The z-Transformz 轉換z 変換

5.1 The z-Transform5.1 z 轉換5.1 z 変換

5.1.1 Definition and the z-plane5.1.1 定義與 z 平面5.1.1 定義と z 平面

The DTFT of Chapter 3 only exists for sequences that are absolutely (or square) summable — it fails for signals as basic as the unit step $\mu[n]$ or a growing exponential $2^n\mu[n]$. The z-transform generalizes the DTFT by evaluating the sum on a complex variable $z$ instead of on $e^{j\omega}$ only, which buys convergence for a much larger class of sequences and turns difference equations into algebra.

第 3 章的 DTFT 只對絕對可和（或平方可和）的序列存在 —— 連單位步階 $\mu[n]$ 或成長的指數 $2^n\mu[n]$ 這麼基本的訊號都沒辦法處理。z 轉換把 DTFT 推廣了：它不再只在 $e^{j\omega}$ 上求和，而是在複變數 $z$ 上求和，因而讓更大一類的序列得以收斂，也把差分方程式變成了代數運算。

第 3 章の DTFT は絶対可和（あるいは二乗可和）な系列に対してしか存在せず、単位ステップ $\mu[n]$ や増大する指数 $2^n\mu[n]$ ほど基本的な信号ですら扱えない。z 変換は、和を $e^{j\omega}$ の上だけでなく複素変数 $z$ の上で評価することによって DTFT を一般化する。これによってはるかに広いクラスの系列について収束が得られ、差分方程式は代数の問題に変わる。

We write the pair as $g[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} G(z)$. Throughout this course the unit step is written $\mu[n]$ (identical to the $u[n]$ used in many textbooks). Since $z$ is a complex number, it is natural to picture $G(z)$ as a function defined over the z-plane: writing $z = re^{j\omega}$, the radius $r=|z|$ and the angle $\omega=\angle z$ play very different roles, as we now see.

這組轉換對寫成 $g[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} G(z)$。本課程一律把單位步階寫成 $\mu[n]$（和許多教科書用的 $u[n]$ 是同一個東西）。既然 $z$ 是複數，自然就把 $G(z)$ 想成定義在 z 平面上的函數：寫成 $z = re^{j\omega}$ 後，半徑 $r=|z|$ 與角度 $\omega=\angle z$ 扮演的角色非常不同，這一點馬上就會看到。

この変換対を $g[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} G(z)$ と書く。本講義では単位ステップを一貫して $\mu[n]$ と書く（多くの教科書で用いられる $u[n]$ と同じものである）。$z$ は複素数であるから、$G(z)$ を z 平面の上で定義された関数として思い描くのが自然である。$z = re^{j\omega}$ と書いたとき、半径 $r=|z|$ と角度 $\omega=\angle z$ はまったく異なる役割を果たす。それをこれから見ていく。

5.1.2 Relation to the DTFT5.1.2 與 DTFT 的關係5.1.2 DTFT との関係

Substituting $z = re^{j\omega}$ into the definition:

把 $z = re^{j\omega}$ 代入定義：

定義に $z = re^{j\omega}$ を代入すると：

So the z-transform evaluated on the circle of radius $r$ is the DTFT of $g[n]$ after multiplication by the exponential weight $r^{-n}$. A decaying weight ($r>1$ for right-sided signals) can tame a sequence whose plain DTFT diverges. Two immediate consequences:

所以，在半徑為 $r$ 的圓上求得的 z 轉換，就是 $g[n]$ 先乘上指數權重 $r^{-n}$ 之後的 DTFT。一個會衰減的權重（對右邊訊號而言就是 $r>1$）可以馴服原本 DTFT 發散的序列。這立刻帶來兩個結論：

すなわち、半径 $r$ の円上で評価した z 変換は、指数的な重み $r^{-n}$ を掛けたあとの $g[n]$ の DTFT である。減衰する重み（右側信号であれば $r>1$）は、素の DTFT が発散してしまう系列を飼いならすことができる。ここから直ちに二つの帰結が得られる：

• Setting $r = 1$ (the unit circle, $z = e^{j\omega}$) recovers the ordinary DTFT: $$G(e^{j\omega}) = G(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$$
• The DTFT of $g[n]$ exists exactly when the unit circle lies inside the region where the sum converges — the ROC of §5.2.

• 取 $r = 1$（也就是單位圓，$z = e^{j\omega}$）就回到普通的 DTFT： $$G(e^{j\omega}) = G(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$$
• $g[n]$ 的 DTFT 存在的充要條件，就是單位圓落在級數收斂的區域內 —— 也就是 §5.2 的 ROC。

• $r = 1$ とおけば（単位円、$z = e^{j\omega}$）通常の DTFT に戻る： $$G(e^{j\omega}) = G(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$$
• $g[n]$ の DTFT が存在するのは、和が収束する領域の内部に単位円が含まれるとき、かつそのときに限る —— §5.2 の ROC である。

5.1.3 The Laplace parallel and the mapping $z=e^{sT}$5.1.3 與拉普拉斯轉換的對應，以及映射 $z=e^{sT}$5.1.3 ラプラス変換との対応と写像 $z=e^{sT}$

The trick of §5.1.2 — multiply by a decaying weight, then take a Fourier transform — is not new with the z-transform. It is exactly what the Laplace transform does in continuous time, and the two are the same idea written for the two kinds of signal.

§5.1.2 的手法 —— 先乘上一個衰減權重，再做傅立葉轉換 —— 並不是 z 轉換才有的。拉普拉斯轉換在連續時間做的正是同一件事；兩者是同一個想法，分別寫給兩種訊號用（同一個想法：先乘上衰減因子讓級數收斂，再做傅立葉轉換）。

§5.1.2 の手口 —— 減衰する重みを掛け、そのあとでフーリエ変換をとる —— は z 変換で初めて現れたものではない。連続時間においてラプラス変換が行っているのはまさに同じことであり、両者は同一の考えを二種類の信号それぞれに向けて書いたものである。

The correspondence in the last three rows is not an analogy — it is a genuine change of variable, which sampling makes exact.

最後三列的對應並不只是比喻 —— 它是一個貨真價實的變數代換，而取樣讓這個代換完全精確。

最後の三行の対応は比喩ではない —— 正真正銘の変数変換であり、標本化がその変換を厳密なものにする。

The exact correspondence: $z=e^{sT}$精確的對應關係：$z=e^{sT}$厳密な対応関係：$z=e^{sT}$

Sample a continuous signal at period $T$, so $x[n]=x(nT)$. The Laplace kernel evaluated at the sample instants is $e^{-st}\big|_{t=nT} = e^{-snT} = \bigl(e^{sT}\bigr)^{-n}$, which is precisely the z-transform kernel $z^{-n}$ with

以週期 $T$ 對連續訊號取樣，得到 $x[n]=x(nT)$。把拉普拉斯的核函數在取樣時刻求值：$e^{-st}\big|_{t=nT} = e^{-snT} = \bigl(e^{sT}\bigr)^{-n}$，這恰好就是 z 轉換的核函數 $z^{-n}$，其中

連続時間信号を周期 $T$ で標本化し、$x[n]=x(nT)$ とする。ラプラス変換の核を標本時刻で評価すると $e^{-st}\big|_{t=nT} = e^{-snT} = \bigl(e^{sT}\bigr)^{-n}$ となり、これはまさに z 変換の核 $z^{-n}$ そのものである。ただし

So $r^{-n} = e^{-\sigma T n}$ is the continuous damping factor $e^{-\sigma t}$ read off at the sample instants — the two weights of the table above are the same function. The map sends the three regions of the $s$-plane to the three regions of the $z$-plane:

所以 $r^{-n} = e^{-\sigma T n}$ 就是連續時間的阻尼因子 $e^{-\sigma t}$ 在取樣時刻上讀出來的值 —— 上表中的兩個權重其實是同一個函數。這個映射把 $s$ 平面的三個區域送到 $z$ 平面的三個區域：

つまり $r^{-n} = e^{-\sigma T n}$ は、連続時間の減衰因子 $e^{-\sigma t}$ を標本時刻で読み取ったものそのものである —— 上の表の二つの重みは同じ関数なのである。この写像は $s$ 平面の三つの領域を $z$ 平面の三つの領域へ送る：

• $\sigma = 0$ (the $j\Omega$ axis) $\;\to\; r=1$ (the unit circle): the Fourier transform maps to the DTFT.
• $\sigma < 0$ (left half-plane) $\;\to\; r<1$ (inside the unit circle): stable maps to stable.
• $\sigma > 0$ (right half-plane) $\;\to\; r>1$ (outside): unstable maps to unstable.

• $\sigma = 0$（$j\Omega$ 軸）$\;\to\; r=1$（單位圓）：傅立葉轉換對應到 DTFT。
• $\sigma < 0$（左半平面）$\;\to\; r<1$（單位圓內）：穩定對應到穩定。
• $\sigma > 0$（右半平面）$\;\to\; r>1$（單位圓外）：不穩定對應到不穩定。

• $\sigma = 0$（$j\Omega$ 軸）$\;\to\; r=1$（単位円）：フーリエ変換は DTFT へ写る。
• $\sigma < 0$（左半平面）$\;\to\; r<1$（単位円の内側）：安定は安定へ写る。
• $\sigma > 0$（右半平面）$\;\to\; r>1$（外側）：不安定は不安定へ写る。

Aliasing（混疊）— when two analog frequencies become the same sequence混疊（aliasing）— 當兩個類比頻率變成同一個序列エイリアシング（混疊）— 二つのアナログ周波数が同じ系列になるとき

Aliasing means: after sampling, different analog frequencies produce exactly the same discrete sequence, and can no longer be told apart. The word alias means an assumed name — a high-frequency signal shows up under a low frequency's name.

混疊的意思是：取樣之後，不同的類比頻率會產生完全相同的離散序列，再也無法區分。alias 這個字的意思是「化名」—— 高頻訊號頂著低頻的名字出現。

エイリアシングとは、標本化のあとでは異なるアナログ周波数がまったく同じ離散系列を生み、もはや互いを区別できなくなることをいう。alias という語は仮の名を意味する —— 高い周波数の信号が、低い周波数の名を借りて現れるのである。

Take $f_s = 10$ Hz, i.e. $T=0.1$ s, and sample two cosines. At 1 Hz:

取 $f_s = 10$ Hz，也就是 $T=0.1$ 秒，對兩個餘弦波取樣。1 Hz 的訊號：

$f_s = 10$ Hz、すなわち $T=0.1$ s として、二つの余弦波を標本化する。1 Hz では：

At 9 Hz:

9 Hz 的訊號：

9 Hz では：

because $n$ is an integer and $\cos(2\pi n-\theta)=\cos\theta$. The two sample sets are identical; so are those of 11 Hz, 19 Hz, 21 Hz, … Given only $g[n]$, nothing distinguishes a 1 Hz original from a 9 Hz one — the convention is to read it as the lowest candidate, so the 9 Hz signal is mistaken for 1 Hz.

因為 $n$ 是整數，而且 $\cos(2\pi n-\theta)=\cos\theta$。兩組樣本完全相同；11 Hz、19 Hz、21 Hz…… 也都一樣。拿到的若只有 $g[n]$，就沒有任何依據能分辨原訊號是 1 Hz 還是 9 Hz —— 慣例是把它讀成最低的那個候選者，所以 9 Hz 的訊號被誤認成 1 Hz。

$n$ が整数であり、かつ $\cos(2\pi n-\theta)=\cos\theta$ だからである。二組の標本はまったく同一であり、11 Hz、19 Hz、21 Hz … でも同じことが起こる。$g[n]$ だけを与えられたとき、もとが 1 Hz か 9 Hz かを区別する手がかりは何もない —— 慣習として最も低い候補として読むので、9 Hz の信号は 1 Hz と取り違えられる。

The reason is the $2\pi$-periodicity of the digital frequency established just above: since $e^{j(\omega+2\pi)n} = e^{j\omega n}e^{j2\pi n} = e^{j\omega n}$, only the range $-\pi<\omega\le\pi$ is unique. $\Omega$ may be arbitrarily large, but $\omega=\Omega T$ folds back into that one turn of the unit circle. In the frequency domain the same fact reads: sampling replicates the analog spectrum every $\Omega_s = 2\pi/T$. If the signal is narrow enough the copies stay apart and the spectrum survives intact; if its highest frequency exceeds $\Omega_s/2$ the neighbouring copies overlap, and what overlaps is mixed together for good.

原因就是上面剛建立的數位頻率 $2\pi$ 週期性：因為 $e^{j(\omega+2\pi)n} = e^{j\omega n}e^{j2\pi n} = e^{j\omega n}$，只有 $-\pi<\omega\le\pi$ 這一段是唯一的。$\Omega$ 可以任意大，但 $\omega=\Omega T$ 一定會折回單位圓的那一圈之內。在頻域裡，同一件事的說法是：取樣會讓類比頻譜每隔 $\Omega_s = 2\pi/T$ 複製一份。若訊號夠窄，複本彼此分開，頻譜完整保留；若它的最高頻率超過 $\Omega_s/2$，相鄰的複本就會重疊，而重疊的部分從此混在一起再也分不開。

理由は、すぐ上で確かめたディジタル周波数の $2\pi$ 周期性にある：$e^{j(\omega+2\pi)n} = e^{j\omega n}e^{j2\pi n} = e^{j\omega n}$ であるから、一意なのは範囲 $-\pi<\omega\le\pi$ だけである。$\Omega$ はいくらでも大きくできるが、$\omega=\Omega T$ は必ず単位円のその一周の中へ折り返される。周波数領域で同じ事実を述べれば、標本化はアナログスペクトルを $\Omega_s = 2\pi/T$ ごとに複製する、となる。信号が十分に狭ければ複製どうしは離れたままでスペクトルは無傷のまま残るが、最高周波数が $\Omega_s/2$ を超えると隣り合う複製が重なり、重なったものは二度と分けられない形で混ざり合う。

5.2 Region of Convergence (ROC)5.2 收斂域（ROC）5.2 収束領域（ROC）

5.2.1 Why the ROC is necessary5.2.1 為什麼一定要指定 ROC5.2.1 なぜ ROC が必要か

The critical question for any $z$: does $\sum_n g[n]z^{-n}$ converge to a finite value? The region of convergence (ROC) $\mathcal{R}_g$ is the set of $z$ for which it does. In general it depends only on $|z|$, so it is always a circular region — the inside of a circle, the outside of a circle, or a ring (annulus).

對任何一個 $z$，關鍵問題都是：$\sum_n g[n]z^{-n}$ 是否收斂到有限值？收斂域（region of convergence，ROC）$\mathcal{R}_g$ 就是使它收斂的所有 $z$ 所成的集合。一般而言這只取決於 $|z|$，所以它永遠是圓形的區域 —— 圓的內部、圓的外部，或是一個圓環。

どんな $z$ についても決定的な問いは同じである：$\sum_n g[n]z^{-n}$ は有限の値に収束するか。収束領域（ROC） $\mathcal{R}_g$ とは、それが収束するような $z$ の集合である。一般にそれは $|z|$ のみに依存するので、つねに円形の領域になる —— 円の内側、円の外側、あるいは円環（annulus）である。

What $\lambda$ is, and why it is the pole$\lambda$ 是什麼，又為什麼它就是極點$\lambda$ とは何か、そしてなぜそれが極なのか

$\lambda$ is simply a constant — real or complex — the base of the exponential $\lambda^n$. It is worth pausing on, because a single number controls both what the signal looks like in time and where the transform's pole sits in the $z$-plane.

$\lambda$ 就只是一個常數 —— 可以是實數或複數 —— 是指數 $\lambda^n$ 的底。它值得停下來想一想，因為單單一個數字，同時決定了訊號在時域長什麼樣子，以及轉換的極點落在 $z$ 平面的哪裡。

$\lambda$ は単なる定数であり —— 実数でも複素数でもよい —— 指数 $\lambda^n$ の底である。ここで一度立ち止まる価値がある。たった一つの数が、信号が時間領域でどう見えるかと、変換の極が $z$ 平面のどこに座るかとを同時に決めてしまうからである。

The rule of thumb: $|\lambda|$ sets growth or decay ($|\lambda|<1$ decays, $|\lambda|>1$ grows) and $\arg\lambda$ sets the oscillation frequency.

記住一句話：$|\lambda|$ 決定成長還是衰減（$|\lambda|<1$ 衰減、$|\lambda|>1$ 成長），$\arg\lambda$ 決定振盪的頻率。

経験則はこうである：$|\lambda|$ が増大か減衰かを決め（$|\lambda|<1$ なら減衰、$|\lambda|>1$ なら増大）、$\arg\lambda$ が振動の周波数を決める。

Figure 5-2 shows the family $a^n\mu[n]$ for three values of $a$, together with the location of the corresponding transform's pole at $z=a$. Decaying sequences ($|a|<1$) have their pole inside the unit circle; the growing sequence ($a=1.2$) has it outside — and its DTFT does not exist, although its z-transform does (ROC $|z|>1.2$).

圖 5-2 畫出三個 $a$ 值對應的 $a^n\mu[n]$ 這一族序列，以及各自轉換的極點位置 $z=a$。衰減的序列（$|a|<1$）極點落在單位圓內；成長的那個（$a=1.2$）落在圓外—— 它的 DTFT 不存在，但 z 轉換仍然存在（ROC 為 $|z|>1.2$）。

図 5-2 は三つの $a$ の値について族 $a^n\mu[n]$ を示し、あわせて対応する変換の極の位置 $z=a$ を示している。減衰する系列（$|a|<1$）は極が単位円の内側にあり、増大する系列（$a=1.2$）は外側にある —— そしてその DTFT は存在しないが、z 変換は存在する（ROC は $|z|>1.2$）。

5.2.2 ROC properties5.2.2 ROC 的性質5.2.2 ROC の性質

5.2.3 Sidedness and ROC shape5.2.3 單雙邊性與 ROC 的形狀5.2.3 片側性と ROC の形

Each pole $\lambda$ of a rational $G(z)$ contributes a term whose ROC is either outside $|z|=|\lambda|$ (right-sided term) or inside (left-sided term). The overall ROC tells you the sidedness of $g[n]$:

有理 $G(z)$ 的每個極點 $\lambda$ 都貢獻一項，其 ROC 不是在 $|z|=|\lambda|$ 之外（右邊項），就是在之內（左邊項）。整體的 ROC 就告訴你 $g[n]$ 的單雙邊性：

有理な $G(z)$ の各極 $\lambda$ は一つの項を寄与し、その項の ROC は $|z|=|\lambda|$ の外側（右側の項）か内側（左側の項）かのいずれかである。全体の ROC は $g[n]$ の片側性を教えてくれる：

5.2.4 ROC intersections: four cases5.2.4 ROC 的交集：四種情況5.2.4 ROC の交わり：四つの場合

Consider a transform with two poles $\lambda_1,\lambda_2$ where $|\lambda_1| < 1 < |\lambda_2|$ and no ROC specified:

考慮一個有兩個極點 $\lambda_1,\lambda_2$ 的轉換，其中 $|\lambda_1| < 1 < |\lambda_2|$，而且沒有指定 ROC：

二つの極 $\lambda_1,\lambda_2$（ただし $|\lambda_1| < 1 < |\lambda_2|$）をもち、ROC が指定されていない変換を考える：

Why an intersection at all? Because $G(z)$ is a sum of two terms, each with its own convergence region. The sum converges only where both terms converge, so:

為什麼要取交集？因為 $G(z)$ 是兩項的和，每一項都有自己的收斂區域。只有在兩項都收斂的地方，和才會收斂，所以：

そもそもなぜ共通部分をとるのか。$G(z)$ が二つの項の和であり、各項がそれぞれ自分の収束領域をもつからである。和が収束するのは両方の項が収束する場所だけなので：

Each term may independently correspond to a right-sided or a left-sided sequence, so there are 4 possible sequences/ROCs, and the overall ROC is the intersection of each term's ROC:

每一項都可以各自對應到右邊或左邊序列，所以總共有 4 種可能的序列／ROC 組合，而整體的 ROC 就是各項 ROC 的交集：

各項は互いに独立に右側系列にも左側系列にも対応しうるので、4 通りの系列／ROC があり、全体の ROC は各項の ROC の共通部分になる：

Only Case 3 yields an ROC containing the unit circle, so only that choice corresponds to a stable (absolutely summable) sequence with a DTFT.

只有情況 3 的 ROC 包含單位圓，所以也只有這個選擇對應到穩定（絕對可和）、而且有 DTFT 的序列。

単位円を含む ROC が得られるのは場合 3 だけであり、したがって安定（絶対可和）で DTFT をもつ系列に対応するのも、その選び方だけである。

5.3 Rational z-Transforms, Poles and Zeros5.3 有理 z 轉換、極點與零點5.3 有理 z 変換、極と零点

5.3.1 Rational and factored forms5.3.1 有理式與因式分解形式5.3.1 有理形と因数分解形

$G(z)$ can in principle be any function of $z$, but in DSP the important class is rational z-transforms — ratios of polynomials in $z^{-1}$. By convention they are expressed in powers of $z^{-1}$, which matches the transform definition and (as §5.4.3 shows) is reminiscent of LCCDE expressions:

原則上 $G(z)$ 可以是 $z$ 的任何函數，但在 DSP 裡重要的是有理 z 轉換—— 也就是 $z^{-1}$ 的多項式之比。習慣上會以 $z^{-1}$ 的冪次來表示，這既符合轉換的定義，也（如 §5.4.3 所示）與差分方程式的形式相呼應：

$G(z)$ は原理的には $z$ の任意の関数でよいが、DSP で重要なのは有理 z 変換、すなわち $z^{-1}$ の多項式の比である。慣習としてそれらは $z^{-1}$ のべきで表される。これは変換の定義とよく合い、（§5.4.3 で見るように）差分方程式の表現を思わせる形でもある：

Factoring numerator and denominator exposes the roots:

把分子與分母因式分解，就能把根顯露出來：

分子と分母を因数分解すれば、根が姿を現す：

• Zeros $z=\xi_\ell$: values where $G(z)=0$. Marked ○ on the z-plane.
• Poles $z=\lambda_\ell$: values where $G(z)\to\infty$. Marked ×. If $N>M$ there are $N-M$ additional zeros at $z=0$; if $M>N$, $M-N$ poles at $z=0$.

• 零點 $z=\xi_\ell$：使 $G(z)=0$ 的值，在 z 平面上以 ○ 標記。
• 極點 $z=\lambda_\ell$：使 $G(z)\to\infty$ 的值，以 × 標記。若 $N>M$，在 $z=0$ 會多出 $N-M$ 個零點；若 $M>N$，則在 $z=0$ 多出 $M-N$ 個極點。

• 零点 $z=\xi_\ell$：$G(z)=0$ となる値。z 平面上では ○ で記す。
• 極 $z=\lambda_\ell$：$G(z)\to\infty$ となる値。× で記す。$N>M$ なら $z=0$ に $N-M$ 個の零点が余分に生じ、$M>N$ なら $z=0$ に $M-N$ 個の極が生じる。

5.3.2 Pole–zero diagram and the z-plane surface5.3.2 零極點圖與 z 平面曲面5.3.2 極零点配置図と z 平面上の曲面

The pole–zero diagram plots the ×'s and ○'s together with the unit circle. Up to the overall gain $p_0/d_0$, it completely determines a rational $G(z)$, and with the ROC shading added it completely determines $g[n]$. Picturing $|G(z)|$ as a surface over the z-plane: poles are tent-poles pushing the surface up to infinity, zeros pin it down to the floor. The DTFT $|G(e^{j\omega})|$ is the height profile measured while walking along the unit circle.

零極點圖（pole–zero diagram）把 × 與 ○ 連同單位圓一起畫出來。除了整體增益 $p_0/d_0$ 之外，它完全決定了一個有理的 $G(z)$；再加上 ROC 的陰影，就完全決定了 $g[n]$。把 $|G(z)|$ 想成 z 平面上的一張曲面：極點是把曲面頂到無限高的帳篷桿，零點則把它釘在地板上。DTFT $|G(e^{j\omega})|$ 就是沿著單位圓走一圈時量到的高度剖面。

極零点配置図は、× と ○ を単位円とともに描いたものである。全体ゲイン $p_0/d_0$ を別にすれば、この図は有理な $G(z)$ を完全に決定し、さらに ROC の影を加えれば $g[n]$ まで完全に決定する。$|G(z)|$ を z 平面上に張られた曲面として思い描こう：極は曲面を無限の高さまで押し上げるテントの支柱であり、零点はそれを床に釘付けにする。DTFT $|G(e^{j\omega})|$ は、単位円に沿って歩きながら測った高さの断面図である。

Figure 5-4 carries that sentence out literally. Panel (a) is the whole input — a handful of ×'s and ○'s. Panel (b) is what you get by evaluating $G(z)$ at every point of the plane and plotting $20\log_{10}|G(z)|$ as a height. Panel (c) discards everything except the wall standing over the circle $|z|=1$, and panel (d) unrolls that wall against $\omega$ — at which point it is just the magnitude response you would plot with freqz. Nothing is computed in step (c) or (d) that was not already fixed in step (a): that is the whole claim of this section.

圖 5-4 就是把上面那句話照字面做一遍。(a) 是全部的輸入 —— 幾個 × 與 ○ 而已。(b) 是把 $G(z)$ 在平面上每一點求值，再把 $20\log_{10}|G(z)|$ 當成高度畫出來的結果。(c) 把其他都丟掉，只留下立在圓 $|z|=1$ 上的那道牆；(d) 把那道牆沿 $\omega$ 攤平—— 到這一步，它就只是你用 freqz 會畫出來的振幅響應。(c) 與 (d) 沒有算出任何在 (a) 就尚未決定的東西：這正是本節要講的全部。

図 5-4 はその一文を文字どおりに実行したものである。パネル (a) が入力のすべて —— ひと握りの × と ○ にすぎない。パネル (b) は $G(z)$ を平面の各点で評価し、$20\log_{10}|G(z)|$ を高さとして描いたものである。パネル (c) は円 $|z|=1$ の上に立つ壁以外をすべて捨て、パネル (d) はその壁を $\omega$ に沿って展開する —— その時点でそれは、freqz で描くであろう振幅応答そのものである。(c) や (d) では、(a) の段階ですでに決まっていなかったものは何一つ計算されていない：それがこの節の主張のすべてである。

5.3.3 Geometric evaluation of the DTFT5.3.3 用幾何方法求 DTFT5.3.3 DTFT の幾何学的評価

Writing each factor at $z = e^{j\omega}$ as a vector difference gives a purely geometric recipe:

把 $z = e^{j\omega}$ 處的每個因子寫成向量差，就得到一個純幾何的做法：

$z = e^{j\omega}$ における各因子をベクトルの差として書けば、純粋に幾何学的な手順が得られる：

As $e^{j\omega}$ slides along the unit circle, the magnitude response peaks when it passes close to a pole (small denominator distance) and dips when it passes near a zero. Figure 5-5 demonstrates this for a resonator with poles at $0.9e^{\pm j\pi/4}$: the magnitude has a sharp peak near $\omega = \pi/4$.

當 $e^{j\omega}$ 沿著單位圓滑動時，只要靠近某個極點（分母的距離變小），振幅響應就出現峰值；靠近某個零點時則出現谷值。圖 5-5 以極點在 $0.9e^{\pm j\pi/4}$ 的共振器示範：振幅在 $\omega = \pi/4$ 附近有個尖峰。

$e^{j\omega}$ が単位円に沿って滑っていくとき、極の近くを通れば（分母側の距離が小さくなるので）振幅応答は峰をなし、零点の近くを通れば谷をなす。図 5-5 は $0.9e^{\pm j\pi/4}$ に極をもつ共振器でこれを示す：振幅は $\omega = \pi/4$ の近くで鋭い峰をもつ。

5.4 z-Transform Properties and Common Pairs5.4 z 轉換的性質與常用轉換對5.4 z 変換の性質と代表的な変換対

5.4.1 Common z-transform pairs5.4.1 常見的 z 轉換對5.4.1 代表的な z 変換対

The two sinusoidal pairs are each the sum of two complex-exponential terms with poles at $re^{\pm j\omega_0}$ — a conjugate pole pair. Real sequences always have poles and zeros in conjugate pairs (or on the real axis).

這兩個弦波轉換對，各自都是兩個複指數項的和，極點在 $re^{\pm j\omega_0}$ —— 也就是一組共軛極點對。實數序列的極點與零點永遠成共軛對出現（或落在實軸上）。

二つの正弦波の変換対は、いずれも $re^{\pm j\omega_0}$ に極をもつ二つの複素指数項の和である —— すなわち共役な極の対である。実数系列の極と零点は、つねに共役な対をなして（あるいは実軸上に）現れる。

5.4.2 z-Transform properties5.4.2 z 轉換的性質5.4.2 z 変換の性質

With $g[n] \leftrightarrow G(z)$ (ROC $\mathcal{R}_g$) and $h[n] \leftrightarrow H(z)$ (ROC $\mathcal{R}_h$):

設 $g[n] \leftrightarrow G(z)$（ROC 為 $\mathcal{R}_g$）、$h[n] \leftrightarrow H(z)$（ROC 為 $\mathcal{R}_h$）：

$g[n] \leftrightarrow G(z)$（ROC は $\mathcal{R}_g$）および $h[n] \leftrightarrow H(z)$（ROC は $\mathcal{R}_h$）とすると：

5.4.3 System function of an LCCDE; causality and stability5.4.3 差分方程式的系統函數；因果性與穩定性5.4.3 差分方程式のシステム関数；因果性と安定性

Apply the z-transform to a general linear constant-coefficient difference equation (LCCDE), using linearity and the time-shift property:

對一般的線性常係數差分方程式（LCCDE）取 z 轉換，用到線性與時間平移兩個性質：

一般の線形定係数差分方程式（LCCDE）に、線形性と時間シフトの性質を用いて z 変換を適用する：

$H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\}$ is the system function / transfer function. The coefficients of the difference equation are read off directly as the coefficients of the rational polynomials — feedback coefficients $d_k$ in the denominator, feed-forward coefficients $p_k$ in the numerator. This is why rational z-transforms are written in powers of $z^{-1}$: each $z^{-k}$ is a delay of $k$ samples.

$H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\}$ 稱為系統函數／轉移函數。差分方程式的係數可以直接讀成有理多項式的係數 —— 回授係數 $d_k$ 在分母，前饋係數 $p_k$ 在分子。這正是有理 z 轉換要寫成 $z^{-1}$ 冪次的原因：每一個 $z^{-k}$ 就是延遲 $k$ 個樣本。

$H(z) = \mathcal{Z}\{h[n]\}$ がシステム関数／伝達関数である。差分方程式の係数は、有理多項式の係数としてそのまま読み取れる —— 帰還係数 $d_k$ が分母に、前向き係数 $p_k$ が分子に現れる。有理 z 変換を $z^{-1}$ のべきで書くのはこのためである：$z^{-k}$ のそれぞれが、$k$ 標本の遅延そのものだからである。

5.5 The Inverse z-Transform5.5 反 z 轉換5.5 逆 z 変換

Three practical methods recover $g[n]$ from $G(z)$ + ROC. Method 1 is the formal definition; methods 2 and 3 are the ones actually used by hand.

有三種實用的方法可以從 $G(z)$ 加上 ROC 還原出 $g[n]$。方法 1 是形式上的定義；真正用手算的是方法 2 與 3。

$G(z)$ と ROC から $g[n]$ を取り戻す実用的な方法は三つある。方法 1 は形式的な定義であり、実際に手計算で使われるのは方法 2 と 3 である。

5.5.1 IZT #1 — Contour-integral definition (generalize the IDTFT)5.5.1 反轉換法 #1 — 圍線積分定義（推廣自反 DTFT）5.5.1 逆変換 #1 — 周回積分による定義（逆 DTFT の一般化）

On a circle $z = re^{j\omega}$ inside the ROC, $G(re^{j\omega})$ is the DTFT of $g[n]r^{-n}$. Applying the inverse DTFT to that weighted sequence and changing variables to $z$ gives:

在 ROC 內半徑為 $r$ 的圓 $z = re^{j\omega}$ 上，$G(re^{j\omega})$ 就是 $g[n]r^{-n}$ 的 DTFT。對這個加權序列做反 DTFT，再把變數換成 $z$，就得到：

ROC の内部にある円 $z = re^{j\omega}$ の上で、$G(re^{j\omega})$ は $g[n]r^{-n}$ の DTFT である。この重み付き系列に逆 DTFT を施し、変数を $z$ に変えると次を得る：

where $C$ is any counterclockwise closed contour inside the ROC encircling the origin. By the residue theorem this picks out the coefficient of $z^{-n}$ in the Laurent series. The contour integral is rarely computed directly — it justifies the easier methods below.

其中 $C$ 是 ROC 內任何一條圍住原點的逆時針封閉路徑。由留數定理，這個積分挑出的正是洛朗級數中 $z^{-n}$ 的係數。實務上很少直接算這個圍線積分 —— 它的作用是為下面比較好算的方法提供依據。

ここで $C$ は、ROC の内部にあって原点を囲む任意の反時計回りの閉路である。留数定理により、この積分はローラン級数における $z^{-n}$ の係数を取り出す。周回積分を直接計算することはまれである —— その役割は、以下のより易しい方法を正当化することにある。

5.5.2 Inspection（觀察法）5.5.2 觀察法5.5.2 観察法（觀察法）

Recognize table entries. Given $G(z) = \dfrac{1}{1-0.8z^{-1}}$ with ROC $|z|>0.8$, match to $\alpha^n\mu[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$ and read off $g[n] = (0.8)^n\mu[n]$. The same $G(z)$ with ROC $|z|<0.8$ instead gives $g[n] = -(0.8)^n\mu[-n-1]$. The ROC decides which pair applies.

就是把表上的項認出來。給定 $G(z) = \dfrac{1}{1-0.8z^{-1}}$、ROC 為 $|z|>0.8$，對照 $\alpha^n\mu[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$，直接讀出 $g[n] = (0.8)^n\mu[n]$。同一個 $G(z)$ 若 ROC 改成 $|z|<0.8$，得到的則是 $g[n] = -(0.8)^n\mu[-n-1]$。到底套用哪一個轉換對，由 ROC 決定。

表の項目を見分けるだけの方法である。$G(z) = \dfrac{1}{1-0.8z^{-1}}$ が ROC $|z|>0.8$ とともに与えられたら、$\alpha^n\mu[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-\alpha z^{-1}}$ と照合して $g[n] = (0.8)^n\mu[n]$ と読み取る。同じ $G(z)$ でも ROC が $|z|<0.8$ であれば、得られるのは $g[n] = -(0.8)^n\mu[-n-1]$ である。どちらの変換対を当てはめるかは ROC が決める。

5.5.3 IZT #2 — Power series and long division（長除法）5.5.3 反轉換法 #2 — 冪級數與長除法5.5.3 逆変換 #2 — べき級数と長除法（長除法）

Since $G(z) = \sum_n g[n]z^{-n}$, expanding $G(z)$ into a power series in $z^{-1}$ (for a right-sided ROC) or in $z$ (left-sided ROC) reveals the samples one by one. For rational $G(z)$, the expansion is obtained by polynomial long division of the numerator by the denominator.

因為 $G(z) = \sum_n g[n]z^{-n}$，只要把 $G(z)$ 展開成 $z^{-1}$ 的冪級數（右邊序列的 ROC）或 $z$ 的冪級數（左邊序列的 ROC），樣本就會一個一個浮現出來。對有理的 $G(z)$，這個展開就是用分子除以分母做多項式長除法。

$G(z) = \sum_n g[n]z^{-n}$ であるから、$G(z)$ を $z^{-1}$ のべき級数に（右側系列の ROC の場合）、あるいは $z$ のべき級数に（左側系列の ROC の場合）展開すれば、標本が一つずつ姿を現す。有理な $G(z)$ については、この展開は分子を分母で割る多項式の長除法によって得られる。

5.5.4 IZT #3 — Partial fractions（部分分式）5.5.4 反轉換法 #3 — 部分分式5.5.4 逆変換 #3 — 部分分数展開（部分分式）

The workhorse method: rearrange $G(z)$ as a sum of terms recognized as simple z-transforms — especially $\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}} \leftrightarrow \alpha^n\mu[n]$ (or its left-sided twin). For $F(z) = \dfrac{P(z)}{\prod_{\ell=1}^{N}(1-\lambda_\ell z^{-1})}$ with order of $P(z)$ less than $N$ and no repeated poles:

這是最常用的主力方法：把 $G(z)$ 重新整理成一堆認得出來的簡單 z 轉換之和 —— 特別是 $\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}} \leftrightarrow \alpha^n\mu[n]$（或它的左邊版本）。對 $F(z) = \dfrac{P(z)}{\prod_{\ell=1}^{N}(1-\lambda_\ell z^{-1})}$，其中 $P(z)$ 的階數小於 $N$ 且沒有重根：

主力となる方法である：$G(z)$ を単純な z 変換として見分けられる項の和に組み替える —— とりわけ $\dfrac{1}{1-\alpha z^{-1}} \leftrightarrow \alpha^n\mu[n]$（あるいはその左側版）の形にする。$P(z)$ の次数が $N$ より小さく、重複する極をもたない $F(z) = \dfrac{P(z)}{\prod_{\ell=1}^{N}(1-\lambda_\ell z^{-1})}$ については：

The residue $\rho_\ell$ is found by covering up the pole's own factor and evaluating everything else at $z=\lambda_\ell$ — the cancelled factor is "dominated" by the remaining terms. Bookkeeping rules:

留數 $\rho_\ell$ 的求法是把該極點自己的因子遮起來，其餘部分代入 $z=\lambda_\ell$ 求值—— 被消掉的因子在極點附近被其餘項「主導」。幾條記帳規則：

留数 $\rho_\ell$ は、その極自身の因子を覆い隠し、残りを $z=\lambda_\ell$ で評価すれば求まる —— 消された因子は残りの項に「支配される」。帳簿づけの規則は次のとおり：

• If the numerator order $M \ge N$: first do polynomial division to pull out a finite-length part $\sum_r c_r z^{-r}$ (which inverse-transforms to impulses $c_r\delta[n-r]$), leaving a strictly proper remainder.
• Repeated pole of multiplicity $m$: include terms $\dfrac{A_k}{(1-\lambda z^{-1})^k}$, $k=1,\ldots,m$, using the $n\alpha^n\mu[n]$ pair for $k=2$.
• For each pole, the ROC decides right-sided ($\rho\,\lambda^n\mu[n]$ if $|z|>|\lambda|$) vs left-sided ($-\rho\,\lambda^n\mu[-n-1]$ if $|z|<|\lambda|$).

• 若分子階數 $M \ge N$：先做多項式除法，把有限長度的部分 $\sum_r c_r z^{-r}$ 抽出來（它反轉換後是脈衝 $c_r\delta[n-r]$），剩下嚴格真分式的餘式。
• 重數為 $m$ 的重根極點：要加入 $\dfrac{A_k}{(1-\lambda z^{-1})^k}$（$k=1,\ldots,m$）這些項，$k=2$ 時用 $n\alpha^n\mu[n]$ 這個轉換對。
• 每個極點是右邊（$|z|>|\lambda|$ 時為 $\rho\,\lambda^n\mu[n]$）還是左邊（$|z|<|\lambda|$ 時為 $-\rho\,\lambda^n\mu[-n-1]$），由 ROC 決定。

• 分子の次数が $M \ge N$ の場合：まず多項式の除法を行って有限長の部分 $\sum_r c_r z^{-r}$ を取り出し（これは逆変換するとインパルス $c_r\delta[n-r]$ になる）、厳密に真分数の余りを残す。
• 重複度 $m$ の重極：$\dfrac{A_k}{(1-\lambda z^{-1})^k}$（$k=1,\ldots,m$）の項を加え、$k=2$ には $n\alpha^n\mu[n]$ の変換対を用いる。
• 各極について、右側系列（$|z|>|\lambda|$ なら $\rho\,\lambda^n\mu[n]$）か左側系列（$|z|<|\lambda|$ なら $-\rho\,\lambda^n\mu[-n-1]$）かを ROC が決める。

5.6 Summary5.6 本章總結5.6 まとめ

Exercises習題演習問題

All three problems of ICE503 DSP Homework #5, restated with complete worked solutions.

ICE503 DSP 作業 #5 的三道題目，重新敘述並附完整解答。（原題的 "LTE/LCCDE" 拼寫依文意更正為 LTI 系統與脈衝響應。）

ICE503 DSP 宿題 #5 の三題すべてを、完全な解答つきで述べ直したものである。

clc, clear, close all

% H(z) = (25/32)(1 - 3 z^-1) / (1 - (3/4) z^-1)
numerator   = (25/32) * [1, -3];   % feed-forward coefficients p_k
denominator = [1, -3/4];           % feedback coefficients     d_k

%% (a) pole-zero plot
figure;
zplane(numerator, denominator);
grid on;
title('Pole-Zero Plot of H(z)');
set(findobj('type','line'), 'LineWidth', 2)
set(gca, 'FontSize', 20)

%% (b) 100-point frequency response
[H, w] = freqz(numerator, denominator, 100);

figure;
subplot(2,1,1);
plot(w/pi, abs(H), 'm');
title('Magnitude Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude');
set(gca, 'FontSize', 20)
set(findobj('type','line'), 'LineWidth', 4)

subplot(2,1,2);
plot(w/pi, angle(H), 'm');
title('Phase Response');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Phase (radians)');
set(gca, 'FontSize', 20)
set(findobj('type','line'), 'LineWidth', 4)