Discrete-Time Signals離散時間訊號離散時間信号

1.1 What Is Digital Signal Processing?1.1 什麼是數位訊號處理？1.1 ディジタル信号処理とは何か

1.1.1 Signals and signal processing1.1.1 訊號與訊號處理1.1.1 信号と信号処理

A signal is an information-bearing function — a function of one or more independent variables (usually time) that carries information about the behavior or nature of some phenomenon. Speech waveforms, ECG traces, stock prices, seismic records, and images are all signals. Signal processing is the set of operations we apply to a signal to extract, enhance, store, or transmit the useful information it carries — for example removing noise, separating mixed signals, measuring a frequency, or compressing data.

訊號（signal）是一個承載資訊的函數——一個以一個或多個自變數（通常是時間）為引數的函數，帶著某個現象的行為或性質的資訊。語音波形、心電圖、股價、地震紀錄與影像，全都是訊號。訊號處理（signal processing）則是我們施加在訊號上的一整套運算，用來擷取、增強、儲存或傳輸它所帶的有用資訊——例如去除雜訊、分離混合訊號、量測頻率，或是壓縮資料。

信号とは情報を担う関数のことである。すなわち、ある現象の挙動や性質についての情報を運ぶ、1 個以上の独立変数（通常は時間）の関数である。音声波形、心電図波形、株価、地震記録、画像はいずれも信号である。信号処理とは、信号が担う有用な情報を抽出・強調・蓄積・伝送するために信号へ施す一連の操作を指す。たとえば雑音の除去、混ざり合った信号の分離、周波数の測定、データの圧縮などである。

1.1.2 Continuous-time, discrete-time, and digital signals1.1.2 連續時間、離散時間與數位訊號1.1.2 連続時間信号・離散時間信号・ディジタル信号

Three levels of "discreteness" must be distinguished:

必須區分三種層次的「離散」：

「離散性」には区別すべき三つの段階がある：

A discrete-time signal takes values only at discrete time indices; a digital signal is discrete in both time and amplitude (each sample is quantized to a finite number of bits). In analysis we usually work with ideal discrete-time signals and treat quantization separately.

離散時間訊號只在離散的時間索引上有值；數位訊號則在時間與振幅上都是離散的（每個樣本都被量化成有限的位元數）。做分析時，我們通常先處理理想的離散時間訊號，把量化另外討論。

離散時間信号は離散的な時間インデックスでのみ値をとる。ディジタル信号は時間と振幅の両方が離散である（各標本が有限ビット数に量子化されている）。解析では通常、理想的な離散時間信号を扱い、量子化は別個に取り扱う。

1.1.3 DSP vs. analog signal processing1.1.3 DSP 與類比訊號處理的比較1.1.3 DSP とアナログ信号処理

An analog processor maps $x(t)$ directly to $y(t)$ with physical circuits (R, L, C, op-amps). Digital processing of an analog signal inserts a conversion sandwich: an A/D converter samples and quantizes $x(t)$ into $x[n]$, a digital processor computes $y[n]$ numerically, and a D/A converter reconstructs the analog output $y(t)$.

類比處理器用實體電路（R、L、C、運算放大器）把 $x(t)$ 直接映射成 $y(t)$。若改用數位方式處理類比訊號，中間就要夾進一段轉換：A/D 轉換器（類比轉數位）把 $x(t)$ 取樣並量化成 $x[n]$，數位處理器以數值方式算出 $y[n]$，最後由 D/A 轉換器重建出類比輸出 $y(t)$。

アナログプロセッサは、物理的な回路（R、L、C、オペアンプ）によって $x(t)$ を直接 $y(t)$ へ写す。アナログ信号をディジタル処理する場合は、変換のサンドイッチが挟まる：A/D 変換器が $x(t)$ を標本化・量子化して $x[n]$ とし、ディジタルプロセッサが $y[n]$ を数値的に計算し、D/A 変換器がアナログ出力 $y(t)$ を再構成する。

Historical thread from the lecture: numerical methods for continuous-variable problems date to the 17th century; large digital computers became available in the 1950s (initially to simulate analog systems before building them); by the 1960s researchers recognized digital signal processing as a separate field in its own right.

課堂上提到的歷史脈絡：處理連續變數問題的數值方法可以追溯到 17 世紀；大型數位電腦在 1950 年代開始出現（起初是用來在真正動手做之前模擬類比系統）；到了 1960 年代，研究者才把數位訊號處理視為一門獨立的領域。

講義で触れられた歴史の流れ：連続変数問題に対する数値解法は 17 世紀にさかのぼる。大型ディジタル計算機は 1950 年代に利用可能となった（当初はアナログシステムを製作する前に模擬する目的だった）。そして 1960 年代には、ディジタル信号処理がそれ自体で独立した一分野であると研究者に認識されるようになった。

1.1.4 Digital vs. analog: advantages and disadvantages1.1.4 數位與類比：優點與缺點1.1.4 ディジタル対アナログ：長所と短所

1.2 Operations on Sequences1.2 序列的運算1.2 系列に対する演算

1.2.1 Sequences and notation1.2.1 序列與記號1.2.1 系列と記法

A discrete-time signal is a sequence of numbers $x = \{x[n]\}$, $-\infty < n < \infty$, with integer index $n$. Most sequences in practice come from uniform sampling of an analog signal:

離散時間訊號就是一串數字所構成的序列 $x = \{x[n]\}$，$-\infty < n < \infty$，其中索引 $n$ 是整數。實務上大多數序列都來自對類比訊號的均勻取樣：

離散時間信号とは、整数のインデックス $n$ をもつ数の系列 $x = \{x[n]\}$、$-\infty < n < \infty$ である。実際に現れる系列の多くは、アナログ信号の一様標本化から得られる：

A finite-length (N-point) sequence is defined on $N_1 \le n \le N_2$ with length $N = N_2 - N_1 + 1$; sample values may be real or complex. We often write a short sequence by listing its values with an arrow or underline marking $n=0$, e.g. $x[n]=\{1, \underline{2}, 1, 1\}$ means $x[-1]=1,\ x[0]=2,\ x[1]=1,\ x[2]=1$.

有限長度（$N$ 點）序列定義在 $N_1 \le n \le N_2$ 上，長度為 $N = N_2 - N_1 + 1$；樣本值可以是實數或複數。短序列常直接把值列出來，並用箭號或底線標出 $n=0$ 的位置，例如 $x[n]=\{1, \underline{2}, 1, 1\}$ 表示 $x[-1]=1,\ x[0]=2,\ x[1]=1,\ x[2]=1$。

有限長（N 点）の系列は $N_1 \le n \le N_2$ 上で定義され、長さは $N = N_2 - N_1 + 1$ である。標本値は実数でも複素数でもよい。短い系列は、$n=0$ の位置を矢印や下線で示しながら値を並べて書くことが多い。たとえば $x[n]=\{1, \underline{2}, 1, 1\}$ は $x[-1]=1,\ x[0]=2,\ x[1]=1,\ x[2]=1$ を意味する。

1.2.2 Left-sided and right-sided sequences1.2.2 左邊序列與右邊序列1.2.2 左側系列と右側系列

• Right-sided: $x[n]=0$ for $n < N_1$ (some finite $N_1$). If $N_1 \ge 0$ the sequence is causal.
• Left-sided: $x[n]=0$ for $n > N_2$. If $N_2 \le 0$ it is anti-causal.
• Two-sided: extends to infinity in both directions.
• Finite-length: both left- and right-sided; zero outside $[N_1, N_2]$.

• 右邊序列：當 $n < N_1$ 時 $x[n]=0$（$N_1$ 為某個有限值）。若 $N_1 \ge 0$，這個序列就是因果（causal）序列。
• 左邊序列：當 $n > N_2$ 時 $x[n]=0$。若 $N_2 \le 0$，則為反因果（anti-causal）序列。
• 雙邊序列：往兩個方向都延伸到無限遠。
• 有限長度序列：同時是左邊與右邊序列；在 $[N_1, N_2]$ 之外都是零。

• 右側系列：ある有限の $N_1$ について $n < N_1$ で $x[n]=0$。$N_1 \ge 0$ ならその系列は因果的である。
• 左側系列：$n > N_2$ で $x[n]=0$。$N_2 \le 0$ なら反因果的である。
• 両側系列：両方向に無限に伸びる。
• 有限長系列：左側かつ右側。$[N_1, N_2]$ の外ではゼロ。

1.2.3 Elementary operations1.2.3 基本運算1.2.3 基本演算

All basic operations act sample by sample:

所有基本運算都是逐個樣本進行的：

基本的な演算はすべて標本ごとに作用する：

1.2.4 Time shifting and combined operations1.2.4 時間平移與複合運算1.2.4 時間シフトと演算の組み合わせ

Operations are often combined, e.g. $y[n] = x[2n-3]$ or $y[n] = x[3-n]$. The safe way to evaluate a combination is substitution: for each output index $n$, compute the argument and read off the input sample.

這些運算常常組合在一起，例如 $y[n] = x[2n-3]$ 或 $y[n] = x[3-n]$。處理組合運算最保險的方法是代入：對每一個輸出索引 $n$，算出引數的值，再去讀對應的輸入樣本。

演算はしばしば組み合わされる。たとえば $y[n] = x[2n-3]$ や $y[n] = x[3-n]$ である。組み合わせを安全に評価する方法は代入である：出力インデックス $n$ ごとに引数を計算し、対応する入力標本を読み取ればよい。

1.2.5 Up- and down-sampling1.2.5 升取樣與降取樣1.2.5 アップサンプリングとダウンサンプリング

Sampling-rate alteration changes the time scale of a sequence.

改變取樣率，等於改變序列的時間尺度。

標本化レートの変更は、系列の時間スケールを変える。

Down-sampling throws away samples — information can be permanently lost (this is exactly the aliasing issue of Section 1.3.5). Up-sampling only inserts zeros, so no information is lost; the zeros are later filled by an interpolation filter (Chapter on multirate DSP).

降取樣是丟掉樣本——資訊可能永久流失（這正是 §1.3.5 要談的混疊問題）。升取樣只是插入零，所以不會損失資訊；這些零之後會由內插濾波器補上（見多速率 DSP 那一章）。

ダウンサンプリングは標本を捨てるため、情報が永久に失われることがある（これが 1.3.5 節のエイリアシングの問題そのものである）。アップサンプリングはゼロを挿入するだけなので情報は失われない。挿入されたゼロは、のちに内挿フィルタによって埋められる（マルチレート DSP の章）。

1.2.6 Complex numbers and the complex conjugate1.2.6 複數與共軛複數1.2.6 複素数と複素共役

Complex numbers are a mathematical convenience that leads to simple expressions for sinusoids and frequency responses. A second "imaginary" dimension ($j = \sqrt{-1}$, $j^2 = -1$) is added to all values.

複數（complex numbers）是一種數學上的方便工具，能讓弦波與頻率響應的表示式變得簡潔。它替所有數值加上了第二個「虛」維度（$j = \sqrt{-1}$，$j^2 = -1$）。

複素数は数学上の便法であり、正弦波や周波数応答を簡潔な式で表せるようにしてくれる。すべての値に「虚」の第 2 の次元（$j = \sqrt{-1}$、$j^2 = -1$）が加わる。

Practical rules: add/subtract in rectangular form (componentwise), multiply/divide in polar form (magnitudes multiply, phases add): $z_1 z_2 = |z_1||z_2|\,e^{j(\theta_1+\theta_2)}$.

實用原則：加減用直角座標式（分量各自相加減），乘除用極座標式（大小相乘、相位相加）：$z_1 z_2 = |z_1||z_2|\,e^{j(\theta_1+\theta_2)}$。

実用上の原則：加減算は直交形式で（成分ごとに）、乗除算は極形式で（大きさは掛け、位相は足す）：$z_1 z_2 = |z_1||z_2|\,e^{j(\theta_1+\theta_2)}$。

1.3 Classes of Sequences1.3 序列的分類1.3 系列の分類

1.3.1 Classification by symmetry1.3.1 依對稱性分類1.3.1 対称性による分類

For a real sequence:

對實數序列而言：

実系列について：

• Even: $x[n] = x[-n]$ — mirror-symmetric about $n=0$.
• Odd: $x[n] = -x[-n]$ — antisymmetric; necessarily $x[0]=0$.

• 偶對稱：$x[n] = x[-n]$ —— 以 $n=0$ 為軸鏡像對稱。
• 奇對稱：$x[n] = -x[-n]$ —— 反對稱；必然有 $x[0]=0$。

• 偶：$x[n] = x[-n]$——$n=0$ を軸として鏡映対称。
• 奇：$x[n] = -x[-n]$——反対称。必然的に $x[0]=0$ となる。

For a complex sequence the natural generalizations are:

對複數序列，自然的推廣是：

複素系列については、自然な一般化は次のようになる：

• Conjugate-symmetric: $x[n] = x^{*}[-n]$ (real part even, imaginary part odd; $x[0]$ must be real).
• Conjugate-antisymmetric: $x[n] = -x^{*}[-n]$ (real part odd, imaginary part even; $x[0]$ purely imaginary).

• 共軛對稱：$x[n] = x^{*}[-n]$（實部為偶、虛部為奇；$x[0]$ 必為實數）。
• 共軛反對稱：$x[n] = -x^{*}[-n]$（實部為奇、虛部為偶；$x[0]$ 為純虛數）。

• 共役対称：$x[n] = x^{*}[-n]$（実部が偶、虚部が奇。$x[0]$ は実数でなければならない）。
• 共役反対称：$x[n] = -x^{*}[-n]$（実部が奇、虚部が偶。$x[0]$ は純虚数）。

Every sequence can be decomposed uniquely into these two parts:

任何序列都可以唯一地拆成這兩部分：

どんな系列も、この 2 つの部分へ一意に分解できる：

For real sequences this reduces to the even–odd decomposition $x[n] = x_{ev}[n] + x_{od}[n]$ with $x_{ev}[n] = \tfrac12 (x[n] + x[-n])$ and $x_{od}[n] = \tfrac12 (x[n] - x[-n])$.

對實數序列，這會退化成偶奇分解 $x[n] = x_{ev}[n] + x_{od}[n]$，其中 $x_{ev}[n] = \tfrac12 (x[n] + x[-n])$、$x_{od}[n] = \tfrac12 (x[n] - x[-n])$。

実系列の場合、これは偶奇分解 $x[n] = x_{ev}[n] + x_{od}[n]$ に帰着する。ここで $x_{ev}[n] = \tfrac12 (x[n] + x[-n])$、$x_{od}[n] = \tfrac12 (x[n] - x[-n])$ である。

1.3.2 Basic sequences1.3.2 基本序列1.3.2 基本的な系列

Two building blocks generate everything else.

有兩個基本元件可以生成其他一切。

2 つの構成要素から他のすべてが生成される。

They are related by a running sum and a first difference:

兩者之間的關係是「累加和」與「一階差分」：

両者は累和と階差によって結ばれている：

The most important identity of the whole course: any sequence is a weighted sum of shifted impulses — this is what will make convolution work in Chapter 2.

整門課最重要的一個恆等式：任何序列都是平移脈衝的加權和—— 這正是第 2 章摺積能成立的根據。

この授業全体で最も重要な恒等式：任意の系列は、シフトされたインパルスの重み付き和である——これが第 2 章で畳み込みを成り立たせるものである。

1.3.3 Exponential and sinusoidal sequences1.3.3 指數與弦波序列1.3.3 指数系列と正弦波系列

With complex $A = |A|e^{j\phi}$ and $\alpha = |\alpha|e^{j\omega_0}$, the complex exponential sequence combines both:

若取複數 $A = |A|e^{j\phi}$ 與 $\alpha = |\alpha|e^{j\omega_0}$，複指數序列就把兩者結合起來：

複素数 $A = |A|e^{j\phi}$ と $\alpha = |\alpha|e^{j\omega_0}$ をとれば、複素指数系列が両者を一つにまとめる：

For $|\alpha| = 1$ this is the pure complex exponential $e^{j\omega_0 n}$ — the eigenfunction of every LTI system and the basis of all Fourier analysis to come.

當 $|\alpha| = 1$ 時，它就是純複指數 $e^{j\omega_0 n}$ —— 所有 LTI 系統的特徵函數，也是後面全部傅立葉分析的基礎。

$|\alpha| = 1$ のとき、これは純粋な複素指数 $e^{j\omega_0 n}$ となる——あらゆる LTI システムの固有関数であり、これから学ぶフーリエ解析すべての基礎である。

1.3.4 Periodic sequences1.3.4 週期性序列1.3.4 周期系列

A sequence is periodic with period $N$ (a positive integer) if $x[n] = x[n+N]$ for all $n$; the smallest such $N$ is the fundamental period. Unlike continuous time, a discrete sinusoid is not automatically periodic:

若對所有 $n$ 都有 $x[n] = x[n+N]$（$N$ 為正整數），則序列是週期性的，而最小的那個 $N$ 稱為基本週期。和連續時間不同，離散弦波不見得是週期的：

すべての $n$ について $x[n] = x[n+N]$ が成り立つとき、その系列は周期 $N$（正の整数）で周期的であるという。このような $N$ のうち最小のものが基本周期である。連続時間の場合と違い、離散時間の正弦波は自動的に周期的になるとは限らない：

i.e. $x[n] = \cos(\omega_0 n + \phi)$ is periodic iff $\omega_0 / 2\pi$ is a rational number. Writing $\omega_0/2\pi = k/N$ in lowest terms, the fundamental period is $N$. For example $\cos(0.25\pi n)$ has $\omega_0/2\pi = 1/8$, so $N = 8$; but $\cos(n)$ ($\omega_0 = 1$, $\omega_0/2\pi = 1/2\pi$ irrational) is never periodic.

也就是說，$x[n] = \cos(\omega_0 n + \phi)$ 是週期的充要條件是 $\omega_0 / 2\pi$ 為有理數。把 $\omega_0/2\pi = k/N$ 化成最簡分數後，基本週期就是 $N$。例如 $\cos(0.25\pi n)$ 的 $\omega_0/2\pi = 1/8$，所以 $N = 8$；但 $\cos(n)$（$\omega_0 = 1$，$\omega_0/2\pi = 1/2\pi$ 為無理數）永遠不是週期的。

すなわち $x[n] = \cos(\omega_0 n + \phi)$ が周期的であるのは$\omega_0 / 2\pi$ が有理数のとき、かつそのときに限る。$\omega_0/2\pi = k/N$ を既約分数で書けば、基本周期は $N$ である。たとえば $\cos(0.25\pi n)$ は $\omega_0/2\pi = 1/8$ なので $N = 8$。一方 $\cos(n)$（$\omega_0 = 1$、$\omega_0/2\pi = 1/2\pi$ は無理数）は決して周期的にならない。

Periodic complex exponentials. For period $N$, the harmonically related complex exponentials are $e^{j2\pi k n / N}$, $k \in \mathbb{Z}$ — but only $N$ of them are distinct, since $k$ and $k+N$ give the identical sequence. This finiteness is what makes the DFS/DFT possible.

週期性複指數。對週期 $N$ 而言，諧波相關的複指數是 $e^{j2\pi k n / N}$，$k \in \mathbb{Z}$ —— 但其中只有 $N$ 個是相異的，因為 $k$ 與 $k+N$ 會給出完全相同的序列。正是這個「有限性」讓 DFS／DFT 得以成立。

周期的な複素指数。周期 $N$ に対し、調和的に関係づけられた複素指数は $e^{j2\pi k n / N}$、$k \in \mathbb{Z}$ である——ただし相異なるものは $N$ 個しかない。$k$ と $k+N$ が同一の系列を与えるからである。この有限性こそが DFS／DFT を可能にしている。

★ Important — Symmetry of periodic sequences. For a period-$N$ sequence, symmetry is defined modulo $N$: $x[n]$ is periodic conjugate-symmetric if $x[n] = x^{*}[\langle -n\rangle_N]$, where $\langle m \rangle_N$ denotes $m$ modulo $N$. The decomposition of Section 1.3.1 carries over with $-n$ replaced by $\langle -n\rangle_N$.

★ 重點 — 週期序列的對稱性。對週期為 $N$ 的序列，對稱性是以 $N$ 取模來定義的：若 $x[n] = x^{*}[\langle -n\rangle_N]$，則 $x[n]$ 為週期共軛對稱，其中 $\langle m \rangle_N$ 表示 $m$ 對 $N$ 取模。§1.3.1 的分解可以直接沿用，只要把 $-n$ 換成 $\langle -n\rangle_N$ 即可。

★ 重要 — 周期系列の対称性。周期 $N$ の系列では、対称性は $N$ を法として定義される：$x[n] = x^{*}[\langle -n\rangle_N]$ が成り立つとき $x[n]$ は周期共役対称であるという。ここで $\langle m \rangle_N$ は $m$ の $N$ を法とした剰余を表す。1.3.1 節の分解は、$-n$ を $\langle -n\rangle_N$ に置き換えればそのまま成り立つ。

1.3.5 Sampling sinusoids and aliasing1.3.5 弦波取樣與混疊1.3.5 正弦波の標本化とエイリアシング

Sample the analog sinusoid $x_a(t) = \cos(\Omega_0 t)$ at rate $f_s = 1/T$:

以取樣率 $f_s = 1/T$ 對類比弦波 $x_a(t) = \cos(\Omega_0 t)$ 取樣：

アナログ正弦波 $x_a(t) = \cos(\Omega_0 t)$ をレート $f_s = 1/T$ で標本化する：

Now combine this with the $2\pi$-ambiguity of discrete frequency: analog frequencies $f_0$ and $f_0 + k f_s$ (any integer $k$), and also $-f_0 + k f_s$, all map to the same sample sequence. Distinct analog sinusoids become indistinguishable after sampling — this is aliasing.

再結合離散頻率的 $2\pi$ 模糊性：類比頻率 $f_0$ 與 $f_0 + k f_s$（$k$ 為任意整數），以及 $-f_0 + k f_s$，全都對應到同一組樣本序列。原本相異的類比弦波，取樣後變得無法區分 —— 這就是混疊（aliasing）。

これを離散周波数の $2\pi$ の不定性と組み合わせる：アナログ周波数 $f_0$ と $f_0 + k f_s$（$k$ は任意の整数）、さらに $-f_0 + k f_s$ も、すべて同一の標本列に写る。相異なるアナログ正弦波が標本化後には区別できなくなる——これがエイリアシングである。

1.3.6 Energy, power, and boundedness1.3.6 能量、功率與有界性1.3.6 エネルギー・電力・有界性

• Energy signal: $0 < E_x < \infty$ (then $P_x = 0$). Example: $\delta[n]$ has $E = 1$; $(0.8)^n u[n]$ has $E = \sum_{n\ge 0} 0.64^n = \frac{1}{1-0.64} = \frac{25}{9}$.
• Power signal: $0 < P_x < \infty$ (then $E_x = \infty$). Example: $u[n]$ has $P = \tfrac12$; every nonzero periodic sequence is a power signal with $P = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2$.

• 能量訊號：$0 < E_x < \infty$（此時 $P_x = 0$）。例如 $\delta[n]$ 的 $E = 1$；$(0.8)^n u[n]$ 的 $E = \sum_{n\ge 0} 0.64^n = \frac{1}{1-0.64} = \frac{25}{9}$。
• 功率訊號：$0 < P_x < \infty$（此時 $E_x = \infty$）。例如 $u[n]$ 的 $P = \tfrac12$；任何非零的週期序列都是功率訊號，且 $P = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2$。

• エネルギー信号：$0 < E_x < \infty$（このとき $P_x = 0$）。例：$\delta[n]$ は $E = 1$。$(0.8)^n u[n]$ は $E = \sum_{n\ge 0} 0.64^n = \frac{1}{1-0.64} = \frac{25}{9}$。
• 電力信号：$0 < P_x < \infty$（このとき $E_x = \infty$）。例：$u[n]$ は $P = \tfrac12$。ゼロでない周期系列はすべて電力信号であり、$P = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2$ となる。

Three more classes used constantly in stability arguments:

還有三類在討論穩定性時會不斷用到：

安定性の議論で絶えず用いられる、さらに 3 つのクラス：

1.4 Chapter Summary1.4 本章總結1.4 本章のまとめ

Exercises習題演習問題

All three problems of ICE503 DSP Homework #1, with full worked solutions.

ICE503 DSP 作業 #1 的三道題目，附完整解答。

ICE503 DSP 宿題 #1 の全 3 問を、完全な解答つきで掲載する。

% Homework 1, Problem 3
n = -10:10;
x = exp(1j*pi*n/10);          % x[n] = e^{j*pi*n/10}

figure;
subplot(2,1,1);
stem(n, real(x), 'filled');
xlabel('n'); ylabel('Re\{x[n]\}'); grid on;
title('Real part of x[n] = e^{j\pi n/10}');

subplot(2,1,2);
stem(n, imag(x), 'filled');
xlabel('n'); ylabel('Im\{x[n]\}'); grid on;
title('Imaginary part of x[n]');

% (c) numerical check of conjugate symmetry: compare x[n] with x*[-n]
xflip = conj(fliplr(x));      % x*[-n] on the same index grid
max(abs(x - xflip))           % returns 0  ->  conjugate symmetric