Discrete-Time Systems (I)離散時間系統（一）離散時間システム（I）

2.1 Discrete-Time Systems2.1 離散時間系統2.1 離散時間システム

2.1.1 The system operator2.1.1 系統運算子2.1.1 システム作用素

A discrete-time system（離散時間系統） is a transformation $T\{\cdot\}$ that maps an input sequence $x[n]$ into an output sequence $y[n]$:

離散時間系統（discrete-time system）是一個轉換 $T\{\cdot\}$，把輸入序列 $x[n]$ 映射成輸出序列 $y[n]$：

離散時間システム（離散時間系統）とは、入力系列 $x[n]$ を出力系列 $y[n]$ へ写す変換 $T\{\cdot\}$ のことである：

The operator $T$ may act on the entire input sequence: in general, the output sample $y[n]$ at one time index can depend on input samples $x[k]$ at all indices $k$ — past, present, and future. Everything in this chapter is about classifying systems by which samples they use and how they combine them.

運算子 $T$ 可以作用在整條輸入序列上：一般而言，某一時刻的輸出樣本 $y[n]$ 可以同時取決於所有索引 $k$ 的輸入樣本 $x[k]$——過去、現在與未來都算。本章自始至終都在做一件事：依照系統「用了哪些樣本」以及「如何把它們組合起來」來分類系統。

作用素 $T$ は入力系列全体に作用してよい。一般に、ある時刻の出力標本 $y[n]$ は、あらゆるインデックス $k$ における入力標本 $x[k]$——過去・現在・未来——に依存しうる。本章の内容はすべて、システムがどの標本を使い、それらをどのように組み合わせるかによってシステムを分類することに尽きる。

2.1.2 Example: moving average (MA)2.1.2 範例：移動平均（MA）2.1.2 例：移動平均（MA）

The moving average（移動平均） system computes, for each $n$, the average of the input over a sliding window. The general (possibly non-causal) form averages $M_1$ future and $M_2$ past samples:

移動平均（moving average，MA）系統對每個 $n$ 計算輸入在一個滑動窗口內的平均值。一般（可能非因果）的形式對 $M_1$ 個未來樣本與 $M_2$ 個過去樣本取平均：

移動平均（移動平均）システムは、各 $n$ について、滑る窓の中での入力の平均を計算する。一般形（因果的でない場合もある）は、未来の $M_1$ 標本と過去の $M_2$ 標本を平均する：

The common causal $M$-point moving average uses only the present and past $M-1$ samples:

常見的因果 $M$ 點移動平均只用到現在與過去的 $M-1$ 個樣本：

よく使われる因果的な $M$ 点移動平均は、現在と過去の $M-1$ 標本だけを用いる：

The MA is the simplest smoother（平滑器）: averaging adjacent samples cancels rapid, zero-mean fluctuations (noise) while approximately preserving slow trends. Fig. 2-1 shows a noisy sequence and the output of a 5-point MA.

移動平均是最簡單的平滑器（smoother）：把相鄰樣本平均掉，可以抵消快速、零均值的起伏（雜訊），同時大致保留緩慢的趨勢。圖 2-1 顯示一條含雜訊的序列與 5 點移動平均的輸出。

移動平均は最も単純な平滑化器（平滑器）である。隣接する標本を平均すると、速くて平均ゼロの変動（雑音）が打ち消される一方、ゆっくりした傾向はおおむね保たれる。図 2-1 に、雑音を含む系列と 5 点移動平均の出力を示す。

2.1.3 Example: accumulator2.1.3 範例：累加器2.1.3 例：累算器

The accumulator（累加器） sums all input samples up to the present time — the discrete-time analogue of an integrator:

累加器（accumulator）把到目前時刻為止的所有輸入樣本加起來——它是積分器的離散時間對應物：

累算器（累加器）は現在時刻までの入力標本をすべて足し合わせる——積分器の離散時間版である：

Splitting off the newest term gives the equivalent recursive（遞迴） form, which is how you would actually implement it:

把最新的一項單獨拆出來，就得到等價的遞迴（recursive）形式，實作上實際會這樣寫：

最も新しい項を切り離すと、等価な再帰（遞迴）形が得られる。実際に実装するときはこちらを使う：

For example, with input $x[n]=n\,u[n]$ the output is $y[n] = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\,u[n]$ — the running sum grows like $n^2$. The accumulator will reappear twice in this chapter: as a system that is linear, time-invariant, causal but unstable (§2.2.5), and as the classic example of an invertible system (§2.5.4).

舉例來說，輸入 $x[n]=n\,u[n]$ 時輸出為 $y[n] = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\,u[n]$——這個連續和以 $n^2$ 的速度成長。累加器在本章會再出現兩次：一次是當作線性、非時變、因果但不穩定的系統（§2.2.5），另一次是當作可逆系統的經典例子（§2.5.4）。

たとえば入力 $x[n]=n\,u[n]$ に対する出力は $y[n] = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\,u[n]$ となり、累和は $n^2$ のように増大する。累算器は本章で 2 度再登場する。線形・時不変・因果的でありながら不安定なシステムの例として（§2.2.5）、そして可逆なシステムの典型例として（§2.5.4）である。

2.2 Classes of Discrete-Time Systems2.2 離散時間系統的分類2.2 離散時間システムの分類

Five properties are tested over and over in this course. For each one you should know the formal definition, a standard example, and a standard counterexample.

這門課會反覆檢驗五個性質。對每一個性質，你都應該記得它的正式定義、一個標準例子，以及一個標準反例。

この授業では 5 つの性質を繰り返し調べることになる。それぞれについて、形式的な定義、代表的な例、そして代表的な反例を押さえておくこと。

2.2.1 Memoryless systems2.2.1 無記憶系統2.2.1 無記憶システム

A system is memoryless（無記憶） if $y[n]$ depends only on $x[n]$ at the same index $n$. Example: $y[n]=\left(x[n]\right)^2$. Counterexample: the MA and the accumulator both use past samples, so they have memory.

一個系統是無記憶（memoryless）的，如果 $y[n]$ 只取決於同一個索引 $n$ 上的 $x[n]$。例：$y[n]=\left(x[n]\right)^2$。反例：移動平均與累加器都用到過去的樣本，所以它們有記憶。

システムが無記憶（無記憶）であるとは、$y[n]$ が同じインデックス $n$ の $x[n]$ だけに依存することをいう。例：$y[n]=\left(x[n]\right)^2$。反例：移動平均も累算器も過去の標本を使うので、記憶をもつ。

2.2.2 Linearity2.2.2 線性2.2.2 線形性

A system $T$ is linear（線性） if it satisfies superposition: for all signals $x_1, x_2$ and all constants $a, b$,

系統 $T$ 是線性（linear）的，如果它滿足疊加原理：對所有訊號 $x_1, x_2$ 與所有常數 $a, b$，

システム $T$ が線形（線性）であるとは、重ね合わせを満たすことをいう。すなわち、すべての信号 $x_1, x_2$ とすべての定数 $a, b$ について、

Superposition combines two requirements: additivity（可加性） $T\{x_1+x_2\}=T\{x_1\}+T\{x_2\}$ and homogeneity / scaling（齊次性） $T\{a\,x\}=a\,T\{x\}$. Three slide examples:

疊加原理同時包含兩個要求：可加性（additivity）$T\{x_1+x_2\}=T\{x_1\}+T\{x_2\}$，以及齊次性／比例性（homogeneity / scaling）$T\{a\,x\}=a\,T\{x\}$。課堂上的三個例子：

重ね合わせは 2 つの要件を合わせたものである：加法性（可加性） $T\{x_1+x_2\}=T\{x_1\}+T\{x_2\}$ と、斉次性・スケーリング（齊次性） $T\{a\,x\}=a\,T\{x\}$ である。スライドにあった 3 つの例を見てみよう：

2.2.3 Time (shift) invariance2.2.3 時間（平移）不變性2.2.3 時不変性（シフト不変性）

A system is time-invariant（非時變）, also called shift-invariant, if delaying the input only delays the output by the same amount — the system's behaviour does not change with time:

一個系統是非時變（time-invariant）的，也叫平移不變（shift-invariant），如果把輸入延遲，輸出也只是延遲同樣多——系統的行為不隨時間改變：

システムが時不変（非時變）である（シフト不変ともいう）とは、入力を遅らせると出力も同じだけ遅れるだけで、システムの振る舞いが時間とともに変わらないことをいう：

How to test: (i) shift the input first, push it through the system to get $w[n]=T\{x[n-n_0]\}$; (ii) shift the original output to get $y[n-n_0]$; (iii) compare. They must agree for every $x$ and every $n_0$.

怎麼測：(i) 先把輸入平移，再送進系統得到 $w[n]=T\{x[n-n_0]\}$；(ii) 把原本的輸出平移得到 $y[n-n_0]$；(iii) 比較兩者。它們必須對每一個 $x$ 與每一個 $n_0$ 都相等。

判定の仕方：(i) まず入力をシフトしてからシステムに通し、$w[n]=T\{x[n-n_0]\}$ を得る。(ii) もとの出力をシフトして $y[n-n_0]$ を得る。(iii) 両者を比較する。すべての $x$ とすべての $n_0$ について一致しなければならない。

2.2.4 Causality2.2.4 因果性2.2.4 因果性

A system is causal（因果） if $y[n_0]$ depends only on input samples $x[n]$ with $n \le n_0$ — present and past, never the future. Causality is mandatory for real-time processing; offline (stored-data) processing can afford non-causal systems.

一個系統是因果（causal）的，如果 $y[n_0]$ 只取決於 $n \le n_0$ 的輸入樣本 $x[n]$——現在與過去，絕不用到未來。即時處理一定要求因果；離線（資料已存好）處理則可以使用非因果系統。

システムが因果的（因果）であるとは、$y[n_0]$ が $n \le n_0$ なる入力標本 $x[n]$ だけに依存すること、すなわち現在と過去だけを使い、未来を決して使わないことをいう。実時間処理では因果性は必須である。オフライン（蓄積データ）の処理であれば、非因果的なシステムも許される。

2.2.5 BIBO stability2.2.5 BIBO 穩定性2.2.5 BIBO 安定性

A system is BIBO stable（有界輸入有界輸出穩定） if every bounded input produces a bounded output:

一個系統是BIBO 穩定（bounded-input bounded-output，有界輸入有界輸出）的，如果每一個有界輸入都產生有界輸出：

システムがBIBO 安定（有界輸入有界輸出穩定）であるとは、有界な入力がすべて有界な出力を生むことをいう：

To prove instability you only need one bounded input whose output blows up. The classic victim is the accumulator: feed it the bounded step $x[n]=u[n]$ and the output is the unbounded ramp $y[n]=(n+1)u[n]$ — see Fig. 2-4.

要證明不穩定，只需要找到一個有界輸入使輸出發散。最經典的受害者是累加器：餵給它有界的步階 $x[n]=u[n]$，輸出就是無界的斜坡 $y[n]=(n+1)u[n]$——見圖 2-4。

不安定であることを示すには、出力が発散するような有界入力を1 つ見つければよい。典型的な犠牲者は累算器である。有界なステップ $x[n]=u[n]$ を入れると、出力は有界でないランプ $y[n]=(n+1)u[n]$ になる——図 2-4 を参照。

2.3 LTI Systems and the Impulse Response2.3 LTI 系統與脈衝響應2.3 LTI システムとインパルス応答

2.3.1 From the sifting property to convolution2.3.1 從篩選性質到卷積2.3.1 ふるい分けの性質から畳み込みへ

A system that is both linear and time-invariant is called LTI（線性非時變） — the slides also use the equivalent name LSI (linear shift-invariant). For LTI systems one single signal characterizes the system completely: the impulse response（脈衝響應）

同時具備線性與非時變的系統稱為 LTI（linear time-invariant，線性非時變）——課堂投影片也用等價的名稱 LSI（linear shift-invariant，線性平移不變）。對 LTI 系統而言，只要一個訊號就能完整刻畫整個系統：脈衝響應（impulse response）

線形かつ時不変であるシステムを LTI（線性非時變） という——スライドでは同義語として LSI（線形シフト不変）も使われている。LTI システムでは、たった 1 つの信号がシステムを完全に特徴づける。それがインパルス応答（脈衝響應）である

The derivation is the most important three lines of the course. Start from the sifting decomposition of Chapter 1 — any sequence is a weighted sum of shifted impulses:

接下來的推導是這門課最重要的三行。從第 1 章的篩選分解出發——任何序列都是位移脈衝的加權和：

この導出は、この授業で最も重要な 3 行である。第 1 章のふるい分けによる分解から始める。任意の系列は、シフトされたインパルスの重み付き和であった：

Apply $T$ and use linearity (the $x[k]$ are just constants) and then time invariance ($\delta[n-k] \mapsto h[n-k]$):

把 $T$ 作用上去，先用線性（$x[k]$ 只是常數），再用非時變性（$\delta[n-k] \mapsto h[n-k]$）：

ここに $T$ を作用させ、線形性（$x[k]$ はただの定数である）を使い、次に時不変性（$\delta[n-k] \mapsto h[n-k]$）を使う：

2.3.2 Impulse response examples2.3.2 脈衝響應範例2.3.2 インパルス応答の例

Feed $\delta[n]$ into the systems of §2.1 (Fig. 2-2):

把 $\delta[n]$ 餵進 §2.1 的各個系統（圖 2-2）：

§2.1 のシステムに $\delta[n]$ を入れてみる（図 2-2）：

• Ideal delay $y[n]=x[n-n_d]$:   $h[n]=\delta[n-n_d]$.理想延遲 $y[n]=x[n-n_d]$：  $h[n]=\delta[n-n_d]$。理想遅延 $y[n]=x[n-n_d]$：  $h[n]=\delta[n-n_d]$。
• Causal $M$-point MA (moving average, §2.1.2):   $h[n]=\dfrac{1}{M}\bigl(u[n]-u[n-M]\bigr)$, i.e. $1/M$ on $0\le n\le M-1$ — finite length (FIR).因果 $M$ 點移動平均（moving average，§2.1.2）：  $h[n]=\dfrac{1}{M}\bigl(u[n]-u[n-M]\bigr)$，也就是在 $0\le n\le M-1$ 上等於 $1/M$ —— 有限長度（FIR）。因果的な $M$ 点移動平均（移動平均、§2.1.2）：  $h[n]=\dfrac{1}{M}\bigl(u[n]-u[n-M]\bigr)$、すなわち $0\le n\le M-1$ で $1/M$——有限長（FIR）。
  $h[n]=\tfrac1M(u[n]-u[n-M])$ 怎麼來的？（點擊展開）

  餵 $\delta[n]$ 進 $y[n]=\dfrac1M\sum_{k=0}^{M-1}x[n-k]$： $$h[n]=\frac1M\sum_{k=0}^{M-1}\delta[n-k].$$ $\delta[n-k]$ 只有在 $k=n$ 那一項等於 1，這一項有沒有落在求和範圍 $0\le k\le M-1$ 內就決定 $h[n]$：

  • $0\le n\le M-1$：$k=n$ 在範圍內 ⇒ 恰好 1 項 ⇒ $h[n]=\dfrac1M$。
  • 其他 $n$：$k=n$ 不在範圍 ⇒ 全為 0 ⇒ $h[n]=0$。

  所以 $h[n]$ 是高度 $1/M$、寬度 $M$ 的矩形（$n=0,1,\dots,M-1$）。
  為什麼能寫成 $u[n]-u[n-M]$（兩步階相減＝矩形窗）：

  $n$	$u[n]$	$u[n-M]$	$u[n]-u[n-M]$
  $<0$	0	0	$0$
  $0\le n\le M-1$	1	0	$1$
  $\ge M$	1	1	$0$

  $u[n]$ 在 $n=0$ 打開、$u[n-M]$ 在 $n=M$ 打開；相減後只在 $0\le n\le M-1$ 留下 1，正是長度 $M$ 的矩形窗，乘上 $1/M$ 即得 $h[n]$。
  為什麼是 FIR：$h[n]$ 只有有限多項（$M$ 項）非零；沒有回授、純輸入加權和 ⇒ FIR（對照累加器有回授、$h[n]=u[n]$ 拖到無限 ⇒ IIR）。
• Accumulator:   $h[n]=\sum_{k\le n}\delta[k] = u[n]$ — infinite length (IIR).累加器：  $h[n]=\sum_{k\le n}\delta[k] = u[n]$ —— 無限長度（IIR）。累算器：  $h[n]=\sum_{k\le n}\delta[k] = u[n]$——無限長（IIR）。
  累加器的 $h[n]=u[n]$ 怎麼來的？為何是 IIR？（點擊展開）

  累加器把輸入從頭累加到現在：$y[n]=\displaystyle\sum_{k\le n}x[k]$。餵 $\delta[n]$ 進去： $$h[n]=\sum_{k\le n}\delta[k].$$ $\delta[k]$ 只有在 $k=0$ 那一項等於 1。所以這個和就看「累加範圍 $k\le n$ 有沒有包含到 $k=0$」：

  • $n\ge 0$：上限 $n$ 已越過 $k=0$，那一格被加進來 ⇒ $h[n]=1$。
  • $n<0$：上限還沒到 $k=0$，範圍內全是 0 ⇒ $h[n]=0$。

  合起來就是單位步階 $h[n]=u[n]=\{\dots,0,\underset{n=0}{1},1,1,1,\dots\}$。
  
  為何是 IIR：$h[n]$ 從 $n=0$ 起永遠是 1、不歸零，非零項有無限多個 ⇒ 無限脈衝響應（IIR）。 根源是累加器本質上是遞迴：$y[n]=y[n-1]+x[n]$（把上一刻的總和帶到下一刻），正是 $a=1$ 的一階遞迴，所以脈衝一旦進來就被永久保留。
  
  注意：它無限長且「不衰減」，$\sum_n|h[n]|=\sum_n u[n]=\infty$ ⇒ 不 BIBO 穩定 （對應系統總表 Accumulator 的 Stable = No；見 §2.2.5 與 Fig. 2-4 的斜坡發散）。對照一階遞迴 $h[n]=a^n u[n]$（$|a|<1$）雖也無限長卻衰減、是穩定的。
• First-order recursion $y[n]=a\,y[n-1]+x[n]$:   $h[n]=a^n u[n]$ — the exponentially decaying response shown for $a=0.8$.一階遞迴 $y[n]=a\,y[n-1]+x[n]$：  $h[n]=a^n u[n]$ —— 圖中以 $a=0.8$ 畫出的指數衰減響應。1 次の再帰 $y[n]=a\,y[n-1]+x[n]$：  $h[n]=a^n u[n]$——$a=0.8$ について示した、指数的に減衰する応答である。

2.4 The Convolution Sum2.4 卷積和2.4 畳み込み和

2.4.1 Definition and mechanics2.4.1 定義與計算機制2.4.1 定義と計算の仕組み

Two complementary readings of the same formula:

同一條公式有兩種互補的讀法：

同じ式には、互いに補い合う 2 通りの読み方がある：

Interpretation 1 — superposition of echoes讀法一 —— 回聲的疊加読み方 1 — こだまの重ね合わせ

Read $y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$ as a sum over input samples: every input sample $x[k]$ launches its own copy of the impulse response, scaled by $x[k]$ and delayed to start at time $k$. The output is the superposition of all these scaled, shifted echoes. This is the direct picture of "linearity + time invariance at work".

把 $y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$ 讀成對輸入樣本求和：每一個輸入樣本 $x[k]$ 都發出一份自己的脈衝響應複本，振幅被 $x[k]$ 縮放，並延遲到時刻 $k$ 才開始。輸出就是所有這些縮放、位移後回聲的疊加。這是「線性＋非時變一起作用」最直接的圖像。

$y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$ を入力標本についての和として読む。どの入力標本 $x[k]$ も、$x[k]$ 倍されて時刻 $k$ から始まるように遅延された、自分自身のインパルス応答の複製を送り出す。出力は、こうしてスケールされ平行移動されたこだまをすべて重ね合わせたものである。これは「線形性＋時不変性が働いている様子」をそのまま絵にしたものである。

Interpretation 2 — flip and slide（翻轉平移法）讀法二 —— 翻轉平移法（flip and slide）読み方 2 — 反転して滑らせる（翻轉平移法）

Read the formula one output sample at a time. To get the single number $y[n]$:

把公式一次只讀一個輸出樣本。要得到單一個數 $y[n]$：

この式を、出力標本 1 個ずつ読む。たった 1 つの数 $y[n]$ を得るには：

1. Flip: time-reverse $h[k]$ to get $h[-k]$.
2. Slide: shift it right by $n$ to get $h[n-k]$ (as a function of $k$).
3. Multiply & sum: $y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$ — the inner product of the input with the flipped, shifted impulse response.
4. Increment $n$ and repeat.

1. 翻轉：把 $h[k]$ 時間反轉得到 $h[-k]$。
2. 平移：把它右移 $n$ 得到 $h[n-k]$（視為 $k$ 的函數）。
3. 相乘並求和：$y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$ —— 輸入與翻轉位移後脈衝響應的內積。
4. 把 $n$ 加 1，重複上述步驟。

1. 反転：$h[k]$ を時間反転して $h[-k]$ を得る。
2. 平行移動：それを右へ $n$ だけずらして（$k$ の関数として）$h[n-k]$ を得る。
3. 掛けて足す：$y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k]$——入力と、反転・平行移動したインパルス応答との内積である。
4. $n$ を 1 つ進めて繰り返す。

Fig. 2-3 walks through $x[n]=\{1,2,3,2,1\}$ convolved with $h[n]=\{1,1,1\}$: at $n=3$ the flipped window $h[3-k]$ overlaps $x[k]$ on $k=1,2,3$, giving $y[3]=2+3+2=7$.

圖 2-3 完整走過 $x[n]=\{1,2,3,2,1\}$ 與 $h[n]=\{1,1,1\}$ 的卷積：在 $n=3$ 時翻轉後的窗口 $h[3-k]$ 與 $x[k]$ 在 $k=1,2,3$ 重疊，得到 $y[3]=2+3+2=7$。

図 2-3 は $x[n]=\{1,2,3,2,1\}$ と $h[n]=\{1,1,1\}$ の畳み込みを順に追ったものである。$n=3$ では、反転した窓 $h[3-k]$ が $k=1,2,3$ で $x[k]$ と重なり、$y[3]=2+3+2=7$ となる。

2.4.2 Properties of convolution2.4.2 卷積的性質2.4.2 畳み込みの性質

Commutativity follows from the change of variables $m = n-k$ in the sum; it means "you may flip either signal" — always flip the shorter one. The associative and distributive properties are exactly what make cascade and parallel interconnections work (§2.5.3). Convolution is also linear in each argument and time-invariant: if $y = x*h$ then $x[n-n_0]*h[n] = y[n-n_0]$.

交換律來自求和中的變數代換 $m = n-k$；它的意思是「兩個訊號翻哪一個都可以」——永遠翻比較短的那個。結合律與分配律正是串聯與並聯互連之所以成立的原因（§2.5.3）。卷積對兩個引數也都是線性的，而且是非時變的：若 $y = x*h$，則 $x[n-n_0]*h[n] = y[n-n_0]$。

交換法則は、和の中で変数を $m = n-k$ と置き換えれば従う。これは「どちらの信号を反転してもよい」ということであり、つねに短い方を反転すればよい。結合法則と分配法則は、縦続接続と並列接続が成り立つ理由そのものである（§2.5.3）。畳み込みはまた、各引数について線形であり、かつ時不変でもある：$y = x*h$ ならば $x[n-n_0]*h[n] = y[n-n_0]$ が成り立つ。

2.4.3 Matrix interpretation2.4.3 矩陣觀點2.4.3 行列による解釈

For finite-length sequences, convolution is a matrix–vector product. With $x[n]$ of length $N$ and $h[n]$ of length $M$, stack $y = H\,x$ where $H$ is the $(N{+}M{-}1)\times N$ convolution (Toeplitz) matrix（卷積矩陣） whose columns are shifted copies of $h$. For $h=\{h_0,h_1,h_2\}$ and $N=5$:

對有限長度序列而言，卷積就是一個矩陣與向量的乘積。設 $x[n]$ 長度為 $N$、$h[n]$ 長度為 $M$，可以把輸出疊成 $y = H\,x$，其中 $H$ 是 $(N{+}M{-}1)\times N$ 的卷積矩陣（Toeplitz 矩陣），它的每一行都是 $h$ 的位移複本。以 $h=\{h_0,h_1,h_2\}$、$N=5$ 為例：

有限長の系列に対しては、畳み込みは行列とベクトルの積である。長さ $N$ の $x[n]$ と長さ $M$ の $h[n]$ について、$y = H\,x$ と書ける。ここで $H$ は $(N{+}M{-}1)\times N$ の畳み込み行列（Toeplitz 行列）（卷積矩陣）で、その各列は $h$ を平行移動した複製である。$h=\{h_0,h_1,h_2\}$、$N=5$ の場合：

Each column is the echo launched by one input sample (Interpretation 1); each row is the flipped window picking out one output sample (Interpretation 2). The constant-along-diagonals (Toeplitz) structure is time invariance written as a matrix.

每一行是某一個輸入樣本所發出的回聲（讀法一）；每一列是翻轉後的窗口挑出某一個輸出樣本（讀法二）。「沿對角線為定值」的 Toeplitz 結構就是非時變性用矩陣寫出來的樣子。

各列は 1 つの入力標本が送り出したこだまであり（読み方 1）、各行は 1 つの出力標本を取り出す反転窓である（読み方 2）。対角線に沿って値が一定である（Toeplitz）という構造こそが、行列の形で書かれた時不変性である。

2.4.4 Support, length, and MATLAB2.4.4 支撐、長度與 MATLAB2.4.4 台・長さ・MATLAB

2.5 LTI System Properties via h[n]2.5 由 h[n] 判讀 LTI 系統性質2.5 h[n] から見た LTI システムの性質

Because $h[n]$ characterizes an LTI system completely, every system property of §2.2 must be readable directly from $h[n]$.

因為 $h[n]$ 完整刻畫了一個 LTI 系統，§2.2 的每一個系統性質都必須能直接從 $h[n]$ 讀出來。

$h[n]$ は LTI システムを完全に特徴づけるので、§2.2 のシステムの性質はどれも $h[n]$ から直接読み取れるはずである。

2.5.1 Causality ⇔ h[n] = 0 for n < 02.5.1 因果性 ⇔ 對 n < 0 有 h[n] = 02.5.1 因果性 ⇔ n < 0 で h[n] = 0

Why: in $y[n] = \sum_k h[k]\,x[n-k]$, the terms with $k<0$ involve $x[n-k]$ with $n-k > n$ — future inputs. They vanish for every input iff $h[k]=0$ for $k<0$. ($\Leftarrow$) is immediate; ($\Rightarrow$) follows because $h[n]$ is itself the response to $\delta[n]$: a causal system cannot respond before the impulse arrives at $n=0$. A sequence with this property is called a causal sequence.

原因：在 $y[n] = \sum_k h[k]\,x[n-k]$ 中，$k<0$ 的項牽涉到 $n-k > n$ 的 $x[n-k]$——也就是未來的輸入。要讓這些項對每一個輸入都消失，充要條件是 $k<0$ 時 $h[k]=0$。（$\Leftarrow$）方向是顯然的；（$\Rightarrow$）方向成立是因為 $h[n]$ 本身就是對 $\delta[n]$ 的響應：因果系統不可能在脈衝於 $n=0$ 抵達之前就有反應。具有這個性質的序列稱為因果序列。

理由：$y[n] = \sum_k h[k]\,x[n-k]$ において、$k<0$ の項には $n-k > n$ なる $x[n-k]$——つまり未来の入力——が現れる。これがあらゆる入力について消えるのは、$k<0$ で $h[k]=0$ となるとき、かつそのときに限る。（$\Leftarrow$）は直ちに従う。（$\Rightarrow$）は $h[n]$ 自身が $\delta[n]$ に対する応答であることから従う：因果的なシステムが、$n=0$ にインパルスが到着する前に応答することはできない。この性質をもつ系列を因果系列という。

2.5.2 Stability ⇔ absolute summability2.5.2 穩定性 ⇔ 絕對可和2.5.2 安定性 ⇔ 絶対可和性

2.5.3 Connected systems: cascade and parallel2.5.3 系統的連接：串聯與並聯2.5.3 システムの接続：縦続と並列

The convolution algebra of §2.4.2 translates directly into block-diagram rules (Fig. 2-5):

§2.4.2 的卷積代數可以直接翻譯成方塊圖的規則（圖 2-5）：

§2.4.2 の畳み込みの代数は、そのままブロック図の規則に翻訳される（図 2-5）：

• Cascade（串聯）: $h[n] = h_1[n]*h_2[n]$. By commutativity the order of the blocks does not matter — a purely LTI privilege.
• Parallel（並聯）: $h[n] = h_1[n]+h_2[n]$ (distributive property).

• 串聯（cascade）：$h[n] = h_1[n]*h_2[n]$。由交換律可知方塊的先後順序無關緊要——這是 LTI 系統獨有的特權。
• 並聯（parallel）：$h[n] = h_1[n]+h_2[n]$（分配律）。

• 縦続接続（串聯）：$h[n] = h_1[n]*h_2[n]$。交換法則により、ブロックの順序は問題にならない——これは LTI だけに許された特権である。
• 並列接続（並聯）：$h[n] = h_1[n]+h_2[n]$（分配法則による）。

2.5.4 Inverse systems2.5.4 反系統2.5.4 逆システム

A system $h_i[n]$ is the inverse（反系統） of $h[n]$ if their cascade is the identity system:

系統 $h_i[n]$ 是 $h[n]$ 的反系統（inverse system），如果兩者串聯後等於恆等系統：

システム $h_i[n]$ が $h[n]$ の逆システム（反系統）であるとは、両者を縦続接続したものが恒等システムになることをいう：

2.6 Chapter Summary2.6 本章總結2.6 本章のまとめ

Exercises習題演習問題

All three problems of ICE503 Homework #2, with full worked solutions.

ICE503 作業 #2 的全部三題，附完整解答。

ICE503 宿題 #2 の全 3 問を、完全な解答つきで掲載する。

clc; clear; close all;

n = 0:4;                       % time index of the input
x = [1 3 7 2 4];               % x[n] sample values
N = length(x);                 % input length
M = 5;                         % moving-average length

%% (a) plot x[n] with stem
figure(1)
stem(n, x, 'filled');
xlabel('n'); ylabel('x[n]');
title('Input signal x[n]');
grid on;

%% (b) compute y[n] with a for loop
x_padded = [x zeros(1, M-1)];  % zero-pad to handle the boundary
y_loop = zeros(1, N + M - 1);  % preallocate the output

for i = 1:(N + M - 1)          % loop over output samples
    sum_val = 0;
    for k = 0:(M - 1)          % accumulate the M-sample window
        if (i - k) > 0         % keep the index valid (x[n]=0 for n<0)
            sum_val = sum_val + x_padded(i - k);
        end
    end
    y_loop(i) = sum_val / M;   % the average
end

%% (c) compute y[n] with conv
h = (1/M) * ones(1, M);        % MA impulse response h[n] = 1/5, n = 0..4
y_conv = conv(x, h);           % identical to y_loop

%% (d) plot y[n] with stem
n_out = 0:(N + M - 2);         % output time index, length N+M-1

figure(2)
subplot(2,1,1)
stem(n_out, y_loop, 'filled');
xlabel('n'); ylabel('y[n]');
title('Output y[n] (for loop)');
grid on;

subplot(2,1,2)
stem(n_out, y_conv, 'filled');
xlabel('n'); ylabel('y[n]');
title('Output y[n] (conv)');
grid on;