Transform-Domain Systems轉換域中的系統変換領域におけるシステム

10.1 Frequency Response (FR)10.1 頻率響應（FR）10.1 周波数応答（FR）

10.1.1 Sinusoids as Eigenfunctions10.1.1 弦波作為特徵函數10.1.1 固有関数としての正弦波

The impulse response（脈衝響應）$h[n]$ completely describes an LSI (linear shift-invariant) system: the output is always the convolution $y[n] = x[n] \circledast h[n] = \sum_{m} h[m]\,x[n-m]$.脈衝響應 $h[n]$ 就完整描述了一個 LSI（線性平移不變）系統：輸出永遠是摺積 $y[n] = x[n] \circledast h[n] = \sum_{m} h[m]\,x[n-m]$。インパルス応答 $h[n]$ は LSI（線形シフト不変）システムを完全に記述する。出力はつねに畳み込み $y[n] = x[n] \circledast h[n] = \sum_{m} h[m]\,x[n-m]$ である。

Feed in a complex sinusoid（複數弦波）$x[n] = e^{j\omega_0 n}$ and watch the convolution factor:輸入一個複數弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}$，看看摺積會變成什麼：複素正弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}$ を入力して、畳み込みがどうなるかを見てみよう。

The complex scale factor is the DTFT of the impulse response evaluated at the input frequency. Writing it in polar form $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$, the output is這個複數比例因子，就是脈衝響應的 DTFT 在輸入頻率處的值。寫成極座標形式 $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$，輸出便是この複素倍率は、インパルス応答の DTFT を入力周波数で評価したものである。極形式 $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$ で書けば、出力は次のようになる。

What these three slides say is this: after a sinusoid passes through a linear shift-invariant (LSI) system, what comes out is still a sinusoid at the same frequency; only its size has been scaled and its phase shifted. And how much each frequency is scaled and shifted by is exactly the frequency response $H(e^{j\omega})$.這三張投影片說的是：正弦波通過線性非時變（LSI）系統後，出來的還是同頻率的正弦波，只是大小被縮放、相位被平移。而每個頻率被縮放和平移多少，就是頻率響應 $H(e^{j\omega})$。この三枚のスライドが言っているのはこうである。正弦波が線形時不変（LSI）システムを通ったあとも、出てくるのは同じ周波数の正弦波であり、大きさが拡大縮小され、位相がずらされるだけである。そして、各周波数がどれだけ拡大縮小され、ずらされるかこそが周波数応答 $H(e^{j\omega})$ である。

Slide 1 — why we talk about the frequency response投影片 1：為什麼要談頻率響應スライド 1：なぜ周波数応答を論じるのか

Any signal can be taken apart into sinusoids. The IDTFT writes $x[n]$ as任何訊號都能拆成正弦波。IDTFT 把 $x[n]$ 寫成どんな信号も正弦波に分解できる。IDTFT は $x[n]$ を次のように書く。

That is, a weighted sum of infinitely many complex sinusoids $e^{j\omega n}$, the weight being $X(e^{j\omega})$.也就是無數個複數正弦波 $e^{j\omega n}$ 的加權總和，權重是 $X(e^{j\omega})$。すなわち、無数の複素正弦波 $e^{j\omega n}$ の重み付き和であり、重みは $X(e^{j\omega})$ である。

A sinusoid is an eigenfunction of an LSI system. A sinusoid goes in, and what comes out is only "scaled"; the shape (the frequency) does not "change". This is the same idea as the eigenvector of linear algebra:正弦波是 LSI 系統的特徵函數（eigenfunction）。正弦波進去，出來只是「縮放」，形狀（頻率）不會「改變」。這和線性代數中特徵向量的概念相同：正弦波は LSI システムの固有関数（eigenfunction）である。正弦波が入り、出てくるのは「拡大縮小」されたものだけで、形（周波数）は「変わらない」。これは線形代数における固有ベクトルの考えと同じである。

Know the scaling at every frequency and you know the whole system. Because the input can be taken apart into sinusoids, because each sinusoid is only scaled, and because the system is linear, writing down the amount of scaling at every frequency is enough to work out the output for any input at all. That set of scaling amounts is the frequency response.知道每個頻率的縮放，就知道整個系統。因為輸入可以拆成正弦波、每個正弦波只被縮放、而系統是線性的，所以把每個頻率的縮放量記下來，就能算出任何輸入的輸出。這組縮放量就是頻率響應。各周波数での拡大縮小を知れば、システム全体を知ったことになる。入力は正弦波に分解でき、各正弦波は拡大縮小されるだけであり、そしてシステムは線形である。だから各周波数での拡大縮小の量を書き留めておけば、どんな入力に対しても出力を計算できる。この拡大縮小の量の集まりが周波数応答である。

Slide 2 — the derivation投影片 2：推導スライド 2：導出

An LSI system is completely described by its impulse response $h[n]$, and the output is the convolution:LSI 系統由脈衝響應 $h[n]$ 完全描述，輸出是摺積：LSI システムはインパルス応答 $h[n]$ によって完全に記述され、出力は畳み込みである。

Feed in the complex sinusoid $x[n] = e^{j\omega_0 n}$:輸入複數正弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}$：複素正弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}$ を入力する。

The key is that $e^{j\omega_0(n-m)} = e^{-j\omega_0 m}\cdot e^{j\omega_0 n}$ can be split apart: the part that has to do with $m$ (the blue line) stays inside the sum, and the part that has to do with $n$ (the green line) is taken outside. The blue-line part is exactly the DTFT of $h[n]$ evaluated at $\omega_0$:關鍵在於 $e^{j\omega_0(n-m)} = e^{-j\omega_0 m}\cdot e^{j\omega_0 n}$ 可以拆開：和 $m$ 有關的部分（藍線）留在求和裡，和 $n$ 有關的部分（綠線）提到外面。藍線部分正好是 $h[n]$ 的 DTFT 在 $\omega_0$ 的值：要点は $e^{j\omega_0(n-m)} = e^{-j\omega_0 m}\cdot e^{j\omega_0 n}$ と分けられることである。$m$ に関わる部分（青い線）は和の中に残り、$n$ に関わる部分（緑の線）は外へ出す。青い線の部分はちょうど $h[n]$ の DTFT を $\omega_0$ で評価した値である。

where $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$. The output is a sinusoid at the very same frequency, its amplitude multiplied by $|H|$ and its phase with $\theta$ added to it.其中 $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$。輸出是同一個頻率的正弦波，振幅乘上 $|H|$，相位加上 $\theta$。ここで $H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|\,e^{j\theta(\omega)}$ である。出力はまったく同じ周波数の正弦波であり、振幅には $|H|$ が掛かり、位相には $\theta$ が加わる。

What lets this derivation go through is the shift-invariance of the system: every term $h[m]$ applies the same delay $m$ to the input, and delaying a sinusoid changes only its phase, never its frequency.這個推導能成立，靠的是系統的非時變性：每一項 $h[m]$ 都對輸入做同樣的延遲 $m$，而延遲一個正弦波只會改變它的相位，不會改變頻率。この導出が成り立つのは、システムの時不変性のおかげである。どの項 $h[m]$ も入力に同じ遅延 $m$ を与え、正弦波を遅らせても位相が変わるだけで、周波数は変わらない。

Slide 3 — the magnitude response and the phase response投影片 3：大小響應與相位響應スライド 3：振幅応答と位相応答

Real sinusoids: if $h[n]$ is real then $H(e^{-j\omega}) = H^*(e^{j\omega})$ (the conjugate symmetry met earlier). Substituting the two terms of $\cos\omega_0 n = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 n} + e^{-j\omega_0 n})$ separately gives實數正弦波：若 $h[n]$ 是實數，$H(e^{-j\omega}) = H^*(e^{j\omega})$（前面講過的共軛對稱）。把 $\cos\omega_0 n = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 n} + e^{-j\omega_0 n})$ 兩項分別代入，得到実正弦波：$h[n]$ が実数であれば $H(e^{-j\omega}) = H^*(e^{j\omega})$ である（さきに述べた共役対称性）。$\cos\omega_0 n = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 n} + e^{-j\omega_0 n})$ の二項をそれぞれ代入すると、次が得られる。

Again the same frequency, scaled and shifted.一樣是同頻率、被縮放與平移。やはり同じ周波数であり、拡大縮小とずれを受けるだけである。

A simple example — the two-point average簡單例子：兩點平均簡単な例：2 点平均

$h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$, that is, $y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[n-1])$:$h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$，即 $y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[n-1])$：$h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$、すなわち $y[n] = \frac{1}{2}(x[n] + x[n-1])$ である。

So $|H| = \cos(\omega/2)$ and $\theta = -\omega/2$ (a delay of half a sample).所以 $|H| = \cos(\omega/2)$、$\theta = -\omega/2$（延遲半個樣本）。したがって $|H| = \cos(\omega/2)$、$\theta = -\omega/2$（半標本ぶんの遅れ）である。

This is a lowpass filter.這是一個低通濾波器。これは低域通過フィルタである。

Only the result is quoted here; it is obtained step by step in Worked Example 10-A, continued — the $M=2$ case, in §10.1.4.此處只引用結論；完整的逐步推導在 §10.1.4 的〈範例 10-A（續）— $M=2$ 的情形〉。ここでは結論だけを引いている。一歩ずつの完全な導出は §10.1.4 の「例題 10-A（続き）— $M=2$ の場合」にある。

How this relates to what came before和前面內容的關係前の内容との関係

The $H_k(e^{j\omega})$ of the STFT filterbank earlier is the frequency response of the $k$-th channel filter: the window spectrum shifted to $\omega_k$. When some sinusoid passes through it, the gain is the value of $|H_k|$ at that frequency, so sinusoids whose frequency is near $\omega_k$ get through and those far from it are attenuated (leaving only the leakage of the sidelobes).前面 STFT 濾波器組中的 $H_k(e^{j\omega})$，就是第 $k$ 列濾波器的頻率響應：窗頻譜平移到 $\omega_k$。某個正弦波通過它時，增益就是 $|H_k|$ 在該頻率的值，所以頻率在 $\omega_k$ 附近的正弦波通過、遠離的被衰減（只剩旁瓣的洩漏量）。さきの STFT フィルタバンクにおける $H_k(e^{j\omega})$ とは、第 $k$ 列のフィルタの周波数応答である。窓のスペクトルを $\omega_k$ へ平行移動したものである。ある正弦波がそこを通るとき、利得はその周波数における $|H_k|$ の値であり、だから周波数が $\omega_k$ の近くにある正弦波は通り抜け、遠いものは減衰させられる（残るのはサイドローブの漏れだけである）。

That filterbank is §9.5 of Chapter 9.該濾波器組見第 9 章 §9.5。そのフィルタバンクは第 9 章 §9.5 にある。

The interactive figure互動圖インタラクティブな図

Pick a filter, drag the input frequency $\omega_0$, and watch how the output is scaled and shifted.選一個濾波器、拖動輸入頻率 $\omega_0$，看輸出如何被縮放與平移。フィルタを一つ選び、入力周波数 $\omega_0$ をドラッグして、出力がどのように拡大縮小され、ずらされるかを見てほしい。

The blue dots in the figure are the output worked out by convolution directly, and the orange dashed line is what the frequency response predicts, $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$. Whichever system and whichever frequency are chosen, the blue dots land on the orange dashed line. That is what "a sinusoid is an eigenfunction" means: the frequency of the output is the same as that of the input, and only the amplitude and the phase change.圖中的藍點是直接用摺積算出的輸出，橘虛線是用頻率響應預測的結果 $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$。不論選哪個系統、哪個頻率，藍點都落在橘虛線上，這就是「正弦波是特徵函數」的意思：輸出的頻率與輸入相同，只有振幅和相位改變。図の青い点は畳み込みで直接求めた出力であり、オレンジの破線は周波数応答による予測 $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$ である。どのシステムを選んでも、どの周波数を選んでも、青い点はオレンジの破線の上に落ちる。これが「正弦波は固有関数である」ということの意味である。出力の周波数は入力と同じであり、変わるのは振幅と位相だけである。

Things to try:可以試試：試してみるとよい。

• The two-point or the five-point average (lowpass): the higher $\omega_0$ is, the smaller the output. The five-point average has an output of 0 at $\omega_0 = 0.4\pi$ and $0.8\pi$, matching the nulls of the magnitude response.兩點平均或五點平均（低通）：$\omega_0$ 越高，輸出越小。五點平均在 $\omega_0 = 0.4\pi$、$0.8\pi$ 時輸出為 0，對應大小響應的零點。2 点平均または 5 点平均（低域通過）：$\omega_0$ が高いほど出力は小さくなる。5 点平均は $\omega_0 = 0.4\pi$、$0.8\pi$ で出力が 0 になり、振幅応答の零点に対応する。
• The first difference (highpass): exactly the other way round — DC ($\omega_0 = 0$) vanishes completely, and high frequencies are amplified by up to a factor of 2.一階差分（高通）：剛好相反，直流（$\omega_0 = 0$）完全消失，高頻被放大到最多 2 倍。一階差分（高域通過）：ちょうど逆であり、直流（$\omega_0 = 0$）は完全に消え、高い周波数は最大 2 倍まで増幅される。
• The Hann bandpass: this is one channel of the STFT filterbank (centred on $0.5\pi$). The output is largest when $\omega_0$ is close to $0.5\pi$ and almost 0 far away from it, where only the small leakage caused by the sidelobes is left.Hann 帶通：這就是 STFT 濾波器組中的一列（中心在 $0.5\pi$）。$\omega_0$ 接近 $0.5\pi$ 時輸出最大，遠離時幾乎為 0，只剩旁瓣造成的微小洩漏。Hann 帯域通過：これは STFT フィルタバンクの一列である（中心は $0.5\pi$）。$\omega_0$ が $0.5\pi$ に近いとき出力は最大になり、遠ざかるとほとんど 0 になって、サイドローブによるわずかな漏れだけが残る。
• The phase: the phase of the averaging filters is a straight line (linear phase), and the "delay" in the readout is the same at every frequency (0.5 for the two-point average, 2 samples for the five-point one), so every frequency component is delayed together and the waveform is not distorted.相位：平均類濾波器的相位是一條直線（線性相位），讀數中的「延遲」在所有頻率都相同（兩點平均為 0.5、五點平均為 2 個樣本），所以各頻率成分一起延遲，波形不會變形。位相：平均系のフィルタの位相は一本の直線であり（線形位相）、読み出しの「遅れ」はどの周波数でも同じである（2 点平均は 0.5、5 点平均は 2 標本）。したがって各周波数成分はそろって遅れ、波形は歪まない。

10.1.2 Real Sinusoids10.1.2 實數弦波10.1.2 実正弦波

In practice signals are real. Decompose a real cosine into two complex sinusoids and apply the eigenfunction property to each:實務上的訊號是實數。把一個實餘弦拆成兩個複數弦波，再對各自套用特徵函數性質：実際の信号は実数である。実余弦を二つの複素正弦波に分解し、それぞれに固有関数の性質を適用する。

For a real impulse response $h[n]$ the frequency response is conjugate-symmetric, $H(e^{-j\omega}) = H^{*}(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{-j\theta(\omega)}$, so the two terms recombine into a real cosine:若脈衝響應 $h[n]$ 是實數，頻率響應就具有共軛對稱性 $H(e^{-j\omega}) = H^{*}(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{-j\theta(\omega)}$，於是兩項會重新合成一個實餘弦：インパルス応答 $h[n]$ が実数であれば、周波数応答は共役対称 $H(e^{-j\omega}) = H^{*}(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})|e^{-j\theta(\omega)}$ となり、二つの項は再び実余弦にまとまる。

10.1.3 Transient and Steady State10.1.3 暫態與穩態10.1.3 過渡状態と定常状態

Most signals start at a finite time（訊號從有限時間開始）, e.g. a gated complex sinusoid $x[n] = e^{j\omega_0 n}\,u[n]$. What does gating do? Split the convolution sum:大多數訊號都從某個有限時刻才開始（訊號從有限時間開始），例如被閘控的複數弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}\,u[n]$。閘控會造成什麼？把摺積和拆開來看：ほとんどの信号は有限の時刻から始まる（信号は有限時間から始まる）。たとえばゲートされた複素正弦波 $x[n] = e^{j\omega_0 n}\,u[n]$ である。ゲートは何をもたらすのか。畳み込み和を分けてみよう。

• The steady-state term is identical to the response to a pure (eternal) sinusoid.穩態項與純粹（永恆）弦波的響應完全相同。定常状態の項は、純粋な（永遠に続く）正弦波に対する応答とまったく同じである。
• The transient term is the DTFT of the impulse-response tail from time $n$ onwards — a consequence of gating.暫態項是脈衝響應從時刻 $n$ 之後那段尾巴的 DTFT——這正是閘控造成的後果。過渡の項は、時刻 $n$ 以降のインパルス応答の尾部の DTFT であり、ゲートしたことの帰結である。
• For an FIR system of length $N$ the tail is empty for $n \ge N-1$: the transient is exactly zero from sample $N-1$ onwards.對長度為 $N$ 的 FIR 系統，$n \ge N-1$ 之後尾巴是空的：暫態從第 $N-1$ 個樣本起恰好為零。長さ $N$ の FIR システムでは $n \ge N-1$ で尾部が空になる。すなわち過渡は第 $N-1$ 標本以降でちょうどゼロになる。
• For any stable IIR system $h[n] \to 0$, so the transient decays to zero for large $n$.對任何穩定的 IIR 系統 $h[n] \to 0$，所以 $n$ 很大時暫態會衰減到零。安定な IIR システムでは $h[n] \to 0$ なので、$n$ が大きくなると過渡はゼロへ減衰する。

Fig. 10-1 fixes one system at one frequency. The figure below puts the tail itself on screen: choose a system, slide $n$, and watch which part of $h[m]$ the gated input has not reached yet. Whatever is still missing is the transient — and the readout measures, rather than claims, that steady state plus transient rebuilds $y[n]$.圖 10-1 只固定了一個系統、一個頻率。下面這張圖把尾巴本身搬上螢幕：選一個系統、拖動 $n$，看看被閘控的輸入還沒碰到 $h[m]$ 的哪一段。還沒碰到的那一段就是暫態——而下方的讀數是把「穩態加暫態等於 $y[n]$」量出來，不是宣稱出來。図 10-1 は一つのシステムを一つの周波数で固定したものである。下の図は尾部そのものを画面に出す。システムを選んで $n$ を動かし、ゲートされた入力がまだ届いていない $h[m]$ の部分を見ればよい。まだ届いていない部分こそが過渡である。そして下の読み出しは、定常状態と過渡の和が $y[n]$ を復元することを、主張するのではなく測って示す。

Fig. 10-1 and the interactive figure above both watch the decomposition unfold in time. The identity behind it, though, is a statement about vectors: $y[n] = \sum_{m=0}^{n} h[m]\,e^{j\omega_0(n-m)}$ is a sum of rotating phasors, the steady state is the complete sum $H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}$, and the transient is precisely the part of that vector sum the gated input has not yet supplied. The figure below draws the sum itself. Panel ① lays the terms $q_m = h[m]e^{-j\omega_0 m}$ tip to tail: the travelling end is the partial sum $P_n$, the far end is $H(e^{j\omega_0})$, and the arrow still separating them is the whole transient. Panel ② carries that same arrow over to the output. Where the figure above measured how big the tail is, this one shows which way it points — and why an FIR chain shuts exactly at $n = N-1$ while an IIR spiral only ever shrinks towards $H$.圖 10-1 與上面那張互動圖，都是看著這個分解隨時間展開。但它背後的恆等式講的其實是向量：$y[n] = \sum_{m=0}^{n} h[m]\,e^{j\omega_0(n-m)}$ 是一堆旋轉相量的和，穩態就是那個完整的和 $H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}$，而暫態恰好是這個向量和裡、被閘控的輸入還沒補上的那一段。下面這張圖畫的就是這個和本身。面板 ① 把各項 $q_m = h[m]e^{-j\omega_0 m}$ 頭尾相接地排出來：會走動的那一端是部分和 $P_n$，另一端是 $H(e^{j\omega_0})$，而還隔在兩者之間的那支箭頭就是暫態的全部。面板 ② 再把同一支箭頭搬到輸出上。上面那張圖量的是尾巴有多大，這張圖看的是它指向哪裡——也因此說明了，為什麼 FIR 的折線會在 $n = N-1$ 恰好閉合，而 IIR 的螺旋卻只能一路縮向 $H$。図 10-1 と上のインタラクティブな図は、どちらもこの分解が時間とともに展開する様子を見るものである。しかし、その背後にある恒等式が語っているのはベクトルである。$y[n] = \sum_{m=0}^{n} h[m]\,e^{j\omega_0(n-m)}$ は回転するフェーザの和であり、定常状態はその完全な和 $H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}$ であって、過渡とは、このベクトル和のうちゲートされた入力がまだ供給していない部分にほかならない。下の図はその和そのものを描く。パネル ① は各項 $q_m = h[m]e^{-j\omega_0 m}$ を頭と尾でつないで並べる。動く側の端が部分和 $P_n$ であり、反対の端が $H(e^{j\omega_0})$ であり、両者をなお隔てている矢印が過渡のすべてである。パネル ② は同じ矢印を出力の側へ移す。上の図が尾部の大きさを測ったのに対し、この図は尾部がどちらを向いているかを示す。FIR の折れ線が $n = N-1$ でちょうど閉じ、IIR のらせんは $H$ へ縮み続けるだけである理由も、そこから見えてくる。

10.1.4 Example: Moving-Average Filter10.1.4 範例：移動平均濾波器10.1.4 例：移動平均フィルタ

The warning just above asks which kind of jump you are looking at; the figure below answers that question for this filter, and answers it by measurement. The interactive figure of §10.1.1 already carries a 5-point average among its filters, and the one in §10.1.3 carries an 8-tap FIR, but neither takes $H(e^{j\omega})$ apart: this is the only figure in the chapter that separates it into the signed real amplitude $A(\omega)$, the jump index $r$ and the phase $\theta$, and sets the sign change of $A$ beside the $\pi$ step of $\theta$ at the same $\omega$. Panel ③ draws the folded and the unfolded phase over one another and prints the largest gap it measures between them, so the second kind of jump the warning names — the cosmetic $2\pi$ wrap — is ruled out on screen rather than taken on trust. Park either frequency exactly on a zero and the readout refuses to name a sign or an angle there, and says why. Sliding $M$ down to $2$ arrives at the case worked out by hand below.上面那段警告要你分辨自己看到的是哪一種跳變；下面這張圖就針對這個濾波器把它分辨清楚，而且是用量測的。§10.1.1 的互動圖裡已經有一個 5 點平均，§10.1.3 的也已經有一個 8 抽頭的 FIR，但兩者都沒有把 $H(e^{j\omega})$ 拆開：全章只有這張圖把它拆成帶正負號的實數振幅 $A(\omega)$、跳變指標 $r$ 與相位 $\theta$，並把 $A$ 的變號和 $\theta$ 的 $\pi$ 階梯擺在同一個 $\omega$ 上並排。面板 ③ 把折回前與折回後的相位疊著畫，並把它量到的最大差距印出來，所以警告裡提到的第二種跳變——純屬繪圖造成的 $2\pi$ 捲繞——可以當場被排除，而不是被相信。把任一個頻率剛好停在零點上，讀數會拒絕在那裡指認正負號或角度，並說明理由。把 $M$ 一路拉到 $2$，落到的就是下面手算的那個情形。すぐ上の注意は、いま見ている跳びがどちらの種類かを問うている。下の図は、このフィルタについてその問いに測定で答えるものである。§10.1.1 の図にはすでにフィルタの一つとして 5 点平均があり、§10.1.3 の図には 8 タップの FIR があるが、どちらも $H(e^{j\omega})$ を分解してはいない。本章でこれを符号つきの実振幅 $A(\omega)$、跳びの指標 $r$、位相 $\theta$ に分け、$A$ の符号の反転と $\theta$ の $\pi$ の段差を同じ $\omega$ の上に並べて示すのは、この図だけである。パネル ③ は折り返す前と後の位相を重ねて描き、測定した最大の差を表示するので、注意が述べるもう一方の跳び、すなわち見かけだけの $2\pi$ の巻き戻しは、信じるのではなく画面上で排除できる。どちらかの周波数をちょうど零点の上に置くと、読み出しはそこで符号も角度も名指すことを拒み、その理由を述べる。$M$ を $2$ まで下げると、下で手計算した場合に行き着く。

The simplest moving average of all is the two-point one, $h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$. Putting $M=2$ into Step 2 above gives a result clean enough to be worth deriving a second time from nothing:最簡單的移動平均就是兩點的那一個，$h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$。把 $M=2$ 代進上面的步驟 2，會得到一個乾淨到值得從頭再推一次的結果：もっとも単純な移動平均は 2 点のもの、すなわち $h[n] = [\,0.5,\ 0.5\,]$ である。上のステップ 2 に $M=2$ を入れると、何もないところからもう一度導く価値があるほど簡潔な結果が得られる。

10.2 Transfer Function (TF)10.2 轉移函數（TF）10.2 伝達関数（TF）

10.2.1 From Difference Equation to H(z)10.2.1 從差分方程式到 H(z)10.2.1 差分方程式から H(z) へ

Alternatively, take the z-transform of $y[n] = h[n] \circledast x[n]$: convolution becomes multiplication, $Y(z) = H(z)X(z)$. The transfer function（轉移函數） $H(z)$ can be obtained two equivalent ways:另一條路，是對 $y[n] = h[n] \circledast x[n]$ 取 z 轉換：摺積變成相乘，$Y(z) = H(z)X(z)$。轉移函數 $H(z)$ 可以用兩種等價的方式得到：別の道として、$y[n] = h[n] \circledast x[n]$ の z 変換をとる。畳み込みは積になり、$Y(z) = H(z)X(z)$ である。伝達関数 $H(z)$ は等価な二つの方法で得られる。

For an FIR filter with $h[n] = \{h_0, h_1, \dots, h_{M-1}\}$ the two views coincide trivially: $p_k = h_k$, $d_0 = 1$, and the difference equation is $y[n] = \sum_{k=0}^{M-1} h_k\,x[n-k]$.對於 $h[n] = \{h_0, h_1, \dots, h_{M-1}\}$ 的 FIR 濾波器，兩種觀點會平凡地重合：$p_k = h_k$、$d_0 = 1$，差分方程式就是 $y[n] = \sum_{k=0}^{M-1} h_k\,x[n-k]$。$h[n] = \{h_0, h_1, \dots, h_{M-1}\}$ の FIR フィルタでは、二つの見方は自明に一致する。$p_k = h_k$、$d_0 = 1$ であり、差分方程式は $y[n] = \sum_{k=0}^{M-1} h_k\,x[n-k]$ となる。

Linking the LCCDE, the ZT and the FR連起差分方程、Z 轉換與頻率響應差分方程式・z 変換・周波数応答をつなぐ

This slide ties three things together: the difference equation (LCCDE), the z-transform (ZT) and the frequency response. The bridge in the middle is the transfer function $H(z)$.這張投影片把三樣東西連起來：差分方程（LCCDE）、Z 轉換（ZT）、頻率響應。中間的橋樑就是轉移函數 $H(z)$。このスライドは三つのものをつなぐ。差分方程式（LCCDE）、z 変換（ZT）、周波数応答である。その間の橋渡しをするのが伝達関数 $H(z)$ である。

① LCCDE: the time-domain description. A linear constant-coefficient difference equation（線性常係數差分方程）:① LCCDE：系統的時域描述。線性常係數差分方程（Linear Constant-Coefficient Difference Equation）：① LCCDE：システムの時間領域での記述。線形定係数差分方程式（Linear Constant-Coefficient Difference Equation）：

The left side is a weighted sum of the output and its past values, the right side a weighted sum of the input and its past values. Most practical digital filters can be written in this form.左邊是輸出及其過去值的加權和，右邊是輸入及其過去值的加權和。大多數實際的數位濾波器都能寫成這個形式。左辺は出力とその過去の値の重み付き和、右辺は入力とその過去の値の重み付き和である。実用的なディジタルフィルタのほとんどは、この形に書ける。

When only $d_0$ is nonzero (no output feedback) the system is FIR; when some $d_k \ne 0$ with $k \ge 1$ it is IIR.只有 $d_0$ 非零時（輸出不回授），就是 FIR；有 $d_k \ne 0$（$k \ge 1$）時，就是 IIR。$d_0$ だけが非零（出力の帰還がない）なら FIR であり、$k \ge 1$ で $d_k \ne 0$ となるものがあれば IIR である。

② Take the z-transform. The definition is② 取 Z 轉換。Z 轉換的定義：② z 変換をとる。z 変換の定義は次のとおり。

and the key property is a delay of $k$ samples ↔ multiplication by $z^{-k}$:關鍵性質是延遲 $k$ 點 ↔ 乘上 $z^{-k}$：鍵となる性質は$k$ サンプルの遅延 ↔ $z^{-k}$ を掛けることである。

So every $y[n-k]$ in the difference equation becomes $z^{-k}Y(z)$ and every $x[n-k]$ becomes $z^{-k}X(z)$:所以差分方程中每個 $y[n-k]$ 變成 $z^{-k}Y(z)$、每個 $x[n-k]$ 變成 $z^{-k}X(z)$：したがって差分方程式の各 $y[n-k]$ は $z^{-k}Y(z)$ に、各 $x[n-k]$ は $z^{-k}X(z)$ になる。

The time-domain difference equation has become an algebraic equation in $z$.時域的差分方程，變成 $z$ 域的代數方程。時間領域の差分方程式が、$z$ 領域の代数方程式になった。

③ Solve for $Y(z)$. $Y(z)$ and $X(z)$ do not depend on $k$, so they come out of the sums:③ 解出 $Y(z)$。$Y(z)$ 和 $X(z)$ 與 $k$ 無關，可以提出求和：③ $Y(z)$ について解く。$Y(z)$ と $X(z)$ は $k$ に依存しないので、和の外へ出せる。

10.2.2 Poles, Zeros, ROC, and Stability10.2.2 極點、零點、收斂區域與穩定性10.2.2 極・零点・収束領域・安定性

Example 10-C in detail — difference equation → poles and zeros → ROC範例 10-C 詳解 — 差分方程 → 極零點 → ROC例題 10-C の詳細 — 差分方程式 → 極・零点 → ROC

These two slides are one complete IIR example: write $H(z)$ from the difference equation → factorize to find the poles and zeros → read the ROC and stability off the poles.這兩張投影片是一個完整的 IIR 例子：從差分方程寫出 $H(z)$ → 因式分解找出極零點 → 由極點判斷 ROC 與穩定性。この 2 枚のスライドは一つの完結した IIR の例である。差分方程式から $H(z)$ を書く → 因数分解して極と零点を求める → 極から ROC と安定性を判定する。

Slide 1, step 1 — move every $y$ to the left to get the standard LCCDE form. The $y$ coefficients change sign as they cross over:投影片 1，第 1 步 — 把所有 $y$ 移到左邊，整理成 LCCDE 的標準形式。移項時 $y$ 的係數變號：スライド 1、ステップ 1 — すべての $y$ を左辺へ移し、LCCDE の標準形に整える。移項すると $y$ の係数は符号が変わる。

Step 2 — apply $H(z) = \sum p_k z^{-k} \big/ \sum d_k z^{-k}$:第 2 步 — 套用 $H(z) = \sum p_k z^{-k} \big/ \sum d_k z^{-k}$：ステップ 2 — $H(z) = \sum p_k z^{-k} \big/ \sum d_k z^{-k}$ を当てはめる。

Why do the complex roots come in conjugate pairs? All the coefficients are real, so every complex root of the polynomial appears together with its conjugate. Multiplying out a conjugate pair gives a quadratic with real coefficients:為什麼複數根成對出現（共軛）？係數都是實數，多項式的複數根一定以共軛對出現。把一對共軛根乘開，得到實係數的二次式：なぜ複素根は共役の対で現れるのか。係数がすべて実数なので、多項式の複素根は必ず共役と対になって現れる。共役の対を掛け合わせると、実係数の 2 次式になる。

Check the numerator: $\text{Re}(\zeta_0) = 0.6$, $|\zeta_0|^2 = 0.36 + 0.64 = 1$:驗證分子：$\text{Re}(\zeta_0) = 0.6$，$|\zeta_0|^2 = 0.36 + 0.64 = 1$：分子の検算：$\text{Re}(\zeta_0) = 0.6$、$|\zeta_0|^2 = 0.36 + 0.64 = 1$。

Check the denominator: $\text{Re}(\lambda_1) = 0.5$, $|\lambda_1|^2 = 0.25 + 0.49 = 0.74$:驗證分母：$\text{Re}(\lambda_1) = 0.5$，$|\lambda_1|^2 = 0.25 + 0.49 = 0.74$：分母の検算：$\text{Re}(\lambda_1) = 0.5$、$|\lambda_1|^2 = 0.25 + 0.49 = 0.74$。

Slide 2 — the pole-zero plot and the ROC.投影片 2 — 極零點圖與 ROC。スライド 2 — 極零配置図と ROC。

About the $z^{-1}$ in the numerator. Multiply numerator and denominator by $z^3$ to rewrite in positive powers of $z$:關於分子的 $z^{-1}$：分子分母同乘 $z^3$，改寫成 $z$ 的正次方：分子の $z^{-1}$ について。分子と分母に $z^3$ を掛け、$z$ の正のべきで書き直す。

The numerator has degree 2 and the denominator degree 3, so there is no pole at the origin; the extra degree is a zero at $z = \infty$. The $z^{-1}$ is an overall one-sample delay: the right-hand side of the difference equation starts at $x[n-1]$, so $h[0] = 0$.分子 2 次、分母 3 次，所以原點沒有極點；多出的一個次數代表一個在 $z = \infty$ 的零點。$z^{-1}$ 的意義是整體延遲 1 個樣本（差分方程右邊從 $x[n-1]$ 開始，所以 $h[0] = 0$）。分子は 2 次、分母は 3 次なので、原点に極はない。余った 1 次は $z = \infty$ にある零点を表す。$z^{-1}$ は全体を 1 標本遅らせることを意味する（差分方程式の右辺は $x[n-1]$ から始まるので $h[0] = 0$）。

ROC. The system is causal, so the ROC lies outside the outermost pole:ROC：系統是因果的，ROC 在最外側極點之外：ROC。システムは因果的なので、ROC は最も外側の極の外側にある。

The orange region on the slide is this ROC: everything outside the circle of radius 0.86. The unit circle $|z| = 1$ lies inside it, so the system is stable. Equivalently, all the poles are inside the unit circle.投影片中的橘色區域就是 ROC：半徑 0.86 的圓外全部。單位圓 $|z| = 1$ 在其中，所以系統穩定。等價地說，所有極點都在單位圓內。スライドの橙色の領域がこの ROC、すなわち半径 0.86 の円の外側全体である。単位円 $|z| = 1$ はその中にあるので、システムは安定である。言い換えれば、すべての極が単位円の内側にある。

Predicting the frequency response from the poles and zeros.從極零點預測頻率響應。極と零点から周波数応答を予測する。

• Zero on the unit circle (angle $0.295\pi$): the frequency response is exactly 0 at $\omega \approx 0.295\pi$.零點在單位圓上（角度 $0.295\pi$）：頻率響應在 $\omega \approx 0.295\pi$ 精確為 0。零点が単位円上にある（角度 $0.295\pi$）：周波数応答は $\omega \approx 0.295\pi$ でちょうど 0 になる。
• Pole $\lambda_1$ close to the unit circle (magnitude 0.86, angle $0.303\pi$): the frequency response peaks near $\omega \approx 0.3\pi$.極點 $\lambda_1$ 很靠近單位圓（大小 0.86，角度 $0.303\pi$）：頻率響應在 $\omega \approx 0.3\pi$ 附近有尖峰。極 $\lambda_1$ が単位円に近い（大きさ 0.86、角度 $0.303\pi$）：周波数応答は $\omega \approx 0.3\pi$ 付近で鋭いピークをもつ。
• The zero and the pole sit at almost the same angle (about $0.008\pi$ apart), so within a very narrow band the response climbs from nearly 0 to its peak: a very steep transition.零點與極點的角度幾乎相同（只差約 $0.008\pi$），所以會在極窄的頻率範圍內，從接近 0 突然升到尖峰：一個非常陡的過渡。零点と極の角度はほぼ同じ（差は約 $0.008\pi$）なので、ごく狭い周波数範囲で 0 近くからピークまで一気に上がる。非常に急峻な遷移である。
• DC, $z = 1$: $H(1) = \dfrac{1 - 1.2 + 1}{1 - 1.3 + 1.04 - 0.222} = \dfrac{0.8}{0.518} \approx 1.54$.直流 $z = 1$：$H(1) = \dfrac{1 - 1.2 + 1}{1 - 1.3 + 1.04 - 0.222} = \dfrac{0.8}{0.518} \approx 1.54$。直流 $z = 1$：$H(1) = \dfrac{1 - 1.2 + 1}{1 - 1.3 + 1.04 - 0.222} = \dfrac{0.8}{0.518} \approx 1.54$。
• $\omega = \pi$, $z = -1$: $|H(-1)| = \dfrac{|-1 - 1.2 - 1|}{1 + 1.3 + 1.04 + 0.222} = \dfrac{3.2}{3.562} \approx 0.90$.$\omega = \pi$，$z = -1$：$|H(-1)| = \dfrac{|-1 - 1.2 - 1|}{1 + 1.3 + 1.04 + 0.222} = \dfrac{3.2}{3.562} \approx 0.90$。$\omega = \pi$、$z = -1$：$|H(-1)| = \dfrac{|-1 - 1.2 - 1|}{1 + 1.3 + 1.04 + 0.222} = \dfrac{3.2}{3.562} \approx 0.90$。

The interactive figure. Drag $\omega$ and the purple point moves around the unit circle; the middle panels show the frequency response and the bottom panel the impulse response computed recursively from the difference equation.互動圖。拖動 $\omega$，紫點沿單位圓移動；中間是頻率響應，下方是由差分方程遞迴算出的脈衝響應。インタラクティブな図。$\omega$ をドラッグすると紫の点が単位円上を動く。中央は周波数応答、下は差分方程式から再帰的に求めたインパルス応答である。

• ① z-plane — the same picture as slide 2. The orange region is the ROC; the white disc of radius 0.86 is not in it. The whole unit circle lies in the orange region, so the system is stable. The blue and dashed orange lines are the distances from $z = e^{j\omega}$ to the zeros and poles; in the readout, their product of zero distances divided by product of pole distances is $|H|$.① z 平面 — 和投影片 2 的圖相同。橘色區域是 ROC，中間白色圓盤（半徑 0.86）不在 ROC 內；單位圓整圈都在橘色區域裡，所以系統穩定。藍線與橘色虛線是 $z = e^{j\omega}$ 到零點和極點的距離，讀數中的「距離相除」就是 $|H|$。① z 平面 — スライド 2 と同じ図。橙色の領域が ROC で、中央の白い円板（半径 0.86）は ROC に含まれない。単位円は全周が橙色の領域にあるので、システムは安定である。青線と橙色の破線は $z = e^{j\omega}$ から零点・極までの距離で、読み出しの「距離の比」が $|H|$ である。
• ② frequency response — press “jump to zero”: the point lands exactly on $\zeta_0$, its distance is 0, $|H| = 0$ and the dB curve drops to the floor. Press “jump to pole angle”: the point is closest to $\lambda_1$ (distance about 0.14) and $|H|$ is at its highest. The two dashed lines (blue = zero angle, red = pole angle) nearly overlap, so the trough and the peak are only a sliver apart, and the phase jumps by $\pi$ at the zero. The left end $\omega = 0$ is about 1.54 (3.8 dB) and the right end $\omega = \pi$ about 0.90, matching the hand calculation.② 頻率響應 — 按「跳到零點」：紫點正好壓在 $\zeta_0$ 上，距離為 0，$|H| = 0$，dB 圖掉到底部。按「跳到極點角度」：紫點最靠近 $\lambda_1$（距離約 0.14），$|H|$ 是整條曲線的最高峰。兩條虛線（藍 = 零點角度，紅 = 極點角度）幾乎重疊，所以頻率響應從谷底到峰頂只隔了極窄的一段，相位在零點處也跳了 $\pi$。左端 $\omega = 0$ 約 1.54（3.8 dB），右端 $\omega = \pi$ 約 0.90，和上面手算的值一致。② 周波数応答 — 「零点へ」を押すと点はちょうど $\zeta_0$ に重なり、距離は 0、$|H| = 0$ で dB の曲線は底まで落ちる。「極の角度へ」を押すと点は $\lambda_1$ に最も近づき（距離約 0.14）、$|H|$ は曲線全体の最大になる。2 本の破線（青 = 零点の角度、赤 = 極の角度）はほぼ重なっており、谷から山まではごくわずかしか離れていない。位相も零点で $\pi$ だけ跳ぶ。左端 $\omega = 0$ は約 1.54（3.8 dB）、右端 $\omega = \pi$ は約 0.90 で、上の手計算と一致する。
• ③ impulse response — by direct recursion: $h[0] = 0$ (the one-sample delay of the numerator's $z^{-1}$), $h[1] = 1$, $h[2] = -1.2 + 1.3 = 0.1$, … after which it oscillates at about $0.3\pi$ (the angle of $\lambda_1$) with an amplitude decaying like $|\lambda_1|^n = 0.86^n$ (grey envelope). The angle of a pole sets the oscillation frequency; its magnitude sets the decay rate. All poles are inside the unit circle, so $h[n]$ decays to 0, consistent with “ROC contains the unit circle → stable”.③ 脈衝響應 — 由差分方程直接遞迴：$h[0] = 0$（分子的 $z^{-1}$，延遲 1 點），$h[1] = 1$，$h[2] = -1.2 + 1.3 = 0.1$，……之後以約 $0.3\pi$ 的頻率振盪（極點 $\lambda_1$ 的角度），振幅依 $|\lambda_1|^n = 0.86^n$ 衰減（灰色包絡）。這說明極點的角度決定振盪頻率，極點的大小決定衰減速度；所有極點都在單位圓內，所以 $h[n]$ 最終衰減到 0，與「ROC 包含單位圓 → 穩定」一致。③ インパルス応答 — 差分方程式を直接再帰計算する。$h[0] = 0$（分子の $z^{-1}$ による 1 標本の遅れ）、$h[1] = 1$、$h[2] = -1.2 + 1.3 = 0.1$、…… その後は約 $0.3\pi$（極 $\lambda_1$ の角度）で振動し、振幅は $|\lambda_1|^n = 0.86^n$ に従って減衰する（灰色の包絡線）。極の角度が振動の周波数を、極の大きさが減衰の速さを決める。すべての極が単位円の内側にあるので $h[n]$ は最終的に 0 へ減衰し、「ROC が単位円を含む → 安定」と一致する。

A point in the ROC does not make the system stable「某個 $z$ 在 ROC 內」不代表系統穩定ある $z$ が ROC 内にあっても、システムが安定とは限らない

The two statements live at different levels:兩者講的是不同層次的事：両者は別の層の話である。

There is only one link between them:兩者的連結只有一條：両者を結ぶのはただ一つである。

Other points of the ROC say nothing about stability.只看 ROC 裡的其他點，無法判斷穩定性。ROC の他の点を見ても、安定性は判断できない。

10.2.3 From H(z) to Frequency Response10.2.3 從 H(z) 到頻率響應10.2.3 H(z) から周波数応答へ

The DTFT is the z-transform evaluated on the unit circle（單位圓）:DTFT 就是把 z 轉換在單位圓上求值：DTFT とは、z 変換を単位円上で評価したものである。

(This requires the ROC of $H(z)$ to contain the unit circle, i.e. the system to be stable.) Two checks with the systems of 10.2.1:（前提是 $H(z)$ 的收斂區包含單位圓，也就是系統穩定。）用 10.2.1 的兩個系統驗證：（ただし $H(z)$ の収束領域が単位円を含むこと、すなわちシステムが安定であることが前提である。）10.2.1 の二つのシステムで確かめる。

Why the unit circle?為什麼頻率響應要看單位圓上的值なぜ単位円上の値を見るのか

1. The definition feeds in a sinusoid. Complex exponentials are eigenfunctions of an LTI system (10.1.1): the input $e^{j\omega n}$ comes out as the same exponential times a complex number,1. 頻率響應的定義：輸入正弦波。複指數是 LTI 系統的特徵函數（10.1.1）：輸入 $e^{j\omega n}$，輸出還是同一個頻率的複指數，只是乘上一個複數：1. 周波数応答の定義は正弦波を入れること。複素指数は LTI システムの固有関数である（10.1.1）。入力 $e^{j\omega n}$ は、同じ指数に複素数が掛かっただけのものとして出てくる。

Its magnitude is the gain and its angle the phase shift. Compared with $H(z) = \sum_k h[k]z^{-k}$, this is $H(z)$ at $z = e^{j\omega}$ — and $|e^{j\omega}| = 1$ puts that point on the unit circle.這個複數 $H(e^{j\omega})$ 的大小是增益、角度是相移。和 $H(z) = \sum_k h[k]z^{-k}$ 比較，它就是把 $z = e^{j\omega}$ 代進去，而 $|e^{j\omega}| = 1$，正好落在單位圓上。その大きさが利得、角度が位相のずれである。$H(z) = \sum_k h[k]z^{-k}$ と比べると、これは $z = e^{j\omega}$ での $H(z)$ であり、$|e^{j\omega}| = 1$ だからその点は単位円上にある。

2. Off the circle, $z$ is not a pure frequency. Write a general $z = re^{j\omega}$; then $z^n = r^n e^{j\omega n}$:2. 單位圓以外的 $z$ 不是「純頻率」。一般的 $z$ 寫成 $z = re^{j\omega}$，那麼 $z^n = r^n e^{j\omega n}$：2. 単位円の外の $z$ は「純粋な周波数」ではない。一般の $z$ を $z = re^{j\omega}$ と書くと $z^n = r^n e^{j\omega n}$ となる。

Only on the circle is the signal a steady, lasting sinusoid, so “how much is frequency $\omega$ amplified?” can only be read there. Put another way, the $z$-transform is a DTFT taken after weighting by $r^{-n}$:只有在單位圓上，訊號才是「穩定、持續的正弦波」；所以要問「頻率 $\omega$ 的正弦波被放大多少」，就只能看單位圓上的值。換個角度看，Z 轉換其實是「先乘上 $r^{-n}$ 再做 DTFT」：信号が安定して持続する正弦波になるのは単位円上だけなので、「周波数 $\omega$ の正弦波がどれだけ増幅されるか」はそこでしか読めない。言い換えれば、$z$ 変換は $r^{-n}$ で重み付けしてから DTFT をとったものである。

At $r = 1$ the weight disappears and what remains is the spectrum (DTFT) of the original signal.$r = 1$ 時，乘上的權重消失，剩下的就是原始訊號的頻譜（DTFT）。$r = 1$ では重みが消え、残るのは元の信号のスペクトル（DTFT）である。

3. The continuous-time Bode plot does the same thing. It plots $H(s)$ on the imaginary axis $s = j\Omega$, for the same reason: $e^{j\Omega t}$ is a pure sinusoid, while $e^{\sigma t}e^{j\Omega t}$ decays or grows. After sampling, the two planes are linked by $z = e^{sT}$ ($T$ the sampling period):3. 和連續時間 Bode 圖的對應。連續時間的 Bode 圖畫的是 $H(s)$ 在虛軸 $s = j\Omega$ 上的值，理由完全一樣：$e^{j\Omega t}$ 是純正弦波，而 $e^{\sigma t}e^{j\Omega t}$ 會衰減或增長。取樣之後，s 平面和 z 平面的關係是 $z = e^{sT}$（$T$ 是取樣週期）：3. 連続時間のボード線図も同じことをしている。ボード線図は虚軸 $s = j\Omega$ 上の $H(s)$ を描く。理由は同じで、$e^{j\Omega t}$ は純粋な正弦波だが、$e^{\sigma t}e^{j\Omega t}$ は減衰または増大する。サンプリング後、二つの平面は $z = e^{sT}$（$T$ はサンプリング周期）で結ばれる。

So the unit circle plays the role of the imaginary axis, with digital and analog frequency related by $\omega = \Omega T$.所以離散時間系統的單位圓，就扮演連續時間系統虛軸的角色；數位頻率和類比頻率的關係是 $\omega = \Omega T$。つまり離散時間の単位円は連続時間の虚軸の役割を果たし、ディジタル周波数とアナログ周波数は $\omega = \Omega T$ で結ばれる。

4. One lap of the circle sweeps every frequency.4. 沿單位圓走一圈等於掃過所有頻率。4. 単位円を一周するとすべての周波数を掃引する。

• Start at $z = 1$: DC ($\omega = 0$).從 $z = 1$ 出發，是 DC（$\omega = 0$）。$z = 1$ から出発：直流（$\omega = 0$）。
• Along the upper half to $z = -1$: the Nyquist frequency ($\omega = \pi$, i.e. $f_s/2$).沿上半圓走到 $z = -1$，是 Nyquist 頻率（$\omega = \pi$，對應 $f_s/2$）。上半分を通って $z = -1$ へ：ナイキスト周波数（$\omega = \pi$、すなわち $f_s/2$）。
• The lower half is the negative frequencies, or equivalently $\pi$ to $2\pi$; for real coefficients its magnitude mirrors the upper half.下半圓對應負頻率，或等價地 $\pi$ 到 $2\pi$；對實數係數的系統，下半圓的大小是上半圓的鏡像。下半分は負の周波数、あるいは同じことだが $\pi$ から $2\pi$ に当たる。実係数のシステムでは、その振幅は上半分の鏡像になる。

$\omega$ and $\omega + 2\pi$ are the same point, so the response is periodic and $0$ to $\pi$ (or $-\pi$ to $\pi$) is enough. That is why digital responses are drawn on a linear axis up to $\pi$, not on the logarithmic axis running to infinity of a continuous-time Bode plot.$\omega$ 和 $\omega + 2\pi$ 是同一個點，所以頻率響應是週期性的，只要看 $0$ 到 $\pi$（或 $-\pi$ 到 $\pi$）就夠了。這也是為什麼數位濾波器的頻率響應通常用線性頻率軸畫到 $\pi$，而不像連續時間 Bode 圖那樣用對數頻率軸一路延伸到無限大。$\omega$ と $\omega + 2\pi$ は同じ点なので応答は周期的であり、$0$ から $\pi$（または $-\pi$ から $\pi$）を見れば足りる。ディジタルフィルタの応答を、連続時間のボード線図のように無限大まで延びる対数軸ではなく、$\pi$ までの線形軸で描くのはこのためである。

5. Precondition: the unit circle must lie in the ROC. Only then does $H(e^{j\omega})$ exist — the system is stable and the DTFT converges (see the ROC view of the 3-D surface in 10.2.4). Reading the response along the unit circle therefore already assumes a stable system.5. 前提：單位圓必須在 ROC 內。只有當單位圓落在收斂區域（ROC）內，$H(e^{j\omega})$ 才存在，也就是系統穩定、DTFT 收斂（見 10.2.4 3D 曲面的 ROC 檢視）。所以「沿著單位圓看頻率變化」這件事，本身就隱含了系統是穩定的。5. 前提：単位円が ROC に含まれること。そのときに限り $H(e^{j\omega})$ が存在する。すなわちシステムが安定で DTFT が収束する（10.2.4 の 3 次元曲面の ROC 表示を参照）。したがって単位円に沿って応答を読むこと自体が、システムの安定を前提としている。

Factor $H(z)$ into first-order terms and evaluate at $z = e^{j\omega}$:把 $H(z)$ 因式分解成一階項，再代入 $z = e^{j\omega}$：$H(z)$ を 1 次の項に因数分解し、$z = e^{j\omega}$ を代入する。

Taking magnitude and argument term by term:逐項取振幅與輻角：項ごとに振幅と偏角をとる。

10.2.4 Geometric Interpretation of the FR10.2.4 頻率響應的幾何解釋10.2.4 周波数応答の幾何学的な解釈

Each factor $(e^{j\omega} - \nu)$ is a vector drawn from the root $\nu$ (pole or zero) to the point $e^{j\omega}$ moving along the unit circle. The whole frequency response is a product/ratio of these vectors:每一個因式 $(e^{j\omega} - \nu)$，都是一個從根 $\nu$（極點或零點）指向沿單位圓移動的點 $e^{j\omega}$ 的向量。整個頻率響應，就是這些向量的乘積與比值：各因子 $(e^{j\omega} - \nu)$ は、根 $\nu$（極または零点）から、単位円上を動く点 $e^{j\omega}$ へ引いたベクトルである。周波数応答全体は、これらのベクトルの積と比にほかならない。

A worked case — the peaking filter of the lecture. A conjugate pole pair at radius 0.9 and a conjugate zero pair at radius 0.8, all at angles $\pm 0.3\pi$, so each zero sits just inside its pole on the same ray:實例：講義中的峰值濾波器。一對共軛極點在半徑 0.9、一對共軛零點在半徑 0.8，角度都是 $\pm 0.3\pi$，所以每個零點都落在同一條射線上、緊貼在對應極點的內側：実例：講義のピーキングフィルタ。共役な極の対が半径 0.9、共役な零点の対が半径 0.8 にあり、角度はどれも $\pm 0.3\pi$ である。したがって各零点は同じ半直線上で、対応する極のすぐ内側にある。

Why detour through the $z$ domain? $H(z)$ is a ratio of two polynomials, so it factors into zeros $\zeta_k$ (numerator is 0, $|H|$ drops to 0) and poles $\lambda_k$ (denominator is 0, $|H| \to \infty$). The frequency response is just the $|H(z)|$ seen while walking once round the unit circle: it shrinks near a zero and swells near a pole. So the pole and zero positions alone sketch the frequency response. The poles must lie inside the unit circle for stability — and the closer a pole is to the circle, the longer the transient lasts (10.1.3).為什麼要繞道 $z$ 域？$H(z)$ 是兩個多項式的比值，可以因式分解成零點 $\zeta_k$（分子為 0，$|H|$ 掉到 0）與極點 $\lambda_k$（分母為 0，$|H|$ 趨向無限大）。頻率響應就是沿著單位圓走一圈時看到的 $|H(z)|$：經過零點附近會變小，經過極點附近會變大。所以只要看零點和極點的位置，就能大致畫出頻率響應。極點必須在單位圓內，系統才穩定；極點越靠近單位圓，暫態越長（10.1.3）。なぜ $z$ 領域を経由するのか。$H(z)$ は二つの多項式の比なので、零点 $\zeta_k$（分子が 0、$|H|$ は 0 に落ちる）と極 $\lambda_k$（分母が 0、$|H| \to \infty$）に因数分解できる。周波数応答とは、単位円を一周しながら見た $|H(z)|$ にすぎない。零点の近くでは小さくなり、極の近くでは大きくなる。だから極と零点の位置だけで、周波数応答のおおよその形が描ける。安定であるためには極は単位円の内側になければならない。極が円に近いほど、過渡は長く続く（10.1.3）。

First-order building block: a single zero一階基本元件：單一零點1 次の構成要素：ひとつの零点

The factor $H(e^{j\omega}) = 1 - re^{j\theta}e^{-j\omega}$ (one zero at $z = re^{j\theta}$) is the elementary building block — every rational response is a product/ratio of such terms. Its log magnitude, phase and group delay all concentrate their activity around $\omega = \theta$:因式 $H(e^{j\omega}) = 1 - re^{j\theta}e^{-j\omega}$（一個位於 $z = re^{j\theta}$ 的零點）是最基本的元件——任何有理響應都是這種項的乘積或比值。它的對數振幅、相位與群延遲，活動全都集中在 $\omega = \theta$ 附近：因子 $H(e^{j\omega}) = 1 - re^{j\theta}e^{-j\omega}$（$z = re^{j\theta}$ に零点がひとつ）は最も基本的な構成要素である。あらゆる有理応答はこうした項の積と比で書ける。その対数振幅・位相・群遅延は、いずれも $\omega = \theta$ の付近に働きが集中する。

10.2.5 Filtering: Shaping the Magnitude Response10.2.5 濾波：塑造振幅響應10.2.5 フィルタリング：振幅応答を形づくる

Filtering means separating information in frequency with a constructed $H(e^{j\omega})$: given $x[n] = A\cos(\omega_1 n) + B\cos(\omega_2 n)$ where only the $\omega_1$ part is wanted, build $|H(e^{j\omega_1})| \approx 1$ and $|H(e^{j\omega_2})| \approx 0$, so that $y[n] \approx A\cos(\omega_1 n + \theta(\omega_1))$.所謂濾波，就是用一個刻意造出來的 $H(e^{j\omega})$ 在頻率上分離資訊：給定 $x[n] = A\cos(\omega_1 n) + B\cos(\omega_2 n)$，而我們只要 $\omega_1$ 那一部分，那就把 $|H(e^{j\omega_1})| \approx 1$、$|H(e^{j\omega_2})| \approx 0$ 做出來，於是 $y[n] \approx A\cos(\omega_1 n + \theta(\omega_1))$。フィルタリングとは、意図的に作った $H(e^{j\omega})$ によって周波数上で情報を分離することである。$x[n] = A\cos(\omega_1 n) + B\cos(\omega_2 n)$ のうち $\omega_1$ の成分だけがほしいなら、$|H(e^{j\omega_1})| \approx 1$ かつ $|H(e^{j\omega_2})| \approx 0$ となるように作ればよい。すると $y[n] \approx A\cos(\omega_1 n + \theta(\omega_1))$ となる。

Step 1 in detail — how $\alpha + \beta e^{-j\omega} + \alpha e^{-j2\omega}$ becomes $e^{-j\omega}(\beta + 2\alpha\cos\omega)$步驟 1 詳解 — $\alpha + \beta e^{-j\omega} + \alpha e^{-j2\omega}$ 如何變成 $e^{-j\omega}(\beta + 2\alpha\cos\omega)$ステップ 1 の詳細 — $\alpha + \beta e^{-j\omega} + \alpha e^{-j2\omega}$ はどうして $e^{-j\omega}(\beta + 2\alpha\cos\omega)$ になるのか

Only two tools are needed here: factoring out $e^{-j\omega}$, and Euler's formula.這一步只用到兩個工具：把 $e^{-j\omega}$ 提出來，以及 Euler 公式。ここで使う道具は二つだけである。$e^{-j\omega}$ をくくり出すことと、オイラーの公式である。

1. Factor out $e^{-j\omega}$. The three exponents are $0$, $-\omega$ and $-2\omega$. Divide every term by $e^{-j\omega}$ and move that factor outside the bracket:1. 提出 $e^{-j\omega}$。原式三項的指數分別是 $0$、$-\omega$、$-2\omega$。把每一項都除以 $e^{-j\omega}$，再把它提到括號外：1. $e^{-j\omega}$ をくくり出す。三つの項の指数はそれぞれ $0$、$-\omega$、$-2\omega$ である。各項を $e^{-j\omega}$ で割り、その因子を括弧の外に出す。

Term by term:逐項檢查：項ごとに確かめると：

Multiplying $e^{-j\omega}$ back into each term inside the bracket returns the original expression — worth checking once by hand.反過來把 $e^{-j\omega}$ 乘回括號內每一項，就會得到原式，可以自己驗證一次。逆に括弧の中の各項へ $e^{-j\omega}$ を掛け戻せばもとの式に戻る。一度は手で確かめておくとよい。

2. Merge with Euler's formula. Put the two $\alpha$ terms inside the bracket together:2. 用 Euler 公式合併。把括號內兩個 $\alpha$ 的項放在一起：2. オイラーの公式でまとめる。括弧の中の二つの $\alpha$ の項を並べる。

By Euler's formula:由 Euler 公式：オイラーの公式より：

Adding the two, the imaginary parts $\pm j\sin\omega$ cancel exactly:兩式相加，虛部 $\pm j\sin\omega$ 正好抵消：二つを足すと、虚部 $\pm j\sin\omega$ がちょうど打ち消し合う。

So the bracket collapses to $\beta + 2\alpha\cos\omega$.所以括號內就變成 $\beta + 2\alpha\cos\omega$。したがって括弧の中は $\beta + 2\alpha\cos\omega$ になる。

Inside the bracket there is nothing but $\alpha$, $\beta$ and $\cos\omega$, all of them real — so the whole bracket is real, and the entire frequency dependence of the phase sits in the single factor $e^{-j\omega}$.括號內只有 $\alpha$、$\beta$ 和 $\cos\omega$，全部都是實數，所以整個括號是實數；相位對頻率的依賴，全部集中在 $e^{-j\omega}$ 這一個因子上。括弧の中にあるのは $\alpha$、$\beta$、$\cos\omega$ だけで、どれも実数である。よって括弧全体が実数であり、位相の周波数依存はすべて $e^{-j\omega}$ という一つの因子に収まっている。

Why factor out $e^{-j\omega}$ and not something else? Because $-\omega$ is exactly the middle of the three exponents $0$, $-\omega$, $-2\omega$ — that is, the centre of symmetry of $h[n]$, at $n = 1$. Pulling the centre out leaves the two outer terms as $e^{+j\omega}$ and $e^{-j\omega}$: same exponent magnitude, opposite sign. Since their coefficients are also equal (both $\alpha$), they pair up into $2\cos\omega$ and the imaginary parts vanish.為什麼要提出 $e^{-j\omega}$，而不是其他東西？因為 $-\omega$ 剛好是三個指數 $0$、$-\omega$、$-2\omega$ 的中間值，也就是 $h[n]$ 的對稱中心 $n = 1$。提出中心之後，左右兩邊的項變成 $e^{+j\omega}$ 和 $e^{-j\omega}$，指數大小相同、符號相反；再加上係數相同（都是 $\alpha$），就能配成 $2\cos\omega$，虛部完全抵消。なぜ $e^{-j\omega}$ をくくり出すのか。$-\omega$ が三つの指数 $0$、$-\omega$、$-2\omega$ のちょうど真ん中、すなわち $h[n]$ の対称中心 $n = 1$ に当たるからである。中心をくくり出すと、両端の項は $e^{+j\omega}$ と $e^{-j\omega}$ になる。指数の大きさが同じで符号が逆であり、係数も等しい（ともに $\alpha$）ので、$2\cos\omega$ にまとまり虚部は消える。

Example 10-D read three ways — impulse response, frequency response, input/output範例 10-D 的三種讀法 — 脈衝響應、頻率響應、輸入輸出例 10-D の三つの読み方 — インパルス応答・周波数応答・入出力

1. Impulse response. Only three samples are nonzero: $h[n] = \{\alpha, \beta, \alpha\} = \{6.76, -12.46, 6.76\}$. (The lecture plot puts them at $n = 1, 2, 3$ only because MATLAB indexes from 1; they are $n = 0, 1, 2$ here.)1. 脈衝響應。只有三個非零樣本：$h[n] = \{\alpha, \beta, \alpha\} = \{6.76, -12.46, 6.76\}$。（講義圖上畫在 $n = 1, 2, 3$，只是因為 MATLAB 從 1 開始編號，對應這裡的 $n = 0, 1, 2$。）1. インパルス応答。非零の標本は三つだけである：$h[n] = \{\alpha, \beta, \alpha\} = \{6.76, -12.46, 6.76\}$。（講義の図で $n = 1, 2, 3$ に描かれているのは MATLAB が 1 から番号を振るためで、ここでの $n = 0, 1, 2$ に当たる。）

• Everything else is 0: an FIR filter of length 3. An impulse in gives three output samples and then nothing — no ringing.其他位置全部是 0：這是長度 3 的 FIR 濾波器。輸入一個脈衝，輸出 3 個樣本後就完全結束，沒有任何振鈴。それ以外はすべて 0：長さ 3 の FIR フィルタである。インパルスを入れると 3 標本出力したあとは完全に終わり、リンギングはない。
• Symmetric: so the phase is linear and the group delay is a constant 1 sample, the centre of symmetry.左右對稱：所以是線性相位，群延遲固定為 1 個樣本（對稱中心）。左右対称：したがって位相は線形で、群遅延は対称の中心である 1 サンプルで一定である。
• Shape “positive, large negative, positive”: like a second difference, which suppresses smooth low frequencies and boosts fast high frequencies. The two extremes follow straight from the coefficient sums — at DC add them; at $\omega = \pi$, $e^{-j\pi n} = (-1)^n$, so alternate the signs:形狀是「正、大負、正」：像一個二階差分，會壓低平滑的低頻、放大快速跳動的高頻。兩個極端頻率可以直接從係數加總算出：DC 是係數直接相加；$\omega = \pi$ 時 $e^{-j\pi n} = (-1)^n$，係數要正負交錯相加：「正・大きな負・正」という形：2 階差分に似ており、なめらかな低域を抑え、速く変わる高域を強める。両端の周波数は係数の和から直接求まる。直流では係数をそのまま足し、$\omega = \pi$ では $e^{-j\pi n} = (-1)^n$ なので符号を交互にして足す。

How 0.4 is cancelled in the time domain. The filter computes在時域中，0.4 是怎麼被消掉的。濾波器的運算是：時間領域で 0.4 が消える仕組み。フィルタの計算は次のとおりである。

and for a sinusoid at 0.4 the identity對頻率 0.4 的正弦波，三角恆等式周波数 0.4 の正弦波では、恒等式

makes the bracket exactly 0: the samples on either side add up to exactly $2\cos(0.4)$ times the middle one, and the three terms cancel. This is what the zeros on the unit circle at $e^{\pm j0.4}$ mean in the time domain.剛好讓括號變成 0：前後兩個樣本相加，恰好等於中間樣本的 $2\cos(0.4)$ 倍，三項完全抵消。這就是零點落在單位圓 $e^{\pm j0.4}$ 上，在時域中的意義。によって括弧の中がちょうど 0 になる。前後二つの標本の和が中央の標本のちょうど $2\cos(0.4)$ 倍になり、三つの項が打ち消し合う。これが、零点が単位円上の $e^{\pm j0.4}$ にあることの時間領域での意味である。

Large, alternating coefficients. The output is a small result of large numbers subtracted ($6.76 + 6.76 - 12.46 \approx 1$). Such heavy cancellation is sensitive to coefficient errors and input noise — the same fact as the high-frequency boost in the frequency domain.係數很大、正負交錯，代表什麼？輸出是「大數減大數」得到的小結果（$6.76 + 6.76 - 12.46 \approx 1$）。這種大量互相抵消的結構，對係數誤差和輸入雜訊都很敏感，和頻域中高頻被放大是同一件事。大きく符号が交互する係数。出力は「大きな数から大きな数を引いた」小さな結果である（$6.76 + 6.76 - 12.46 \approx 1$）。このように大きく打ち消し合う構造は係数誤差にも入力雑音にも敏感であり、周波数領域で高域が強められることと同じ事実である。

2. Frequency response (dB). At $\omega = 0.1$ it is about 0 dB ($|H| \approx 1$), so the tone is kept. At $\omega = 0.4$ the curve drops to $-\infty$ dB — the notch made by the zero on the unit circle. Beyond 0.4 it climbs all the way: about $+18$ dB at 1.2 rad (where the lecture plot stops) and $+28$ dB at $\pi$.2. 頻率響應（dB）。$\omega = 0.1$ 處約 0 dB（$|H| \approx 1$），訊號保留。$\omega = 0.4$ 處曲線掉到 $-\infty$ dB，這就是單位圓上的零點造成的凹口（notch）。0.4 之後一路上升：到 1.2 rad（講義圖的橫軸只畫到這裡）已約 $+18$ dB，到 $\pi$ 時達 $+28$ dB。2. 周波数応答（dB）。$\omega = 0.1$ ではおよそ 0 dB（$|H| \approx 1$）で、信号は残る。$\omega = 0.4$ で曲線は $-\infty$ dB まで落ちる。単位円上の零点によるノッチである。0.4 を過ぎると上がり続け、1.2 rad（講義の図はここまで）で約 $+18$ dB、$\pi$ では $+28$ dB に達する。

3. Input and output. The input is two sinusoids: a slow part with period $2\pi/0.1 \approx 63$ samples carrying a fast ripple with period $2\pi/0.4 \approx 16$ samples. In the output the ripple has vanished, leaving a smooth sinusoid of period about 63, amplitude about 1, delayed by one sample. The odd start at $n \approx 0$–$2$ is the FIR transient: the filter needs 3 samples to fill, and $x[n]$ is taken as 0 for $n < 0$, so the first two outputs are wrong. After that it is in steady state and matches the prediction exactly.3. 輸入輸出。輸入是兩個正弦波相加：慢的部分週期約 $2\pi/0.1 \approx 63$ 個樣本，上面疊加週期約 $2\pi/0.4 \approx 16$ 個樣本的快速抖動。輸出中快速抖動完全消失，只剩週期約 63、振幅約 1 的平滑正弦波，並延遲 1 個樣本。最開頭（$n \approx 0$ 到 2）有一個突兀的起點，這是 FIR 的暫態：濾波器需要 3 個樣本才能「填滿」，$n < 0$ 時輸入被視為 0，所以前兩個輸出不正確。之後就是穩態，和預期完全一致。3. 入力と出力。入力は二つの正弦波の和で、周期約 $2\pi/0.1 \approx 63$ サンプルのゆっくりした成分に、周期約 $2\pi/0.4 \approx 16$ サンプルの速い揺れが乗っている。出力では速い揺れが完全に消え、周期約 63、振幅約 1 のなめらかな正弦波が 1 サンプル遅れて残る。最初（$n \approx 0$～2）の不自然な立ち上がりは FIR の過渡である。フィルタが「満たされる」には 3 標本必要で、$n < 0$ では入力を 0 とみなすので、最初の二つの出力は正しくない。その後は定常状態で、予測と完全に一致する。

10.3 Phase Delay and Group Delay10.3 相位延遲與群延遲10.3 位相遅延と群遅延

10.3.1 Phase Delay10.3.1 相位延遲10.3.1 位相遅延

For a sinusoidal input $x[n] = \cos(\omega_0 n)$ we found $y[n] = |H(e^{j\omega_0})|\cos(\omega_0 n + \theta(\omega_0))$. The phase shift can be re-read as a time shift by factoring $\omega_0$ out:對弦波輸入 $x[n] = \cos(\omega_0 n)$，我們已經得到 $y[n] = |H(e^{j\omega_0})|\cos(\omega_0 n + \theta(\omega_0))$。把 $\omega_0$ 提出來，就能把相位平移改讀成時間平移：正弦波入力 $x[n] = \cos(\omega_0 n)$ に対しては $y[n] = |H(e^{j\omega_0})|\cos(\omega_0 n + \theta(\omega_0))$ が得られていた。$\omega_0$ をくくり出せば、位相のずれを時間のずれとして読み直せる。

The minus sign makes a positive $\tau_p$ mean a delay (causal behavior): a falling phase corresponds to the carrier arriving later.那個負號讓正的 $\tau_p$ 代表延遲（因果行為）：相位往下掉，對應的就是載波較晚抵達。この負号のおかげで、正の $\tau_p$ が遅れ（因果的なふるまい）を意味する。位相が下がることは、搬送波が遅れて到着することに対応する。

Slides 32–38 walk-through — how long is a signal delayed?投影片 32–38 導讀 — 訊號到底被延遲了多久？スライド 32–38 の読み解き — 信号はどれだけ遅れるのか

These seven slides answer one question: after a signal passes through a system, how long has it actually been delayed?這七張投影片在回答一個問題：訊號通過系統之後，到底被延遲了多久？この 7 枚のスライドが答えているのは一つの問いである。信号はシステムを通ったあと、実際にどれだけ遅れるのか。

The answer depends on what you look at. Watch the crests of a single sinusoid and you get the phase delay; watch the envelope of a modulated signal — the part that actually carries the information — and you get the group delay. The two agree only when the phase is a straight line through the origin; in general they differ, and a group delay that changes with frequency causes phase distortion. The walk-through follows the slide order, split over §10.3.1–§10.3.3, with three interactive figures along the way.答案取決於你看的是什麼。如果看單一正弦波的波峰，得到的是相位延遲（phase delay）；如果看調變訊號的包絡，也就是訊號實際攜帶的資訊，得到的是群延遲（group delay）。只有在相位是一條通過原點的直線時，兩者才相等；一般情況下它們不同，而群延遲隨頻率變化，就會造成相位失真。以下依投影片順序說明，分布在 §10.3.1–§10.3.3，中間穿插三個互動圖。答えは何を見るかによって変わる。単一の正弦波の山を見れば位相遅延（phase delay）が得られ、変調信号の包絡線、すなわち信号が実際に運んでいる情報を見れば群遅延（group delay）が得られる。両者が一致するのは位相が原点を通る直線のときだけであり、一般には異なる。そして群遅延が周波数によって変わると位相歪みが生じる。以下ではスライドの順に、§10.3.1–§10.3.3 にわたって説明し、途中に三つのインタラクティブな図を挟む。

Slide 32 — the definition of phase delay第 32 頁：相位延遲的定義スライド 32：位相遅延の定義

Sinusoid in, sinusoid out. Start from the most basic fact: feed an LTI system a sinusoid at frequency $\omega_0$ and the steady-state output is still a sinusoid at the same frequency, with only its amplitude and phase changed:正弦波輸入，正弦波輸出。先回到最基本的事實：LTI 系統輸入一個頻率 $\omega_0$ 的正弦波，穩態輸出仍是同頻率的正弦波，只是振幅和相位改變：正弦波を入れれば正弦波が出る。最も基本的な事実に戻ろう。LTI システムに周波数 $\omega_0$ の正弦波を入れると、定常出力は同じ周波数の正弦波のままであり、変わるのは振幅と位相だけである。

Here $\theta(\omega) = \angle H(e^{j\omega})$. The derivation takes one step: split the cosine into two complex exponentials,其中 $\theta(\omega) = \angle H(e^{j\omega})$。推導只要一步：把餘弦拆成兩個複指數，ここで $\theta(\omega) = \angle H(e^{j\omega})$ である。導出は一歩で済む。余弦を二つの複素指数に分ける。

Complex exponentials are eigenfunctions of an LTI system, so each is multiplied by $H(e^{j\omega_0})$ and $H(e^{-j\omega_0})$ respectively. If $h[n]$ is real, $H(e^{-j\omega_0}) = H^*(e^{j\omega_0})$, the two terms are conjugates, and their sum is $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$.複指數是 LTI 系統的特徵函數，各自乘上 $H(e^{j\omega_0})$ 與 $H(e^{-j\omega_0})$。若 $h[n]$ 是實數，$H(e^{-j\omega_0}) = H^*(e^{j\omega_0})$，兩項互為共軛，相加後就是 $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$。複素指数は LTI システムの固有関数なので、それぞれ $H(e^{j\omega_0})$ と $H(e^{-j\omega_0})$ を掛けられる。$h[n]$ が実数なら $H(e^{-j\omega_0}) = H^*(e^{j\omega_0})$ であり、二つの項は互いに共役で、足し合わせると $|H|\cos(\omega_0 n + \theta)$ になる。

The slide marks two things here: the gain in blue, and the phase shift or time shift in red. The second is the point of this slide.投影片在這裡標出兩件事：藍色的 gain（增益）與紅色的 phase shift or time shift（相移，或者說時間平移）。後者是本頁重點。スライドはここで二つを示している。青の gain（利得）と、赤の phase shift or time shift（位相のずれ、すなわち時間のずれ）である。このページの要点は後者である。

Rewriting the phase shift as a time shift. Factor out $\omega_0$:把相移改寫成時間平移。把 $\omega_0$ 提出來：位相のずれを時間のずれに書き直す。$\omega_0$ をくくり出す。

So the output is the input shifted along the time axis by $\theta(\omega_0)/\omega_0$ samples. To make the “delay” a positive number, the slide defines所以輸出就是輸入在時間軸上平移了 $\theta(\omega_0)/\omega_0$ 個樣本。為了讓「延遲」是正數，投影片定義：したがって出力は、入力を時間軸上で $\theta(\omega_0)/\omega_0$ サンプルずらしたものである。「遅延」を正の数にするため、スライドは次のように定義する。

Why the minus sign? The output of a causal system always comes later than its input, so the phase usually lags, i.e. $\theta \lt 0$. With the minus sign, $\tau_p \gt 0$ means a delay — which is what the green note on the slide says: “subtraction so positive $\tau_p$ means delay (causal)”.為什麼要加負號？因果系統的輸出一定比輸入晚，相位通常是「落後」的，也就是 $\theta \lt 0$。加上負號後，$\tau_p \gt 0$ 就代表延遲，這是投影片綠字的意思：「subtraction so positive $\tau_p$ means delay (causal)」。なぜ負号を付けるのか。因果的なシステムの出力は必ず入力より遅れるので、位相は通常「遅れ」、つまり $\theta \lt 0$ である。負号を付ければ $\tau_p \gt 0$ が遅延を表す。スライドの緑字「subtraction so positive $\tau_p$ means delay (causal)」はこのことを言っている。

The simplest check is the pure delay $h[n] = \delta[n - n_0]$:最簡單的驗證是純延遲系統 $h[n] = \delta[n - n_0]$：最も簡単な確認は純粋な遅延 $h[n] = \delta[n - n_0]$ である。

— exactly what intuition says.和直覺完全一致。直観とまったく一致する。

Two intrinsic limits of phase delay.相位延遲的兩個本質限制。位相遅延の二つの本質的な限界。

First, it need not be an integer. $\tau_p = 2.7$ means: shift the continuous sinusoid that lies behind the input samples by 2.7 samples, sample it again, and you have the output. A discrete-time signal has no “instant 2.7”, but shifting the sinusoidal curve does make sense.第一，它可以不是整數。$\tau_p = 2.7$ 的意思是：把輸入樣本背後那條連續的正弦曲線平移 2.7 個樣本，再重新取樣，就是輸出。離散時間訊號本身沒有「2.7 這個時刻」，但正弦曲線的平移是有意義的。第一に、整数でなくてもよい。$\tau_p = 2.7$ とは、入力サンプルの背後にある連続な正弦曲線を 2.7 サンプルずらし、それを標本化し直したものが出力だという意味である。離散時間信号そのものには「時刻 2.7」はないが、正弦曲線をずらすことには意味がある。

Second, it is inherently ambiguous. A sinusoid is periodic: shifting it by one period $2\pi/\omega_0$ looks exactly like not shifting it at all. In terms of phase, $\theta$ is fixed only up to an integer multiple of $2\pi$. So from a single steady-state sinusoid you cannot tell a delay of 1 sample from a delay of 1 sample plus one period.第二，它本質上有歧義。正弦波是週期性的，平移一個週期 $2\pi/\omega_0$ 和完全沒平移看起來一模一樣。對應到相位上，$\theta$ 只能確定到 $2\pi$ 的整數倍。因此單看一個穩態正弦波，你無法分辨它延遲了 1 個樣本，還是延遲了 1 加上一個週期。第二に、本質的にあいまいである。正弦波は周期的なので、一周期 $2\pi/\omega_0$ ずらしたものはまったくずらさないものと見分けがつかない。位相で言えば、$\theta$ は $2\pi$ の整数倍の不定性を残してしか決まらない。したがって定常正弦波を一つ見ただけでは、1 サンプル遅れたのか、1 サンプルと一周期遅れたのかを区別できない。

The usual remedy is the unwrapped phase: set $\theta(0) = 0$ and let $\theta(\omega)$ vary continuously with $\omega$, with no $2\pi$ jumps allowed. Only then does $\tau_p$ have a consistent meaning.一般的處理方式是使用展開相位（unwrapped phase）：規定 $\theta(0) = 0$，然後讓 $\theta(\omega)$ 隨 $\omega$ 連續變化，不允許 $2\pi$ 的跳躍。這樣算出的 $\tau_p$ 才有一致的意義。普通の対処はアンラップ位相（unwrapped phase）を使うことである。$\theta(0) = 0$ と決め、$\theta(\omega)$ を $\omega$ とともに連続に変化させ、$2\pi$ の跳びを許さない。こうして求めた $\tau_p$ だけが一貫した意味をもつ。

The deeper problem, though, is that a sinusoid that goes on forever, with no start and no end, carries no time marker. You cannot tell which output crest belongs to which input crest. That is exactly why the modulated carrier is brought in later: its envelope supplies the time marker.但更根本的問題是：一個永遠持續、沒有起點也沒有終點的正弦波，沒有任何「時間標記」。你看不出哪一個波峰對應輸入的哪一個波峰。這正是後面要引入「調變載波」的原因：包絡提供了時間標記。しかし、より根本的な問題は、始まりも終わりもなく永遠に続く正弦波には「時刻の目印」がまったくないことである。出力のどの山が入力のどの山に対応するのかがわからない。後で「変調された搬送波」を持ち込むのはまさにこのためであり、包絡線が時刻の目印を与える。

Slide 33 — phase delay of the 3-point filter第 33 頁：3 點濾波器的相位延遲スライド 33：3 点フィルタの位相遅延

We already derived (Example 10-D)前面已經推過（範例 10-D）：すでに導いたとおり（例題 10-D）、

Where $A(\omega) \gt 0$, $\theta(\omega) = -\omega$, so當 $A(\omega) \gt 0$ 時，$\theta(\omega) = -\omega$，所以$A(\omega) \gt 0$ のところでは $\theta(\omega) = -\omega$ なので、

Every frequency is delayed by 1 sample, just as the input/output plots showed earlier (“as observed”).所有頻率都延遲 1 個樣本，和之前輸入輸出圖中看到的完全一致（as observed）。すべての周波数が 1 サンプル遅れる。これは先に入出力の図で見たこと（as observed）とまったく一致する。

A detail the slide skips: the region where $A(\omega) \lt 0$. The slide says “at all frequencies”; strictly, that holds only where $A(\omega) \gt 0$. In our example $A(\omega) = -12.46 + 13.52\cos\omega$, which turns negative for $\omega \gt 0.4$. There投影片沒說的細節：$A(\omega) \lt 0$ 的區域。投影片寫「at all frequencies」，嚴格來說只對 $A(\omega) \gt 0$ 的頻率成立。在我們的例子中，$A(\omega) = -12.46 + 13.52\cos\omega$，在 $\omega \gt 0.4$ 時變成負數，此時スライドが触れていない細部：$A(\omega) \lt 0$ の領域。スライドは「at all frequencies」と書いているが、厳密には $A(\omega) \gt 0$ の周波数でしか成り立たない。この例では $A(\omega) = -12.46 + 13.52\cos\omega$ であり、$\omega \gt 0.4$ で負になる。そこでは

At $\omega = 1.5$, for instance, $\tau_p \approx -1.09$ — it looks like an advance.例如 $\omega = 1.5$ 時，$\tau_p \approx -1.09$，看起來像是「提前」了。たとえば $\omega = 1.5$ では $\tau_p \approx -1.09$ となり、「進んだ」ように見える。

Of course nothing has really come early. The output is “delayed by 1 sample and then turned upside down”:這當然不是真的提前。輸出其實是「延遲 1 個樣本再上下翻轉」：もちろん本当に進んだわけではない。出力は実は「1 サンプル遅らせてから上下を反転したもの」である。

Flipping is multiplying by $-1 = e^{j\pi}$, and for a single sinusoid a flip cannot be told apart from a shift of half a period. The phase-delay formula counts the flip as a time shift too, and so produces a strange number.翻轉等於乘上 $-1 = e^{j\pi}$，而對單一正弦波來說，翻轉和平移半個週期無法區分。相位延遲的公式把翻轉也算成了時間平移，所以得到一個奇怪的數字。反転は $-1 = e^{j\pi}$ を掛けることであり、単一の正弦波にとって反転と半周期のずれは区別できない。位相遅延の式は反転まで時間のずれとして数えてしまうので、奇妙な数が出てくる。

The group delay, by contrast, looks only at the slope of the phase; the constant $\pi$ disappears on differentiation, so the group delay is still 1 for $\omega \gt 0.4$. This is the first example of the group delay being more reliable than the phase delay.相比之下，群延遲只看相位的斜率，常數 $\pi$ 微分後消失，所以群延遲在 $\omega \gt 0.4$ 時仍然是 1。這是群延遲比相位延遲更可靠的第一個例子。これに対し群遅延は位相の傾きしか見ないので、定数 $\pi$ は微分で消え、$\omega \gt 0.4$ でも群遅延は 1 のままである。これが、群遅延のほうが位相遅延より信頼できることの最初の例である。

The interactive figure below shows this. On the left is the phase $\theta(\omega)$; the blue segment runs from the origin to the current point, and its slope equals $-\tau_p$. On the right are the input (grey) and the output (blue, divided by the gain so the positions are easy to compare).下面的互動圖可以觀察這一點。左邊是相位 $\theta(\omega)$，藍色線段從原點連到目前的點，它的斜率等於 $-\tau_p$；右邊是輸入（灰色）和輸出（藍色，已除以增益，方便比較位置）。下のインタラクティブな図でこれを確かめられる。左は位相 $\theta(\omega)$ で、青の線分は原点から現在の点へ引いたものであり、その傾きが $-\tau_p$ に等しい。右は入力（灰色）と出力（青。位置を比べやすいよう利得で割ってある）である。

Things to try:建議這樣操作：次のように操作してみるとよい。

• $\omega_0 = 0.1$, $0.3$: the blue segment lies right on the grey dashed line $\theta = -\omega$; its slope is $-1$, so $\tau_p = 1$. On the right, the crests of the blue output come 1 sample after those of the grey input.$\omega_0 = 0.1$、$0.3$：藍色線段剛好落在灰色虛線 $\theta = -\omega$ 上，斜率是 $-1$，所以 $\tau_p = 1$。右圖中，藍色輸出的波峰比灰色輸入晚 1 個樣本。$\omega_0 = 0.1$、$0.3$：青の線分は灰色の破線 $\theta = -\omega$ にちょうど重なり、傾きは $-1$ なので $\tau_p = 1$ である。右の図では、青の出力の山が灰色の入力より 1 サンプル遅れている。
• $\omega_0 = 1.5$, $2.6$: the phase curve jumps by $\pi$ at 0.4, the blue segment no longer lies on $-\omega$, and $\tau_p$ turns negative. Look closely at the right panel: the blue output is just the grey input delayed by 1 sample and then flipped.$\omega_0 = 1.5$、$2.6$：相位曲線在 0.4 處跳了 $\pi$，藍色線段不再落在 $-\omega$ 上，$\tau_p$ 變成負數。仔細看右圖，藍色輸出其實就是灰色輸入延遲 1 個樣本後再上下翻轉。$\omega_0 = 1.5$、$2.6$：位相曲線は 0.4 で $\pi$ 跳び、青の線分はもう $-\omega$ の上にはなく、$\tau_p$ は負になる。右の図をよく見ると、青の出力は灰色の入力を 1 サンプル遅らせて上下反転したものにすぎない。

The phase-delay formula cannot tell these two situations apart, but the group delay in the readout stays at 1 throughout.相位延遲的公式無法分辨這兩件事，但讀數中的群延遲始終是 1。位相遅延の式はこの二つを区別できないが、表示の群遅延は終始 1 のままである。

10.3.2 Group Delay and Modulated Carriers10.3.2 群延遲與調變載波10.3.2 群遅延と変調された搬送波

Phase delay describes a single sinusoid. Real signals carry information in envelopes. Consider a modulated carrier（調變載波）:相位延遲描述的是單一弦波。真實訊號則把資訊帶在包絡裡。考慮一個調變載波：位相遅延が記述するのは単一の正弦波である。現実の信号は情報を包絡線に載せて運ぶ。変調された搬送波を考えよう。

The signal occupies two close frequencies $\omega_c \pm \omega_m$. Assume $|H(e^{j\omega})| \approx 1$ around $\omega_c$, and call the phases at the two side frequencies $\theta(\omega_c - \omega_m) = \theta_l$ and $\theta(\omega_c + \omega_m) = \theta_u$. The output recombines into這個訊號佔據兩個相近的頻率 $\omega_c \pm \omega_m$。假設 $\omega_c$ 附近有 $|H(e^{j\omega})| \approx 1$，並把兩個邊頻處的相位記為 $\theta(\omega_c - \omega_m) = \theta_l$ 與 $\theta(\omega_c + \omega_m) = \theta_u$。輸出重新合成為この信号は近接した二つの周波数 $\omega_c \pm \omega_m$ を占める。$\omega_c$ の周辺で $|H(e^{j\omega})| \approx 1$ と仮定し、二つの側波周波数での位相を $\theta(\omega_c - \omega_m) = \theta_l$、$\theta(\omega_c + \omega_m) = \theta_u$ と書く。出力は次のようにまとまる。

The average phase shifts the carrier; the difference shifts the envelope. If $\theta(\omega)$ is locally linear around $\omega_c$, i.e. $\theta(\omega_c + \Delta\omega) \approx \theta(\omega_c) + S\,\Delta\omega$ with slope $S = \frac{d\theta}{d\omega}\big|_{\omega_c}$, then:相位的平均移動載波，相位的差移動包絡。若 $\theta(\omega)$ 在 $\omega_c$ 附近是局部線性的，也就是 $\theta(\omega_c + \Delta\omega) \approx \theta(\omega_c) + S\,\Delta\omega$，斜率為 $S = \frac{d\theta}{d\omega}\big|_{\omega_c}$，那麼：位相の平均が搬送波を、位相の差が包絡線をずらす。$\theta(\omega)$ が $\omega_c$ の近傍で局所的に線形、すなわち傾きを $S = \frac{d\theta}{d\omega}\big|_{\omega_c}$ として $\theta(\omega_c + \Delta\omega) \approx \theta(\omega_c) + S\,\Delta\omega$ であれば、

• Carrier phase shift $\frac{\theta_u + \theta_l}{2} = \theta(\omega_c)$ → carrier delayed by $-\theta(\omega_c)/\omega_c = \tau_p(\omega_c)$ — the phase delay.載波的相位移 $\frac{\theta_u + \theta_l}{2} = \theta(\omega_c)$ → 載波延遲 $-\theta(\omega_c)/\omega_c = \tau_p(\omega_c)$ —— 這就是相位延遲。搬送波の位相シフト $\frac{\theta_u + \theta_l}{2} = \theta(\omega_c)$ → 搬送波は $-\theta(\omega_c)/\omega_c = \tau_p(\omega_c)$ だけ遅れる。これが位相遅延である。
• Envelope phase shift $\frac{\theta_u - \theta_l}{2} = \omega_m S$ → envelope delayed by $-S$ — the group delay.包絡的相位移 $\frac{\theta_u - \theta_l}{2} = \omega_m S$ → 包絡延遲 $-S$ —— 這就是群延遲。包絡線の位相シフト $\frac{\theta_u - \theta_l}{2} = \omega_m S$ → 包絡線は $-S$ だけ遅れる。これが群遅延である。

Group delay — a second look群延遲 — 再看一次群遅延 — もう一度

In discrete time $\tau_g$ is measured in samples: it is how long a small group of frequencies near $\omega$ is held up by the system. The AM pair above is one case of a general narrowband signal, a slowly varying envelope on a fast carrier:離散時間系統中 $\tau_g$ 的單位是樣本數。直覺上，它表示頻率在 $\omega$ 附近的一小群訊號，通過系統後被延遲了多久。上面的 AM 兩頻訊號只是一般窄頻訊號的特例：一個高頻載波乘上一個變化緩慢的包絡：離散時間では $\tau_g$ の単位はサンプル数である。直観的には、$\omega$ 付近の周波数の小さな群がシステムを通ってどれだけ遅れるかを表す。上の AM の 2 周波信号は、速い搬送波にゆっくり変わる包絡線を掛けた、一般の狭帯域信号の一例である。

Its spectrum occupies only a narrow band around $\omega_0$ — a “group” of frequencies. Across that band the phase can be expanded to first order,它的頻譜只集中在 $\omega_0$ 附近一小段，也就是一「群」頻率。在這一小段範圍內，可以把相位做一階泰勒展開：そのスペクトルは $\omega_0$ のまわりの狭い帯域、すなわち周波数の「群」だけを占める。その帯域内では位相を 1 次まで展開できる。

and substituting gives代進去之後，輸出大約是：これを代入すると、出力はおよそ次のようになる。

• Group delay $\tau_g$: how far the envelope $s[n]$ moves — when the information, or the energy, actually arrives.群延遲 $\tau_g$：包絡 $s[n]$ 被延遲的量，也就是訊息或能量實際到達的時間。群遅延 $\tau_g$：包絡線 $s[n]$ がずれる量、すなわち情報やエネルギーが実際に届く時刻。
• Phase delay $\tau_p = -\angle H(e^{j\omega_0})/\omega_0$: how far the carrier's own phase moves.相位延遲 $\tau_p = -\angle H(e^{j\omega_0})/\omega_0$：載波本身相位被移動的量。位相遅延 $\tau_p = -\angle H(e^{j\omega_0})/\omega_0$：搬送波そのものの位相がずれる量。

The group delay usually matters more, because what a signal “looks like” is set mainly by its envelope. The magnitude response says how much each frequency is amplified or attenuated; the group delay says how long each frequency is delayed.一般更關心群延遲，因為訊號「長什麼樣子」主要由包絡決定。大小響應告訴你「各頻率被放大或衰減多少」，群延遲告訴你「各頻率被延遲多久」。ふつう重要なのは群遅延のほうである。信号の「見た目」は主に包絡線で決まるからである。振幅応答は各周波数がどれだけ増幅・減衰されるかを、群遅延は各周波数がどれだけ遅れるかを教える。

Why check whether $\tau_g$ is constant.為什麼要看群延遲是不是常數。なぜ $\tau_g$ が一定かどうかを見るのか。

• Linear phase: $\tau_g$ is constant, every frequency arrives together, and the waveform is not distorted. A symmetric-coefficient FIR filter of length $N$ is like this, with $\tau_g = (N-1)/2$ (10.4.3).線性相位：群延遲是常數，所有頻率同時到達，波形不失真。長度 $N$ 的對稱係數 FIR 濾波器就是這樣，群延遲為 $(N-1)/2$（10.4.3）。線形位相：$\tau_g$ が一定で、すべての周波数が同時に届き、波形は歪まない。長さ $N$ の対称係数 FIR フィルタがこれに当たり、$\tau_g = (N-1)/2$ である（10.4.3）。
• Nonlinear phase: $\tau_g$ changes with frequency, different bands arrive at different times, and the waveform is spread or deformed — phase distortion, or dispersion (10.3.3). It matters in communications (intersymbol interference) and in audio (smeared transients).非線性相位：群延遲隨頻率改變，不同頻帶到達的時間不同，波形會被拉開或變形，稱為相位失真或色散（dispersion，10.3.3）。這在通訊（符號間干擾）和音訊（暫態變模糊）中都很重要。非線形位相：$\tau_g$ が周波数とともに変わり、帯域ごとに到着時刻が異なって波形が広がったり変形したりする。これが位相歪み、すなわち分散である（10.3.3）。通信（符号間干渉）でもオーディオ（過渡音のぼやけ）でも重要である。

Link to the lecture — group delays add. Cascaded phases add, so cascaded group delays add too:和講義的關係 — 群延遲可以逐個因式相加。串接系統的相位相加，因此群延遲也直接相加：講義とのつながり — 群遅延は足し合わせられる。縦続接続した系の位相は足し合わされるので、群遅延もそのまま足し合わされる。

That is why the lecture analyses only the single zero $1 - re^{j\theta}z^{-1}$ (Fig. 10-4): the group delay of any rational system is the sum of the contributions of its poles and zeros. For one zero,這就是講義只分析單一零點 $1 - re^{j\theta}z^{-1}$（圖 10-4）的原因：任何有理系統的群延遲，都是各個極點、零點的貢獻加總。單一零點的群延遲為：講義がひとつの零点 $1 - re^{j\theta}z^{-1}$（図 10-4）だけを解析するのはこのためである。どんな有理システムの群遅延も、各極・零点の寄与の和になる。ひとつの零点では次のとおりである。

With $r = 0.9$ this is $-9$ samples — the downward spike in Examples I and II. Geometrically, as $e^{j\omega}$ passes beside the zero, the zero vector's angle turns very fast; the steeper the phase change, the larger $|\tau_g|$.$r = 0.9$ 時是 $-9$，這就是 Example I、II 圖上往下的尖刺。從幾何上看，$e^{j\omega}$ 經過零點旁邊時，零點向量的角度轉得非常快；相位變化越急，群延遲的絕對值越大。$r = 0.9$ では $-9$ サンプルとなり、これが例 I・II の下向きの尖りである。幾何的には、$e^{j\omega}$ が零点のそばを通るとき零点ベクトルの角度が非常に速く回る。位相の変化が急なほど $|\tau_g|$ は大きい。

Slides 34–36 — the modulated carrier and its two phase shifts第 34 到 36 頁：調變載波與兩種相移スライド 34–36：変調された搬送波と二種類の位相のずれ

Why a modulated carrier. The conclusion of §10.3.1 was that a single sinusoid has no time marker, so its phase delay is ambiguous. To really measure “how long the signal is delayed” we need a signal with a feature we can follow.為什麼要用調變載波。§10.3.1 的結論是：單一正弦波沒有時間標記，所以相位延遲有歧義。要真正量測「訊號延遲多久」，需要一個有特徵、可以追蹤的訊號。なぜ変調された搬送波を使うのか。§10.3.1 の結論は、単一の正弦波には時刻の目印がないので位相遅延があいまいになる、というものだった。「信号がどれだけ遅れるか」を本当に測るには、追跡できる特徴をもつ信号が必要である。

The simplest choice is amplitude modulation (AM):最簡單的選擇是振幅調變（AM）：最も簡単な選択は振幅変調（AM）である。

In the figure of slide 34 the fast blue oscillation is the carrier and the slowly varying red dashed curve is the envelope. The envelope's period $2\pi/\omega_m$ is much longer than the carrier's, so its crest is a clear time marker: see when the output envelope's crest turns up and you know how long the signal was delayed.第 34 頁的圖中，藍色是快速振盪的載波（carrier），紅色虛線是緩慢變化的包絡（envelope）。包絡的週期是 $2\pi/\omega_m$，比載波長很多，所以它的波峰就是一個清楚的時間標記：看輸出包絡的波峰出現在什麼時候，就知道訊號延遲了多久。スライド 34 の図では、速く振動する青が搬送波（carrier）、ゆっくり変化する赤の破線が包絡線（envelope）である。包絡線の周期 $2\pi/\omega_m$ は搬送波よりずっと長いので、その山ははっきりした時刻の目印になる。出力の包絡線の山がいつ現れるかを見れば、信号がどれだけ遅れたかがわかる。

This is not just a teaching example. Real communication and speech signals almost all have this form: a high-frequency carrier, or a band, carrying slowly varying information. The information is in the envelope, not in each crest of the carrier.這不只是教學用的例子。實際的通訊和語音訊號幾乎都是這種形式：一個高頻載波，或一段頻帶，上面承載著緩慢變化的資訊。資訊在包絡裡，不在載波的每個波峰裡。これは単なる教材用の例ではない。実際の通信信号や音声信号はほとんどがこの形をしている。高周波の搬送波、あるいは一つの帯域の上に、ゆっくり変化する情報が乗っている。情報は包絡線の中にあり、搬送波の一つひとつの山にあるのではない。

The spectrum: two lines. Slide 35 splits the signal with the product-to-sum identity:頻譜：兩條線。第 35 頁用積化和差把訊號拆開：スペクトル：2 本の線。スライド 35 は積和公式で信号を分解する。

In the frequency domain these are two spectral lines on either side of $\omega_c$, $\omega_m$ away from it (the small plot at the top right of the slide): the lower and the upper sideband.在頻域中，這是 $\omega_c$ 兩側、相距 $\omega_m$ 的兩條譜線（投影片右上角的小圖），分別稱為下邊帶和上邊帶。周波数領域では、$\omega_c$ の両側に $\omega_m$ 離れて立つ 2 本のスペクトル線（スライド右上の小さな図）であり、それぞれ下側波帯、上側波帯と呼ばれる。

This step is the key: the modulated signal is just a sum of two sinusoids. And we already know what a system does to a single sinusoid: multiply by the gain, add the phase shift.這一步很關鍵：調變訊號只是兩個正弦波的和。而我們已經知道系統對單一正弦波做什麼：乘上增益、加上相移。この一歩が鍵である。変調信号は二つの正弦波の和にすぎない。そしてシステムが単一の正弦波に何をするかはもうわかっている。利得を掛け、位相のずれを加えるだけである。

Through the system. Each sinusoid passes through on its own:通過系統。兩個正弦波各自通過系統：システムを通す。二つの正弦波はそれぞれ別々にシステムを通る。

with $\theta_l = \theta(\omega_c - \omega_m)$ and $\theta_u = \theta(\omega_c + \omega_m)$. The slide's $H(\cdot)\cos(\cdot)$ is shorthand for “multiply by the magnitude, add the phase”.其中 $\theta_l = \theta(\omega_c - \omega_m)$，$\theta_u = \theta(\omega_c + \omega_m)$。投影片寫成 $H(\cdot)\cos(\cdot)$ 是簡寫，意思就是「乘上大小、加上相位」。ここで $\theta_l = \theta(\omega_c - \omega_m)$、$\theta_u = \theta(\omega_c + \omega_m)$ である。スライドの $H(\cdot)\cos(\cdot)$ は略記であり、「大きさを掛け、位相を加える」という意味である。

The slide then assumes $|H| \approx 1$. The assumption is there to separate the effect of the magnitude from that of the phase: if the two lines got different gains the depth of the envelope would change, and that is amplitude distortion, not the subject here. Under the assumption only the phase is left:投影片接著假設 $|H| \approx 1$。這個假設是為了把大小的影響和相位的影響分開：如果兩條譜線的增益不同，包絡的深度會改變，那是振幅失真，不是這裡要討論的。在這個假設下，只剩相位：スライドは続いて $|H| \approx 1$ と仮定する。この仮定は大きさの影響と位相の影響を切り分けるためのものである。2 本の線の利得が違えば包絡線の深さが変わるが、それは振幅歪みであり、ここでの話題ではない。この仮定のもとでは位相だけが残る。

Recombining: sum-to-product. Slide 36 turns the two terms back into a product with重新組合：和差化積。第 36 頁用和差化積公式把兩項合回乘積形式：組み立て直す：和積公式。スライド 36 は和積公式で二つの項を積の形に戻す。

Let $a = (\omega_c + \omega_m)n + \theta_u$ and $b = (\omega_c - \omega_m)n + \theta_l$:令 $a = (\omega_c + \omega_m)n + \theta_u$，$b = (\omega_c - \omega_m)n + \theta_l$：$a = (\omega_c + \omega_m)n + \theta_u$、$b = (\omega_c - \omega_m)n + \theta_l$ とおく。

The leading $\frac{A}{2}$ times the 2 of the identity is exactly $A$:前面的 $\frac{A}{2}$ 乘上公式中的 2，剛好是 $A$：前の $\frac{A}{2}$ に公式の 2 を掛けると、ちょうど $A$ になる。

The output is still “carrier times envelope”, the same shape as the input, but the two parts get different phase shifts:輸出仍然是「載波乘上包絡」，形狀和輸入一樣，但兩者各自得到不同的相移：出力はやはり「搬送波 × 包絡線」で入力と同じ形をしているが、両者はそれぞれ異なる位相のずれを受ける。

• Carrier phase shift = the average of the two phases, $\dfrac{\theta_u + \theta_l}{2}$載波的相移 = 兩個相位的平均 $\dfrac{\theta_u + \theta_l}{2}$搬送波の位相のずれ = 二つの位相の平均 $\dfrac{\theta_u + \theta_l}{2}$
• Envelope phase shift = half the difference of the two phases, $\dfrac{\theta_u - \theta_l}{2}$包絡的相移 = 兩個相位的半差 $\dfrac{\theta_u - \theta_l}{2}$包絡線の位相のずれ = 二つの位相の差の半分 $\dfrac{\theta_u - \theta_l}{2}$

What the result means. This is the most important observation of the whole topic: the envelope cares only about the difference in phase between the two frequencies, not about the size of the phase itself.這個結果的意義。這是整個主題中最重要的觀察：包絡只在乎兩個頻率之間的相位「差」，不在乎相位本身的大小。この結果の意味。これがこの話題全体で最も重要な観察である。包絡線が気にするのは二つの周波数の間の位相の「差」だけであり、位相そのものの大きさは関係ない。

If the system adds the same phase to both frequencies — say $\pi/2$ to each — then $\theta_u - \theta_l$ is unchanged, the envelope is untouched and only the carrier moves. Conversely, as soon as the phases at the two frequencies differ, the envelope is shifted.如果系統讓兩個頻率都多了同一個相位，例如都加上 $\pi/2$，那麼 $\theta_u - \theta_l$ 不變，包絡完全不受影響，只有載波被移動。反過來說，只要兩個頻率的相位有差異，包絡就會被平移。システムが二つの周波数に同じ位相、たとえばどちらにも $\pi/2$ を加えるなら、$\theta_u - \theta_l$ は変わらず、包絡線はまったく影響を受けず、動くのは搬送波だけである。逆に、二つの周波数の位相に差があれば、包絡線はずらされる。

This echoes exactly what was said before: the group delay is the rate at which the steady-state phase shift differs from one frequency to the next. Slide 36 is the full derivation of that sentence.這正好呼應我們先前討論過的：群延遲是穩態相移在不同頻率之間的差異率。第 36 頁就是這句話的完整推導。これは前に述べたことにちょうど対応する。群遅延とは、定常状態の位相のずれが周波数ごとに異なる割合である。スライド 36 はこの一文の完全な導出である。

Slide 37 — local linearity and the group-delay formula第 37 頁：局部線性與群延遲公式スライド 37：局所的な線形性と群遅延の式

Taylor expansion. If $\omega_m$ is small, both lines sit close to $\omega_c$, and over such a short range $\theta(\omega)$ can be approximated by a straight line:泰勒展開。如果 $\omega_m$ 很小，兩條譜線都很靠近 $\omega_c$，在這麼小的範圍內，$\theta(\omega)$ 可以近似成直線：テイラー展開。$\omega_m$ が小さければ 2 本の線はどちらも $\omega_c$ のすぐ近くにあり、その狭い範囲では $\theta(\omega)$ を直線で近似できる。

Substituting $\Delta\omega = \pm\omega_m$:代入 $\Delta\omega = \pm\omega_m$：$\Delta\omega = \pm\omega_m$ を代入する。

The carrier gives the phase delay.載波：得到相位延遲。搬送波からは位相遅延が得られる。

The $S\omega_m$ terms cancel, the carrier's phase shift is $\theta(\omega_c)$ itself, and the corresponding delay is precisely the phase delay of slide 32:$S\omega_m$ 正負抵消，載波的相移就是 $\theta(\omega_c)$ 本身，對應的延遲正是第 32 頁的相位延遲：$S\omega_m$ は正負で打ち消し合い、搬送波の位相のずれは $\theta(\omega_c)$ そのものになる。対応する遅延はまさにスライド 32 の位相遅延である。

The envelope gives the group delay.包絡：得到群延遲。包絡線からは群遅延が得られる。

The envelope becomes包絡變成：包絡線は次のようになる。

so the envelope is delayed by所以包絡被延遲：したがって包絡線の遅れは

— which is the definition of the group delay.這就是群延遲的定義。であり、これが群遅延の定義である。

An easily missed point: $\omega_m$ has disappeared. Note that $\tau_g = -S$ contains no $\omega_m$. As long as local linearity holds, the delay is the same no matter how fast or slowly the envelope varies.一個容易忽略的重點：$\omega_m$ 消失了。注意 $\tau_g = -S$ 裡沒有 $\omega_m$。只要局部線性成立，不論包絡變化多快或多慢，延遲都一樣。見落としやすい点：$\omega_m$ が消えた。$\tau_g = -S$ には $\omega_m$ が含まれていないことに注意しよう。局所的な線形性が成り立つかぎり、包絡線がどれほど速く、あるいは遅く変化しても、遅延は同じである。

This matters. A real envelope is not a single cosine; it is made of many different $\omega_m$ (its Fourier decomposition). Since every component is delayed by the same $\tau_g$, the whole envelope is shifted intact and keeps its shape. So the group delay is a property of the system near $\omega_c$, not a property of a particular signal.這很重要。真實的包絡不只是一個餘弦，而是由許多不同的 $\omega_m$ 組成（傅立葉分解）。既然每個成分都被延遲同樣的 $\tau_g$，整個包絡就被完整地平移，形狀不變。所以群延遲是系統在 $\omega_c$ 附近的性質，不是特定訊號的性質。これは重要である。現実の包絡線は一つの余弦ではなく、多くの異なる $\omega_m$ からなる（フーリエ分解）。どの成分も同じ $\tau_g$ だけ遅れるのだから、包絡線全体はそのまま平行移動し、形は変わらない。したがって群遅延は$\omega_c$ 付近におけるシステムの性質であり、特定の信号の性質ではない。

Conversely, if $\theta(\omega)$ is not a straight line across the signal's bandwidth, different $\omega_m$ get different delays and the shape of the envelope is destroyed. This sets up the last sentence of slide 38.反過來說，如果 $\theta(\omega)$ 在訊號頻寬內不是直線，不同的 $\omega_m$ 就會得到不同的延遲，包絡形狀就會被破壞。這是第 38 頁最後一句話的伏筆。逆に、$\theta(\omega)$ が信号の帯域幅の中で直線でなければ、異なる $\omega_m$ は異なる遅延を受け、包絡線の形は壊れる。これがスライド 38 の最後の一文への伏線である。

Interactive: a modulated carrier through an allpass filter. To match the slide's $|H| \approx 1$ assumption exactly, the figure below uses a second-order allpass filter: poles at $\rho e^{\pm j1.2}$, zeros at the conjugate-reciprocal positions. Its $|H|$ is exactly 1 at every frequency; only the phase changes, so everything you see comes from the phase alone.互動圖：調變載波通過全通濾波器。為了完全符合投影片 $|H| \approx 1$ 的假設，下面用二階全通濾波器（allpass）：極點在 $\rho e^{\pm j1.2}$，零點在共軛倒數位置。它的 $|H|$ 在所有頻率都精確等於 1，只改變相位，所以看到的效果純粹來自相位。インタラクティブ：全域通過フィルタを通る変調された搬送波。スライドの $|H| \approx 1$ の仮定に正確に合わせるため、下の図では2 次の全域通過フィルタ（allpass）を使う。極は $\rho e^{\pm j1.2}$、零点は共役逆数の位置にある。その $|H|$ はすべての周波数で厳密に 1 であり、変わるのは位相だけなので、見える効果は純粋に位相から来ている。

Near the resonance at 1.2 the phase changes fast, so the group delay is large; the phase itself is not large there, so the phase delay is small. This is a case where the two differ clearly.在共振頻率 1.2 附近，相位變化很快，群延遲很大；而相位本身的大小不大，所以相位延遲較小。這正是兩者明顯不同的情況。共振周波数 1.2 の付近では位相が急に変わるので群遅延は大きいが、位相そのものはそれほど大きくないので位相遅延は小さい。両者がはっきり異なる場面である。

• Top left: $\theta(\omega)$. The blue line is the chord from the origin, slope $-\tau_p$; the red line is the tangent, slope $-\tau_g$; the green dots are $\theta_l$ and $\theta_u$.左上：$\theta(\omega)$。藍線是原點連線，斜率為 $-\tau_p$；紅線是切線，斜率為 $-\tau_g$；綠點是 $\theta_l$、$\theta_u$。左上：$\theta(\omega)$。青の線は原点からの弦で傾きは $-\tau_p$、赤の線は接線で傾きは $-\tau_g$、緑の点は $\theta_l$ と $\theta_u$ である。
• Top right: $\tau_p(\omega)$ and $\tau_g(\omega)$ against frequency.右上：$\tau_p(\omega)$ 與 $\tau_g(\omega)$ 隨頻率的變化。右上：周波数に対する $\tau_p(\omega)$ と $\tau_g(\omega)$。
• Bottom: grey is the input, blue the output, dashed lines the envelopes. The red vertical line is the measured envelope delay, the blue one the measured carrier delay. Press “zoom” to see the carrier clearly.下方：灰色是輸入，藍色是輸出，虛線是包絡。紅色垂直線是實測的包絡延遲，藍色垂直線是實測的載波延遲。按「放大」可以看清楚載波。下：灰色が入力、青が出力、破線が包絡線である。赤の縦線は実測した包絡線の遅延、青の縦線は実測した搬送波の遅延である。「拡大」を押すと搬送波がよく見える。

Try these in order:建議依序嘗試：次の順に試してみるとよい。

1. The defaults ($\omega_c = 1.2$, carrier right on the resonance). In the four number cards the formulas and the measurements agree almost exactly: a group delay of about 19 samples, a phase delay of only about 3. In the time-domain plot the red envelope clearly lags the grey one, but after pressing “zoom” you find the blue carrier has moved only a little relative to the grey one. This is the upper figure of slide 38: a small carrier delay and a large envelope delay — the carrier “slides” inside the envelope.預設值（$\omega_c = 1.2$，載波剛好在共振頻率）。四張數字卡中，公式和實測的結果幾乎一致：群延遲約 19 個樣本，相位延遲只有約 3 個樣本。下方時域圖中，紅色包絡虛線明顯落後灰色包絡，但按「放大」後會發現，藍色載波相對於灰色載波只移動了一點點。這就是第 38 頁上方那張圖：載波延遲小、包絡延遲大，載波在包絡裡「滑動」。初期値（$\omega_c = 1.2$、搬送波がちょうど共振周波数にある）。四つの数値カードでは、式と実測がほぼ一致する。群遅延は約 19 サンプル、位相遅延はわずか約 3 サンプルである。下の時間領域の図では、赤の包絡線の破線が灰色の包絡線よりはっきり遅れているが、「拡大」を押すと、青の搬送波は灰色の搬送波に対して少ししか動いていないことがわかる。これがスライド 38 の上の図である。搬送波の遅れは小さく、包絡線の遅れは大きい。搬送波が包絡線の中を「すべって」いく。
2. Move $\omega_c$ to 2.5 (away from the resonance). The phase curve is nearly straight there, the tangent and the chord have similar slopes, and $\tau_p$ and $\tau_g$ both shrink and come close to each other.把 $\omega_c$ 移到 2.5（遠離共振）。相位曲線在這附近接近直線，切線和原點連線的斜率差不多，$\tau_p$ 和 $\tau_g$ 都變小，而且彼此接近。$\omega_c$ を 2.5 に移す（共振から離れる）。このあたりでは位相曲線はほぼ直線で、接線と原点からの弦の傾きはほぼ同じになり、$\tau_p$ も $\tau_g$ も小さくなり、互いに近づく。
3. Pull $\rho$ from 0.9 up to 0.97. The resonance sharpens, the phase near 1.2 becomes almost a step, and the peak group delay exceeds 60 samples. This agrees with what we saw before: the closer the poles are to the unit circle, the larger the group delay and the longer the transient ringing.把 $\rho$ 從 0.9 拉到 0.97。共振變得更尖銳，相位在 1.2 附近幾乎呈階梯狀，群延遲峰值超過 60 個樣本。這和之前討論的一致：極點越靠近單位圓，群延遲越大，暫態振鈴也越長。$\rho$ を 0.9 から 0.97 に上げる。共振が鋭くなり、1.2 付近の位相はほとんど階段状になり、群遅延のピークは 60 サンプルを超える。これは前に見たことと一致する。極が単位円に近いほど群遅延は大きく、過渡的なリンギングも長くなる。
4. At $\omega_c = 1.2$, raise $\omega_m$ to 0.15. The two green dots separate and leave the linear region of the phase curve. “envelope, measured” starts to depart from “$\tau_g$ formula”, because the local-linear approximation no longer holds. The envelope of a two-line signal is still a cosine, so its shape does not break, but the amount of delay is no longer $\tau_g(\omega_c)$. The phase-distortion walk-through in §10.3.3 shows what happens when the envelope has many frequency components.在 $\omega_c = 1.2$ 時把 $\omega_m$ 拉大到 0.15。兩個綠點分開，離開了相位曲線的線性區。「包絡實測」開始偏離「$\tau_g$ 公式」，因為局部線性近似不再成立。兩譜線訊號的包絡仍然是餘弦，所以形狀不會壞，但延遲量已經不等於 $\tau_g(\omega_c)$。§10.3.3 的相位失真導讀會看到，包絡含有多個頻率成分時會發生什麼事。$\omega_c = 1.2$ のまま $\omega_m$ を 0.15 に上げる。二つの緑の点が離れ、位相曲線の線形な領域から出る。局所線形近似が成り立たなくなるので、「包絡線の実測」は「$\tau_g$ の式」からずれ始める。2 本線の信号の包絡線はやはり余弦なので形は壊れないが、遅延量はもはや $\tau_g(\omega_c)$ に等しくない。包絡線が多くの周波数成分を含むと何が起こるかは、§10.3.3 の位相歪みの読み解きで見る。

Slide 38 — the two delays in one picture第 38 頁：圖解兩種延遲スライド 38：二つの遅延を図で見る

Chord and tangent. The lower figure of slide 38 is the most intuitive way to understand the two delays:割線與切線。第 38 頁下方的圖是理解兩種延遲最直觀的方式：弦と接線。スライド 38 の下の図は、二つの遅延を理解するいちばん直観的な方法である。

• The phase delay is minus the slope of the chord from the origin $(0, 0)$ to the point $(\omega_c, \theta(\omega_c))$ on the curve (blue). It reflects “how much phase has accumulated from DC up to $\omega_c$”.相位延遲是從原點 $(0, 0)$ 連到曲線上點 $(\omega_c, \theta(\omega_c))$ 的割線斜率，取負號（藍線）。它反映「從 DC 到 $\omega_c$ 累積了多少相位」。位相遅延は、原点 $(0, 0)$ から曲線上の点 $(\omega_c, \theta(\omega_c))$ へ引いた弦の傾きに負号を付けたもの（青の線）である。「直流から $\omega_c$ までにどれだけ位相がたまったか」を表す。
• The group delay is minus the slope of the tangent to the curve at $\omega_c$ (red). It reflects only “how fast the phase is changing near $\omega_c$”.群延遲是曲線在 $\omega_c$ 的切線斜率，取負號（紅線）。它只反映「在 $\omega_c$ 附近，相位變化得多快」。群遅延は、$\omega_c$ における曲線の接線の傾きに負号を付けたもの（赤の線）である。「$\omega_c$ の近くで位相がどれだけ速く変わるか」だけを表す。

In the slide's figure the red tangent is steeper than the blue chord, so $\tau_g \gt \tau_p$, matching the upper time-domain figure where the red arrow (envelope delay) is longer than the blue one (carrier delay). It is exactly what the interactive figure above shows at $\omega_c = 1.2$.投影片的圖中，紅色切線比藍色割線陡，所以 $\tau_g \gt \tau_p$，對應上方時域圖中紅色箭頭（包絡延遲）比藍色箭頭（載波延遲）長。這正是前一個互動圖在 $\omega_c = 1.2$ 時看到的情況。スライドの図では赤の接線が青の弦より急なので $\tau_g \gt \tau_p$ であり、上の時間領域の図で赤の矢印（包絡線の遅延）が青の矢印（搬送波の遅延）より長いことに対応する。上のインタラクティブな図で $\omega_c = 1.2$ のときに見えたのがまさにこれである。

How the two are related. From $\theta(\omega) = -\omega\,\tau_p(\omega)$, differentiate with respect to $\omega$:兩者的數學關係。由 $\theta(\omega) = -\omega\,\tau_p(\omega)$，對 $\omega$ 微分：両者の関係。$\theta(\omega) = -\omega\,\tau_p(\omega)$ を $\omega$ で微分する。

So $\tau_g = \tau_p$ if and only if $\tau_p$ does not change with frequency, i.e. the phase is a straight line through the origin.所以 $\tau_g = \tau_p$ 若且唯若 $\tau_p$ 不隨頻率改變，也就是相位是一條通過原點的直線。したがって $\tau_g = \tau_p$ となるのは $\tau_p$ が周波数によって変わらないとき、かつそのときに限る。つまり位相が原点を通る直線のときである。

Three cases.三種情況。三つの場合。

The second case deserves attention. The envelope is not distorted at all, because the group delay is constant, but the relative position of carrier and envelope changes. For signals whose information is in the envelope, such as AM or speech, that has no effect whatsoever, so the second case is treated as linear phase just like the first — strictly, generalized linear phase. This also explains the earlier question of why the 3-point filter still counts as linear phase although its phase jumps by $\pi$ at $\omega = 0.4$.第二種情況特別值得注意。包絡完全不失真，因為群延遲是常數，但載波和包絡的相對位置改變了。對 AM 或語音這類「資訊在包絡」的訊號，這完全沒有影響，所以第二種情況和第一種一樣，都被視為線性相位，嚴格稱為廣義線性相位。這也解釋了先前的問題：3 點濾波器在 $\omega \gt 0.4$ 處相位跳 $\pi$，為什麼仍然算線性相位。二番目の場合は特に注目に値する。群遅延が一定なので包絡線はまったく歪まないが、搬送波と包絡線の相対的な位置は変わる。AM や音声のように「情報が包絡線にある」信号にとってはまったく影響がないので、二番目の場合も一番目と同じく線形位相とみなされ、厳密には一般化線形位相と呼ばれる。3 点フィルタの位相が $\omega = 0.4$ で $\pi$ 跳ぶのに、なぜ線形位相とみなされるのかという先の問いも、これで説明がつく。

10.3.3 Phase Distortion10.3.3 相位失真10.3.3 位相歪み

If $\theta(\omega)$ is not linear across the band occupied by $A[n]$, different envelope frequencies suffer different delays and the envelope is smeared — phase distortion（相位失真）. The lecture closes with a striking example, worked through in full at the end of this subsection: a signal made of three pulse bursts at different carrier frequencies passes through a system whose group delay differs by some 140 samples between two of those bands — at the output the bursts come out in the opposite order, and nothing in the magnitude response hints that they would.若 $\theta(\omega)$ 在 $A[n]$ 所佔的頻帶上不是線性的，不同的包絡頻率就會承受不同的延遲，包絡因而被塗抹開來——這就是相位失真。投影片以一個很鮮明的例子收尾，本小節最後會完整推演一遍：一個由三段不同載波頻率的脈衝所組成的訊號，通過一個在其中兩個頻帶之間群延遲相差約 140 個樣本的系統——輸出端的脈衝以相反的順序出場，而大小響應完全看不出這件事會發生。$\theta(\omega)$ が $A[n]$ の占める帯域にわたって線形でない場合、包絡線の周波数ごとに遅れが異なり、包絡線はにじんでしまう。これが位相歪みである。講義は印象的な例で締めくくられる。本小節の最後で最後まで追う例である。搬送波周波数の異なる三つのパルスからなる信号を、そのうち二つの帯域のあいだで群遅延がおよそ 140 サンプルも違うシステムに通す。出力ではパルスが逆の順序で出てきて、そうなることは振幅応答からはまったく読み取れない。

Phase distortion — when θ(ω) is not a straight line across the signal band相位失真：當 θ(ω) 在訊號頻帶內不是直線位相歪み — θ(ω) が信号の帯域内で直線でないとき

From two lines to a real signal. The last sentence of slide 38: “If θ(ω) is not linear around ωc, A[n] suffers phase distortion → correction…”從兩條譜線到真實訊號。第 38 頁最後一句：「If θ(ω) is not linear around ωc, A[n] suffers phase distortion → correction…」2 本の線から現実の信号へ。スライド 38 の最後の一文：「If θ(ω) is not linear around ωc, A[n] suffers phase distortion → correction…」