量化雜訊淹沒了，再壓低也改善不了聽感，因為品質上限此刻是由 16 位元的量化雜訊決定的。你換來的只是一個更難做的類比濾波器——更大、更貴、相位失真更嚴重。
• それ以上に減衰させた場合。無駄である。残留した別名はすでに量子化器自身の雑音の下に埋もれており、それをさらに下げても聞こえ方は改善しない。品質の天井を決めているのは、いまや 16 ビットの量子化雑音だからである。買えたのは、はるかに作りにくい——大きく、高価で、位相歪みも大きい——アナログフィルタだけである。

This is the general engineering pattern of error budgeting: drive every error source down to the level of the one you cannot remove, and then stop.

這是工程上常見的誤差預算思維：把每一項誤差壓到「那個你無論如何都消不掉的誤差」的水準，然後就停手。

これは誤差配分（エラーバジェット）という工学一般の型である。取り除けない誤差の水準まで各誤差源を下げ、そこで止める。

Where $-98.08$ dB comes from$-98.08$ dB 是怎麼來的$-98.08$ dB の出どころ

The number is the signal-to-quantization-noise ratio (SQNR) of a $B$-bit quantizer — the same $6.02B + 1.76$ bound derived in §6.6.3, re-assembled here in four steps so the chain from §6.6.1 to the filter specification is visible end to end:

這個數字就是 $B$ 位元量化器的訊號對量化雜訊比（SQNR）——和 §6.6.3 推出的 $6.02B + 1.76$ 是同一條界線；這裡用四個步驟重組一次，好讓「§6.6.1 的量化器 → 濾波器規格」這條鏈從頭到尾都看得見：

この数は $B$ ビット量子化器の信号対量子化雑音比（SQNR）である——§6.6.3 で導いた $6.02B + 1.76$ と同じ上界を、§6.6.1 からフィルタ仕様までの鎖が端から端まで見えるように、ここで四段階に組み直したものである：

The resulting CD filter specification於是得到 CD 的濾波器規格こうして得られる CD のフィルタ仕様

Where the stopband starts admits two defensible answers, and they differ by more than 2 kHz of precious transition band:

阻帶從哪裡開始，有兩種都說得通的答案，而兩者差了 2 kHz 以上的寶貴過渡帶：

阻止域がどこから始まるかについては、どちらも擁護できる答えが二つあり、しかも両者は貴重な遷移帯域にして 2 kHz 以上も違う：

• Strict — stopband begins at $f_s/2 = 22.05$ kHz. No aliasing of any kind is tolerated. Anything above the Nyquist frequency folds somewhere into $0$–22.05 kHz, so it must already be 98 dB down by 22.05 kHz. Transition band: 2.05 kHz.
• 嚴格——阻帶從 $f_s/2 = 22.05$ kHz 開始。完全不容許任何混疊。凡是高於 Nyquist 頻率的成分都會折進 $0$–22.05 kHz 的某處，所以到 22.05 kHz 時就必須已經衰減 98 dB。過渡帶只有 2.05 kHz。
• 厳格 — 阻止域は $f_s/2 = 22.05$ kHz から始まる。いかなる折り返しも許容しない立場である。ナイキスト周波数より上のものはすべて $0$–22.05 kHz のどこかへ折り返すので、22.05 kHz の時点で既に 98 dB 落ちていなければならない。遷移帯域は 2.05 kHz。
• Relaxed — stopband begins at $f_s - 20\,\text{kHz} = 24.1$ kHz. Content between 22.05 and 24.1 kHz does alias, but it folds to $f_s - f$, which lands in 20–22.05 kHz — above the audible band, where nobody can hear it. Only components above 24.1 kHz fold into the audible 0–20 kHz range, so only those must be 98 dB down. Transition band: 4.1 kHz, twice as wide, and the filter order roughly halves.
• 放寬——阻帶從 $f_s - 20\,\text{kHz} = 24.1$ kHz 開始。22.05 到 24.1 kHz 之間的成分確實會混疊，但它折到 $f_s - f$，落在 20–22.05 kHz——已經在可聽範圍之外，沒有人聽得到。只有高於 24.1 kHz 的成分才會折進 0–20 kHz 的可聽帶，所以只有它們需要衰減 98 dB。過渡帶變成 4.1 kHz，寬了一倍，濾波器階數也大約減半。
• 緩い — 阻止域は $f_s - 20\,\text{kHz} = 24.1$ kHz から始まる。22.05 kHz から 24.1 kHz の成分はたしかに折り返すが、折り返し先は $f_s - f$ であり、20–22.05 kHz に着地する——可聴帯域の上であり、誰にも聞こえない。可聴域 0–20 kHz へ折り返してくるのは 24.1 kHz より上の成分だけなので、98 dB 落とす必要があるのもそれらだけである。遷移帯域は 4.1 kHz と 2 倍の広さになり、フィルタの次数はおよそ半分になる。

The practical escape: oversample, then filter digitally實務上的解法：先過取樣，再用數位濾波実務的な逃げ道：オーバーサンプリングしてディジタルで濾波する

Modern converters sidestep the whole problem by sampling far faster than 44.1 kHz — 64× is typical in sigma-delta audio ADCs. The Nyquist frequency moves to 1.41 MHz, so the analog anti-aliasing filter now needs to reach $-98$ dB somewhere beyond 2.80 MHz instead of 24.1 kHz. That is over seven octaves of transition band, and the order collapses:

現代的轉換器繞過整個問題的方法，是用遠高於 44.1 kHz 的頻率取樣——$\Sigma\Delta$ 音訊 ADC 常用 64 倍。Nyquist 頻率移到 1.41 MHz，於是類比抗混疊濾波器只要在 2.80 MHz 之後掉到 $-98$ dB 就好，而不是 24.1 kHz。這等於有七個八度以上的過渡帶，階數隨之崩塌：

現代の変換器は 44.1 kHz よりはるかに速く標本化することで、この問題をまるごと回避する——シグマデルタ音声 ADC では 64 倍が典型である。ナイキスト周波数は 1.41 MHz へ移るので、アナログのアンチエイリアシングフィルタは 24.1 kHz ではなく 2.80 MHz より先のどこかで $-98$ dB に達すればよくなる。これは 7 オクターブ以上の遷移帯域であり、次数は一気に崩れ落ちる：

(Orders computed for a 0.1 dB passband ripple and 98.08 dB stopband attenuation, the same spec throughout.) A 3rd-order analog filter is a handful of passive components — cheap, stable, and with mild phase behaviour across the audio band.

（階數都是以 0.1 dB 通帶漣波、98.08 dB 阻帶衰減這同一組規格算出來的。）3 階類比濾波器不過是幾個被動元件——便宜、穩定，而且在整個音訊頻帶內相位都很溫和。

（次数はいずれも通過域リプル 0.1 dB、阻止域減衰 98.08 dB という同一の仕様で計算した。）3 次のアナログフィルタは受動部品が数個あれば済む——安価で安定しており、音声帯域全体にわたって位相のふるまいも穏やかである。

The sharp 20 kHz cutoff still has to happen — it just moves into the digital domain, where a high-order FIR filter running at 2.82 MHz does it with exact coefficients, no drift, and (being linear-phase) no phase distortion at all. The output is then decimated back down to 44.1 kHz, which is legal precisely because the digital filter has already removed everything above 20 kHz. That decimation stage is the downsampling chain sketched in §6.3.5 and is developed properly in Chapter 7.

陡峭的 20 kHz 截止還是得做——只是搬到數位域去：一個跑在 2.82 MHz 的高階 FIR 濾波器用精確的係數完成它，不會漂移，而且（因為是線性相位）完全沒有相位失真。接著再把輸出降取樣回 44.1 kHz，而這一步之所以合法，正是因為數位濾波器已經把 20 kHz 以上的東西都清乾淨了。這個降取樣階段就是 §6.3.5 勾勒的流程，第 7 章會完整展開。

急峻な 20 kHz の遮断は依然として行わなければならない——ただしそれがディジタル領域へ移るだけである。2.82 MHz で動く高次の FIR フィルタが、正確な係数で、ドリフトなしに、しかも（直線位相なので）位相歪みをまったく生じずにそれを行う。その出力はその後 44.1 kHz へ間引かれる。これが許されるのは、ディジタルフィルタが 20 kHz より上をすでに取り除いているからにほかならない。この間引き段が §6.3.5 で素描したダウンサンプリングの流れであり、第 7 章できちんと展開する。

6.6.5 Effective Number of Bits (ENOB)6.6.5 有效位元數（ENOB）6.6.5 有効ビット数（ENOB）

Worked Example 6-2 quoted the TLV320AIC23B codec as having "$\approx 14.6$ effective bits", and a fractional bit ought to look suspicious — no converter emits 0.6 of a bit. The number is an effective number of bits (ENOB), and it is not the width of the output word at all. It is the ideal-quantizer resolution back-solved from a measured SNR, which is why it comes out fractional.

範例 6-2 提到 TLV320AIC23B 編解碼器有「約 $14.6$ 個有效位元」，而「0.6 個位元」這種說法本來就該讓人起疑——沒有任何轉換器會輸出 0.6 個位元。這個數字是有效位元數（ENOB），它根本不是輸出字組的寬度，而是從量測到的 SNR 反推回去的理想量化器解析度，所以自然會是小數。

例題 6-2 では TLV320AIC23B コーデックが「$\approx 14.6$ 有効ビット」をもつと述べたが、ビットに端数があるのは怪しく見えるはずだ——0.6 ビットを出力する変換器など存在しない。この数は有効ビット数（ENOB）であり、出力語の幅ではまったくない。測定された SNR から逆算された理想量子化器の分解能であり、だからこそ小数になる。

Take the ideal-quantizer bound of §6.6.3 and solve it for $B$ instead of evaluating it:

把 §6.6.3 理想量化器的那條界線反過來解 $B$，而不是拿來求值：

§6.6.3 の理想量子化器の上界を、値を求めるのではなく $B$ について解いてみよう：

SNR is a continuous measured quantity, so the $B$ that falls out of it is continuous too. The question ENOB answers is:

SNR 是連續的量測值，所以反推出來的 $B$ 自然也是連續的。ENOB 回答的問題是：

SNR は連続量の測定値なので、そこから出てくる $B$ も連続である。ENOB が答える問いはこうだ：

Reading the codec datasheet讀這顆編解碼器的規格書コーデックのデータシートを読む

Every figure on the slide comes from the same division. THD (total harmonic distortion) is converted by the identical formula, where it reads as "this much distortion is equivalent to the quantization error of an ideal converter of so many bits":

投影片上的每一個數字都出自同一個除法。THD（總諧波失真）也用完全一樣的公式換算，讀法是「這麼大的失真，相當於幾位元理想轉換器的量化誤差」：

スライド上のどの数字も同じ割り算から出ている。THD（全高調波歪み）も同一の公式で換算され、「これだけの歪みは、何ビットの理想変換器の量子化誤差に相当するか」と読む：

How to read a fractional bit小數位元怎麼讀小数ビットの読み方

Since one bit is worth about 6 dB, the fraction is simply a gap smaller than 6 dB:

因為 1 個位元約當 6 dB，小數部分不過就是「不到 6 dB 的差距」：

1 ビットが約 6 dB に相当するので、小数部分は 6 dB に満たない差にすぎない：

• $0.5$ bit $= 3.01$ dB — a factor of 2 in noise power.
• $0.5$ 個位元 $= 3.01$ dB——雜訊功率差 2 倍。
• $0.5$ ビット $= 3.01$ dB——雑音電力にして 2 倍の差である。
• $0.1$ bit $= 0.60$ dB.
• $0.1$ 個位元 $= 0.60$ dB。
• $0.1$ ビット $= 0.60$ dB。

So "14.6 bits" means: about $0.6 \times 6.02 = 3.6$ dB better than an ideal 14-bit converter, but not good enough to reach 15. Read the other way, buying one more genuine bit of performance means finding another 6 dB — which in a real design is a matter of layout, supply noise, reference stability and jitter, not of widening the output word.

所以「14.6 位元」的意思是：比理想的 14 位元轉換器好約 $0.6 \times 6.02 = 3.6$ dB，但還不足以達到 15 位元。反過來讀，要真正多買到 1 個位元的性能，就得再找出 6 dB——在真實設計中，那是佈線、電源雜訊、參考電壓穩定度與抖動的問題，而不是把輸出字長加寬就能解決的。

つまり「14.6 ビット」とは、理想的な 14 ビット変換器よりおよそ $0.6 \times 6.02 = 3.6$ dB よいが、15 ビットに届くほどではない、という意味である。逆から読めば、本物の 1 ビット分の性能を買うにはさらに 6 dB を見つけ出さねばならず、実際の設計ではそれは基板レイアウト、電源雑音、基準電圧の安定度、ジッタの問題であって、出力語を広げる話ではない。

The chain is only as good as its worst link整條鏈取決於最差的那一環鎖の強さは最も弱い環で決まる

Now the design question the slide is really asking. Record through this board and play back, and the signal passes through every stage in turn; the effective resolution of the whole path is set by whichever stage is worst:

現在才是投影片真正要問的設計問題。用這塊板子錄音再播放，訊號會依序通過每一級；整條路徑的有效解析度，由其中最差的那一級決定：

ここからがスライドの本当に問うている設計上の問いである。この基板で録音して再生すれば、信号は各段を順に通過し、経路全体の実効分解能は最も悪い段で決まる：

The ADC's THD of 13 bits is the worst number anywhere in the chain, so recording and playing back through this board preserves roughly 13 effective bits — despite the source being 16-bit and the DAC being capable of more. Looking at noise alone and ignoring distortion, the bottleneck is instead the ADC's 14.6 bits.

ADC 的 THD 只有 13 位元，是整條鏈中最差的數字，所以用這塊板子錄音再播放，大約只能保有 13 個有效位元——儘管來源是 16 位元、DAC 的能力也更好。若只看雜訊而不看失真，瓶頸則換成 ADC 的 14.6 位元。

ADC の THD の 13 ビットが鎖全体で最も悪い数字なので、この基板で録音して再生すればおよそ 13 有効ビットしか保たれない——音源が 16 ビットで、DAC にはもっと余力があるにもかかわらず、である。歪みを無視して雑音だけを見るなら、ボトルネックは代わりに ADC の 14.6 ビットになる。

6.6.6 Coefficient Quantization — When a Stable Pole Becomes Unstable6.6.6 係數量化——穩定的極點如何變得不穩定6.6.6 係数量子化——安定な極点が不安定になるとき

Everything so far quantized the signal. A second, completely separate wordlength problem quantizes the system: the coefficients of $H(z)$ must also be stored in finite precision. §6.6.3 mentioned it in passing; here is what it actually does.

到目前為止量化的都是訊號。還有第二個完全獨立的字長問題，量化的是系統本身：$H(z)$ 的係數同樣必須以有限精度儲存。§6.6.3 只順帶提過一句，這裡看它到底造成什麼。

ここまではすべて信号を量子化してきた。もう一つ、まったく別の語長の問題がシステムを量子化する。$H(z)$ の係数もまた有限精度で格納しなければならないのである。§6.6.3 はそれをついでに触れただけだった。ここではそれが実際に何をするのかを見る。