Discrete Fourier Transform離散傅立葉變換離散フーリエ変換

8.1 From the DTFT to the DFT8.1 從 DTFT 到 DFT8.1 DTFT から DFT へ

8.1.1 The Fourier transform family8.1.1 傅立葉變換家族8.1.1 フーリエ変換の一族

Every Fourier representation pairs one domain with another, and discreteness in one domain forces periodicity in the other. The DTFT of Chapter 7 maps a discrete-time sequence to a continuous, periodic function $X(e^{j\omega})$ — useful analytically, but a computer cannot store a continuum of frequencies. The Discrete Fourier Transform（離散傅立葉變換）closes the loop: both domains are discrete and finite, so it is the only member of the family a computer can evaluate exactly.每一種傅立葉表示法都把一個定義域配對到另一個定義域，而且某一個域是離散的，就會逼得另一個域是週期的。第 7 章的 DTFT 把離散時間序列映到一個連續而且週期的函數 $X(e^{j\omega})$——分析上很好用，但電腦沒辦法儲存一整個連續的頻率軸。離散傅立葉變換（DFT）把這個迴圈收了起來：兩個域都是離散而且有限的，所以它是這個家族裡唯一能被電腦精確計算的成員。フーリエ表現はいずれも一方の領域をもう一方の領域と対にするものであり、一方の領域が離散であれば、もう一方は必ず周期的になる。第 7 章の DTFT は離散時間系列を連続かつ周期的な関数 $X(e^{j\omega})$ へ写す。解析には便利だが、計算機は連続な周波数軸をそのまま保持できない。離散フーリエ変換（DFT）はこの環を閉じる。両方の領域が離散かつ有限なので、計算機が厳密に評価できる一族唯一の成員である。

8.1.2 Discrete Fourier Series for periodic sequences8.1.2 週期序列的離散傅立葉級數8.1.2 周期系列の離散フーリエ級数

Let $\tilde{x}[n]$ be periodic（週期性序列）with period $N$: $\tilde{x}[n] = \tilde{x}[n+N]$ for all $n$. Such a sequence is fully described by one period, and it can be expanded on the $N$ harmonically related complex exponentials $e^{j2\pi kn/N}$, $k = 0,\dots,N-1$. This is the Discrete Fourier Series（離散傅立葉級數, DFS）:設 $\tilde{x}[n]$ 是週期為 $N$ 的週期序列：對所有 $n$ 都有 $\tilde{x}[n] = \tilde{x}[n+N]$。這樣的序列只要一個週期就能完整描述，而且可以用 $N$ 個成諧波關係的複指數 $e^{j2\pi kn/N}$（$k = 0,\dots,N-1$）展開。這就是離散傅立葉級數（DFS）：$\tilde{x}[n]$ を周期 $N$ の周期系列とする。すなわち、すべての $n$ について $\tilde{x}[n] = \tilde{x}[n+N]$ が成り立つ。このような系列は一周期だけで完全に記述でき、調和関係にある $N$ 個の複素指数 $e^{j2\pi kn/N}$（$k = 0,\dots,N-1$）で展開できる。これが離散フーリエ級数（DFS）である：

Both $\tilde{x}[n]$ and $\tilde{X}[k]$ are periodic with period $N$. The DFT defined next is numerically identical to one period of the DFS — the only difference is interpretation: the DFT treats $x[n]$ as a finite-length sequence on $0 \le n \le N-1$, while the DFS treats it as one period of an infinitely repeating signal.$\tilde{x}[n]$ 與 $\tilde{X}[k]$ 都是週期為 $N$ 的。接下來要定義的 DFT，在數值上完全等同於 DFS 的一個週期——唯一的差別在於詮釋：DFT 把 $x[n]$ 看成定義在 $0 \le n \le N-1$ 上的有限長度序列，而 DFS 把它看成一個無限重複訊號的其中一個週期。$\tilde{x}[n]$ も $\tilde{X}[k]$ も周期 $N$ の周期系列である。次に定義する DFT は、DFS の一周期と数値的に完全に一致する。違いは解釈だけである。DFT は $x[n]$ を $0 \le n \le N-1$ 上の有限長系列とみなすのに対し、DFS はそれを無限に繰り返す信号の一周期とみなす。

8.1.3 Sampling the DTFT8.1.3 對 DTFT 取樣8.1.3 DTFT の標本化

Take a finite-length sequence $x[n]$, $0 \le n \le L-1$, with DTFT $X(e^{j\omega})$. Evaluate (sample) the DTFT at $N$ equally spaced frequencies $\omega_k = 2\pi k/N$:取一個有限長度序列 $x[n]$（$0 \le n \le L-1$），其 DTFT 為 $X(e^{j\omega})$。在 $N$ 個等間隔的頻率 $\omega_k = 2\pi k/N$ 上對這個 DTFT 求值（取樣）：有限長系列 $x[n]$（$0 \le n \le L-1$）をとり、その DTFT を $X(e^{j\omega})$ とする。この DTFT を等間隔な $N$ 個の周波数 $\omega_k = 2\pi k/N$ で評価する（標本化する）：

Sampling in frequency causes periodization in time — the exact dual of Chapter 4, where sampling in time periodized the spectrum. Inverting the $N$ frequency samples returns not $x[n]$ itself but its periodic superposition:在頻域取樣會造成時域的週期化——這正好是第 4 章的對偶：在時域取樣會使頻譜週期化。把這 $N$ 個頻率樣本反變換回去，得到的並不是 $x[n]$ 本身，而是它的週期性疊加：周波数領域で標本化すると時間領域が周期化される。これは第 4 章の厳密な双対である。あちらでは時間領域の標本化がスペクトルを周期化した。$N$ 個の周波数標本を逆変換して得られるのは $x[n]$ そのものではなく、その周期的重ね合わせである：

• If the signal length $L \le N$: the shifted copies do not overlap → $x[n]$ is recovered exactly from one period. The $N$-point DFT loses nothing.若訊號長度 $L \le N$：平移後的各複本不會重疊 → 從一個週期就能精確還原 $x[n]$。$N$ 點 DFT 沒有損失任何東西。信号長が $L \le N$ の場合：シフトされた複製どうしは重ならない → 一周期から $x[n]$ が厳密に復元できる。$N$ 点 DFT は何も失わない。
• If $L > N$ (an overlength sequence): copies overlap → time aliasing（時域混疊）. The IDFT returns a corrupted, folded version of $x[n]$.若 $L > N$（超長序列）：複本重疊 → 發生時域混疊。IDFT 傳回的是 $x[n]$ 被折疊汙染後的版本。$L > N$ の場合（長すぎる系列）：複製が重なる → 時間領域エイリアシングが起こる。IDFT が返すのは、折り返しによって壊れた $x[n]$ である。

8.2 The DFT and Its Inverse8.2 DFT 與它的反變換8.2 DFT とその逆変換

8.2.1 Definition and the twiddle factor $W_N$8.2.1 定義與旋轉因子 $W_N$8.2.1 定義と回転因子 $W_N$

Define the twiddle factor（旋轉因子）$W_N$, the principal $N$-th root of unity:定義旋轉因子 $W_N$，也就是 $N$ 次單位根的主值：回転因子 $W_N$、すなわち $N$ 乗根の主値を次のように定義する：

Useful identities, used constantly in derivations and in the FFT of the next chapter:以下幾個恆等式在推導中以及下一章的 FFT 裡會不斷用到：以下の恒等式は、諸々の導出でも次章の FFT でも絶えず用いられる：

• Periodicity: $W_N^{k+N} = W_N^{k}$週期性：$W_N^{k+N} = W_N^{k}$周期性：$W_N^{k+N} = W_N^{k}$
• Symmetry: $W_N^{k+N/2} = -W_N^{k}$ (for even $N$)對稱性：$W_N^{k+N/2} = -W_N^{k}$（$N$ 為偶數時）対称性：$W_N^{k+N/2} = -W_N^{k}$（$N$ が偶数のとき）
• Halving: $W_N^{2} = W_{N/2}$折半：$W_N^{2} = W_{N/2}$半減：$W_N^{2} = W_{N/2}$
• Orthogonality: $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} W_N^{(k-l)n} = N\,\delta[((k-l))_N]$ — a geometric series that sums to $N$ when $k \equiv l \pmod N$ and to $0$ otherwise.正交性：$\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} W_N^{(k-l)n} = N\,\delta[((k-l))_N]$——這是一個等比級數，當 $k \equiv l \pmod N$ 時總和為 $N$，其餘情況為 $0$。直交性：$\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} W_N^{(k-l)n} = N\,\delta[((k-l))_N]$ — これは等比級数であり、$k \equiv l \pmod N$ のとき $N$ に、それ以外では $0$ になる。

Notation: we write $x[n] \;\overset{\text{DFT}}{\longleftrightarrow}\; X[k]$, and $((n))_N$ means $n$ modulo $N$（$n$ 對 $N$ 取餘數）.記號：我們寫成 $x[n] \;\overset{\text{DFT}}{\longleftrightarrow}\; X[k]$，而 $((n))_N$ 表示 $n$ 對 $N$ 取餘數。記法：$x[n] \;\overset{\text{DFT}}{\longleftrightarrow}\; X[k]$ と書き、$((n))_N$ は $n$ を $N$ で割った余り（$n$ を $N$ で割った剰余）を表す。

8.2.2 The inverse DFT8.2.2 反 DFT8.2.2 逆 DFT

Proof that IDFT inverts the DFT. Substitute the DFT into the IDFT and swap sums:證明 IDFT 確實是 DFT 的反變換。把 DFT 代入 IDFT 並交換求和次序：IDFT が DFT の逆変換であることの証明。DFT を IDFT に代入し、和の順序を交換する：

The inner sum is the orthogonality identity above — it acts as a Kronecker delta and sifts out exactly the term $l=n$.內層的總和就是上面那個正交性恆等式——它的作用像一個 Kronecker delta，只篩出 $l=n$ 那一項。内側の和は上の直交性の恒等式そのものである。これは Kronecker のデルタとして働き、$l=n$ の項だけをふるい出す。

The same proof, symbol by symbol同一個證明，逐個符號拆開同じ証明を、記号ごとに追う

The four lines above are compressed. Here is the same argument with every symbol named before it is used.上面那四行壓得很緊。以下是同一個論證，但每個符號都先定義再使用。上の四行は圧縮されている。以下は同じ論証を、使う前にすべての記号を定義しながら述べたものである。

Two of the $W_N$ identities from §8.2.1 do all the work: exponents add, $W_N^{a}W_N^{b} = W_N^{a+b}$, and period $N$, $W_N^{N} = e^{-j2\pi} = 1$, hence $W_N^{a+N} = W_N^{a}$. (The orthogonality identity listed there is the same sum we are about to evaluate, with the roles of the time and frequency indices exchanged.)真正出力的只有 §8.2.1 那幾條 $W_N$ 恆等式中的兩條：指數相加，$W_N^{a}W_N^{b} = W_N^{a+b}$；以及週期為 $N$，$W_N^{N} = e^{-j2\pi} = 1$，因此 $W_N^{a+N} = W_N^{a}$。（那裡列出的正交性恆等式，其實就是我們接下來要算的這個和，只是時間索引與頻率索引的角色對調。）実際に効いているのは §8.2.1 の $W_N$ 恒等式のうち二つだけである。指数は加わること、$W_N^{a}W_N^{b} = W_N^{a+b}$、そして周期は $N$ であること、$W_N^{N} = e^{-j2\pi} = 1$、したがって $W_N^{a+N} = W_N^{a}$。（そこに挙げた直交性の恒等式は、これから評価する和そのものであり、時間索引と周波数索引の役割が入れ替わっているだけである。）

A concrete check: $N=4$動手驗一次：$N=4$実際に確かめる：$N=4$

$W_4 = e^{-j2\pi/4} = e^{-j\pi/2} = -j$, so the powers of $W_4$ cycle through $1, -j, -1, j$.$W_4 = e^{-j2\pi/4} = e^{-j\pi/2} = -j$，所以 $W_4$ 的次方循環走過 $1, -j, -1, j$。$W_4 = e^{-j2\pi/4} = e^{-j\pi/2} = -j$ なので、$W_4$ のべき乗は $1, -j, -1, j$ を巡回する。

Only $m=0$ gives a nonzero sum, and that sum is exactly $N=4$.只有 $m=0$ 的那一列總和不為零，而且那個總和剛好就是 $N=4$。和がゼロでないのは $m=0$ の行だけであり、その和はちょうど $N=4$ である。

8.2.3 Basic DFT examples8.2.3 基本的 DFT 範例8.2.3 基本的な DFT の例

Why the cosine gives two spikes of height $N/2$為什麼餘弦波會給出兩根高度 $N/2$ 的譜線なぜ余弦波は高さ $N/2$ の尖りを二本生むのか

The cosine step above is compressed into one line. Unpacked, it is just Euler's formula followed by the same rotated-vector sum that proved the IDFT in §8.2.2. The cosine splits into two complex exponentials, and each one lines up with exactly one DFT basis vector and produces exactly one spike.上面那個餘弦波的步驟壓成了一行。拆開來看，它不過是 Euler 公式，加上 §8.2.2 證明 IDFT 時用的那個「旋轉向量和」而已。餘弦波被拆成兩個複指數，而每一個都恰好對準一個 DFT 基底向量，產生恰好一根譜線。上の余弦波のステップは一行に圧縮されている。ほどいてみれば、Euler の公式に、§8.2.2 で IDFT を証明したのと同じ回転ベクトルの和を続けただけである。余弦波は二つの複素指数に分かれ、そのそれぞれがちょうど一つの DFT 基底ベクトルと揃い、ちょうど一本の尖りを生む。

Four things are worth watching as you move the sliders:移動滑桿時，有四件事值得留意：スライダーを動かすとき、注目に値することが四つある：

• Two spikes, mirror images. They sit at $k = k_0$ and $k = N-k_0$, symmetric about $N/2$. Bin $N-k_0$ is the frequency $-k_0$, wrapped around, because the DFT index is periodic with period $N$ — and a real cosine needs both the $+k_0$ and $-k_0$ components.兩根互為鏡像的譜線。它們坐在 $k = k_0$ 與 $k = N-k_0$，對 $N/2$ 對稱。第 $N-k_0$ 格就是頻率 $-k_0$ 繞回來的結果，因為 DFT 的索引以 $N$ 為週期——而一個實數餘弦波同時需要 $+k_0$ 與 $-k_0$ 兩個成分。鏡像をなす二本の尖り。それらは $k = k_0$ と $k = N-k_0$ にあり、$N/2$ について対称である。ビン $N-k_0$ は、周り込んだ周波数 $-k_0$ そのものである。DFT の索引は周期 $N$ をもち、実数の余弦波は $+k_0$ と $-k_0$ の両成分を必要とするからである。
• Height $N/2$. The $\tfrac12$ comes from Euler's split in Step 1; the $N$ comes from adding $N$ aligned unit vectors in Step 2.高度為 $N/2$。那個 $\tfrac12$ 來自步驟 1 的 Euler 拆解；那個 $N$ 來自步驟 2 裡 $N$ 個同向單位向量相加。高さは $N/2$。$\tfrac12$ はステップ 1 の Euler による分割から来る。$N$ はステップ 2 で $N$ 本の向きの揃った単位ベクトルを足したことから来る。
• Every other bin is exactly zero. Because $k_0$ is an integer, the cosine completes a whole number of cycles in $N$ samples, so it is orthogonal to every other DFT basis vector — the closed polygon of §8.2.2. A non-integer $k_0$ would spread energy into the neighbours instead: spectral leakage（頻譜洩漏）, §8.7.其餘每一格都恰好是零。因為 $k_0$ 是整數，餘弦波在 $N$ 個樣本裡剛好走完整數個週期，所以它和其他每一個 DFT 基底向量都正交——也就是 §8.2.2 的那個封閉多邊形。若 $k_0$ 不是整數，能量就會散到鄰近的格子裡：這就是頻譜洩漏，見 §8.7。他のビンはすべて厳密にゼロ。$k_0$ が整数なので、余弦波は $N$ 標本の中でちょうど整数回の周期を終える。ゆえに他のどの DFT 基底ベクトルとも直交する —— §8.2.2 の閉じた多角形である。$k_0$ が整数でなければ、エネルギーは代わりに隣のビンへ広がる。これがスペクトル漏れであり、§8.7 で扱う。
• The two edge cases. At $k_0 = 0$ the signal is the constant $x[n]=1$ and at $k_0 = N/2$ it is $x[n] = (-1)^n$; in both the two spikes land on the same bin and add to $N$ rather than $N/2$. The boxed formula assumes $k_0 \ne 0$ and $k_0 \ne N/2$. Push $k_0$ past $N/2$ and the samples trace a slower cosine — that is aliasing, $\cos(2\pi k_0 n/N) = \cos(2\pi (N-k_0) n/N)$, which is why the pair of spikes simply swaps sides.兩個邊界情況。$k_0 = 0$ 時訊號是常數 $x[n]=1$，$k_0 = N/2$ 時是 $x[n] = (-1)^n$；這兩種情況下兩根譜線會落在同一格，相加成為 $N$ 而不是 $N/2$。框起來的公式假設 $k_0 \ne 0$ 且 $k_0 \ne N/2$。把 $k_0$ 推過 $N/2$，樣本看起來會描出一條更慢的餘弦——那就是混疊：$\cos(2\pi k_0 n/N) = \cos(2\pi (N-k_0) n/N)$，這也是為什麼那一對譜線只是左右對調。二つの境界の場合。$k_0 = 0$ では信号は定数 $x[n]=1$ であり、$k_0 = N/2$ では $x[n] = (-1)^n$ となる。どちらも二本の尖りが同じビンに落ち、$N/2$ ではなく $N$ に加わる。枠内の公式は $k_0 \ne 0$ かつ $k_0 \ne N/2$ を仮定している。$k_0$ を $N/2$ より先へ押しやると、標本はより遅い余弦波をなぞる。これがエイリアシングであり、$\cos(2\pi k_0 n/N) = \cos(2\pi (N-k_0) n/N)$ が成り立つからこそ、二本の尖りは単に左右を入れ替えるのである。

8.2.4 The periodic sinc (Dirichlet kernel)8.2.4 週期性 sinc（Dirichlet 核）8.2.4 周期 sinc（Dirichlet 核）

The most important transform pair of the chapter: the length-$L$ rectangular pulse $x[n] = 1$, $0\le n\le L-1$. Its DTFT is a geometric series:本章最重要的一組變換對：長度為 $L$ 的矩形脈衝 $x[n] = 1$（$0\le n\le L-1$）。它的 DTFT 是一個等比級數：本章で最も重要な変換対：長さ $L$ の矩形パルス $x[n] = 1$（$0\le n\le L-1$）。その DTFT は等比級数である：

The magnitude $\left|\sin(\omega L/2)/\sin(\omega/2)\right|$ is the periodic sinc: main-lobe peak $L$ at $\omega = 0$, zeros at $\omega = 2\pi m/L$ ($m$ not a multiple of $L$), main-lobe width $4\pi/L$, and — unlike the continuous sinc — it is $2\pi$-periodic and returns to height $L$ at every multiple of $2\pi$.振幅 $\left|\sin(\omega L/2)/\sin(\omega/2)\right|$ 就是週期性 sinc：在 $\omega = 0$ 處主瓣峰值為 $L$，零點位於 $\omega = 2\pi m/L$（$m$ 不為 $L$ 的倍數），主瓣寬度為 $4\pi/L$；而且——與連續的 sinc 不同——它是以 $2\pi$ 為週期的，在每一個 $2\pi$ 的倍數處都會回到高度 $L$。振幅 $\left|\sin(\omega L/2)/\sin(\omega/2)\right|$ が周期 sinc である。$\omega = 0$ で主ローブの頂点が $L$、零点は $\omega = 2\pi m/L$（$m$ は $L$ の倍数でない）、主ローブ幅は $4\pi/L$ であり、しかも —— 連続の sinc とは違って —— 周期 $2\pi$ をもち、$2\pi$ の倍数のたびに高さ $L$ へ戻る。

Now sample it. With $N = L = 8$, every DFT sample except $k=0$ lands exactly on a zero crossing of the periodic sinc — the DFT sees only $X[0]=8$ and looks deceptively like an impulse. With $N = 32$ (zero padding the same 8 samples), the DFT samples trace out the full lobe structure:現在對它取樣。當 $N = L = 8$ 時，除了 $k=0$ 以外，每一個 DFT 樣本都正好落在週期性 sinc 的零交越點上——DFT 只看得到 $X[0]=8$，看起來會誤以為是一個脈衝。改成 $N = 32$（把同樣的 8 個樣本補零），DFT 的樣本才描出完整的旁瓣結構：これを標本化してみよう。$N = L = 8$ では、$k=0$ を除くすべての DFT 標本が周期 sinc の零交差点にちょうど落ちる。DFT には $X[0]=8$ しか見えず、紛らわしくもインパルスのように見える。$N = 32$ にすると（同じ 8 標本にゼロ詰めする）、DFT の標本がローブ構造を余さずなぞり出す：

8.2.5 Recovering the DTFT from the DFT8.2.5 由 DFT 還原 DTFT8.2.5 DFT から DTFT を復元する

§8.1.3 sampled the DTFT to get the DFT. This section runs the arrow backwards: the $N$ DFT samples $X[k]$ already determine the entire continuous DTFT $X(e^{j\omega})$ of a length-$N$ sequence. The values between the samples are filled in by the periodic sinc kernel of §8.2.4. This is the frequency-domain twin of the sinc interpolation that reconstructed a signal from its samples when we upsampled.§8.1.3 是對 DTFT 取樣得到 DFT。本節把箭頭反過來：$N$ 個 DFT 樣本 $X[k]$ 就能決定長度為 $N$ 之序列的整條連續 DTFT $X(e^{j\omega})$。樣本之間的值由 §8.2.4 的週期性 sinc核函數補上。這就是先前升取樣投影片中 sinc 內插的頻域版本。§8.1.3 では DTFT を標本化して DFT を得た。本節は矢印を逆向きに辿る。$N$ 個の DFT 標本 $X[k]$ は、長さ $N$ の系列の連続な DTFT $X(e^{j\omega})$ 全体をすでに決定している。標本と標本のあいだの値は、§8.2.4 の周期 sinc 核によって埋められる。これは、アップサンプリングの際に標本から信号を再構成した sinc 内挿の、周波数領域における双子である。

In words: the DTFT at any $\omega$ is a weighted sum of the $N$ DFT values, the weight of bin $k$ depending only on how far $\omega$ sits from that bin.這條式子的意思是：任意 $\omega$ 處的 DTFT，都是 $N$ 個 DFT 值的加權和。第 $k$ 個格點的權重取決於 $\omega$ 離該格點多遠。言葉で言えば、任意の $\omega$ における DTFT は $N$ 個の DFT 値の重み付き和である。ビン $k$ の重みは、$\omega$ がそのビンからどれだけ離れているかだけで決まる。

Why "factor out half the angle" works為什麼「提出半角」行得通なぜ「半角をくくり出す」とうまくいくのか

Step 3 above pulled a half-angle exponential out of the numerator and the denominator. That one move is what turns a messy complex fraction into a pure phase times a purely real function, so it is worth doing slowly.上面的步驟 3 從分子和分母各提出了一個半角的指數。正是這一步，把一個雜亂的複數分式變成「純相位 × 純實數函數」，所以值得慢慢走一遍。上のステップ 3 では、分子と分母から半角の指数をくくり出した。この一手こそが、ごちゃついた複素分数を「純位相 × 純実関数」に変えるものなので、ゆっくり辿る価値がある。

Key values of the real factor實數部分的關鍵值実数因子の主要な値

The slide's picture drops the phase factor. That is exact when $x[n]$ is symmetric, $x[n] = x[N-1-n]$: the linear phase factors out completely and the remaining real amplitude is interpolated by the real kernel alone. The plot above uses a symmetric $x[n]$, so it is exact. Things worth trying with the sliders:投影片的圖省略了相位因子。當 $x[n]$ 對稱，即 $x[n] = x[N-1-n]$ 時，這樣做是精確的：線性相位可以整個提出來，剩下的實數振幅只靠實數核函數內插。上圖使用對稱的 $x[n]$，因此結果是精確的。可以用滑桿試試以下幾件事：スライドの図は位相因子を落としている。それが厳密に正しいのは $x[n]$ が対称、すなわち $x[n] = x[N-1-n]$ のときである。そのとき線形位相は完全にくくり出され、残った実数振幅は実数核だけで内挿される。上の図は対称な $x[n]$ を用いているので厳密である。スライダーで試してみる価値のあることは：

• Put $\omega_0$ exactly on a bin (the readout shows an integer). Only one coloured dot is nonzero, so the black curve equals $X[k]$ there — every other kernel sits precisely on a zero.把 $\omega_0$ 精確放在某個格點上（讀數顯示整數）。只有一個彩色點非零，所以黑色曲線在該處等於 $X[k]$。其他核函數都正好落在零點上。$\omega_0$ をちょうどビン上に置く（読み値が整数になる）。非零の色付きの点は一つだけなので、黒い曲線はそこで $X[k]$ に等しい。他の核はすべてきっかり零点に乗っている。
• Put $\omega_0$ between bins. Every kernel contributes, some positive and some negative, and the total is the black dot. This is the "interpolation" of the boxed formula.把 $\omega_0$ 放在格點之間。所有核函數都有貢獻，有正有負，總和就是黑點。這就是方框公式所說的「內插」。$\omega_0$ をビンとビンのあいだに置く。すべての核が正負さまざまに寄与し、その総和が黒い点になる。これが枠内の公式のいう「内挿」である。
• Increase $N$. The main lobe narrows to $4\pi/N$ and the DFT samples crowd closer together.增加 $N$。核函數的主瓣寬度縮小為 $4\pi/N$，DFT 樣本也彼此更靠近。$N$ を増やす。主ローブは $4\pi/N$ まで狭まり、DFT 標本どうしの間隔も詰まる。

The kernel is complex: magnitude and twist核函數是複數：大小與扭轉核は複素数である：大きさとねじれ

The boxed formula has two factors, and the plot above showed only the real one. Seen in 3-D, the complex kernel $D(\Delta\omega)/N$ is a curve that corkscrews around the $\Delta\omega$ axis:方框裡的公式有兩個因子，而上面的圖只畫了實數那一個。若放到 3-D 來看，複數核函數 $D(\Delta\omega)/N$ 是一條繞著 $\Delta\omega$ 軸旋轉前進的曲線：枠内の公式には二つの因子があるが、上の図は実数のほうしか描いていない。3 次元で見ると、複素核 $D(\Delta\omega)/N$ は $\Delta\omega$ 軸のまわりを螺旋状に進む曲線である：

• The real factor sets the distance from the axis, namely $\left|\frac{\sin(N\Delta\omega/2)}{N\sin(\Delta\omega/2)}\right|$: it is 1 at $\Delta\omega = 0$, shrinks to 0 at every multiple of $2\pi/N$ (where the curve crosses the axis), and the side lobes are smaller loops.實數因子決定離軸的距離，也就是 $\left|\frac{\sin(N\Delta\omega/2)}{N\sin(\Delta\omega/2)}\right|$：在 $\Delta\omega = 0$ 時為 1，在 $2\pi/N$ 的每個整數倍處縮為 0（曲線在該處穿過軸），而旁瓣則是較小的圈。実数因子が軸からの距離を決める。すなわち $\left|\frac{\sin(N\Delta\omega/2)}{N\sin(\Delta\omega/2)}\right|$ である。$\Delta\omega = 0$ で 1、$2\pi/N$ の倍数ごとに 0 に縮み（そこで曲線は軸を横切る）、サイドローブはより小さな輪になる。
• The phase factor $e^{-j\frac{N-1}{2}\Delta\omega}$ sets the rotation angle. The angle turns steadily as $\Delta\omega$ grows, so the curve twists around the axis like a corkscrew; each time the real factor changes sign the curve flips to the opposite side.相位因子 $e^{-j\frac{N-1}{2}\Delta\omega}$ 決定旋轉的角度。隨著 $\Delta\omega$ 增大，角度穩定地轉動，所以曲線像螺旋一樣繞著軸扭轉；每當實數因子變號，曲線就翻到軸的另一側。位相因子 $e^{-j\frac{N-1}{2}\Delta\omega}$ が回転角を決める。$\Delta\omega$ が増えるにつれて角度は一定の割合で回るので、曲線はコルクの栓抜きのように軸のまわりをねじれていく。実数因子が符号を変えるたびに、曲線は軸の反対側へ跳ぶ。
• The projections. The back wall shows the real part and the floor shows the imaginary part. Neither projection on its own is the periodic sinc — only after the twist is removed does the real sinc-like shape of the 2-D plot reappear.投影。後牆顯示實部，地板顯示虛部。兩個投影單獨看都不是週期性 sinc——唯有把扭轉（相位因子）拿掉之後，才會得到前面 2-D 圖裡那個實數的 sinc 形狀。投影。奥の壁が実部を、床が虚部を示す。どちらの投影も単独では周期 sinc ではない。ねじれを取り去って初めて、2 次元の図で見たあの実数の sinc 的な形が姿を現す。
• $N = 2$ is a useful special case: with no side lobes at all, the curve is a single smooth twist.$N = 2$ 是一個有用的特例：完全沒有旁瓣，整條曲線就是一道平順的扭轉。$N = 2$ は有用な特別な場合である。サイドローブがまったくないので、曲線は一本のなめらかなねじれになる。

8.2.6 The same idea three times: comparing the interpolation formulas8.2.6 同一個想法出現三次：三個內插公式的比較8.2.6 同じ発想が三度：内挿公式の比較

§8.2.5 is the third time this course has reconstructed a continuous curve from a discrete set of samples, and all three times the machinery was identical. Lining them up makes the pattern — and the one genuine difference — obvious.§8.2.5 已經是本課程第三次「由離散的樣本重建出一條連續曲線」了，而且這三次用的機制完全相同。把它們並排放在一起，共通的模式——以及唯一真正的差異——就一目了然。§8.2.5 は、本講義で離散的な標本の組から連続な曲線を再構成した三度目であり、三度とも仕組みは同一であった。並べてみれば、共通の型 —— そして唯一の本物の違い —— がはっきりする。

The one real difference: why a periodic sinc唯一真正的差異：為什麼是週期性 sinc唯一の本物の違い：なぜ周期 sinc なのか

A sinc is what you get when you transform a rectangle. Which kind of sinc depends on whether the axis the rectangle sits on is continuous or discrete:對一個矩形做變換就會得到 sinc。至於得到哪一種 sinc，取決於矩形所在的那條軸是連續的還是離散的：矩形を変換すれば sinc が出てくる。どの種類の sinc になるかは、矩形が載っている軸が連続か離散かで決まる：

• In §6.4.2 the rectangle is the ideal lowpass $H_r(j\Omega)$ on the continuous frequency axis. Its inverse transform is the ordinary sinc — infinite support, decaying like $1/t$, never repeating.在 §6.4.2 裡，矩形是連續頻率軸上的理想低通 $H_r(j\Omega)$。它的反變換是一般的 sinc——無限長、以 $1/t$ 衰減、不會重複。§6.4.2 では、矩形は連続な周波数軸上の理想低域通過 $H_r(j\Omega)$ である。その逆変換はふつうの sinc であり、台は無限に広がり、$1/t$ のように減衰し、繰り返さない。
• In §8.2.5 the rectangle is the length-$N$ window on the discrete time axis. Its transform is the Dirichlet kernel of §8.2.4, and it is $2\pi$-periodic for the same reason every DTFT is: the dual of a discrete variable is a periodic one.在 §8.2.5 裡，矩形是離散時間軸上長度為 $N$ 的窗。它的變換就是 §8.2.4 的 Dirichlet 核，而它以 $2\pi$ 為週期的理由，和所有 DTFT 都是週期的理由一樣：離散變數的對偶是週期變數。§8.2.5 では、矩形は離散な時間軸上の長さ $N$ の窓である。その変換が §8.2.4 の Dirichlet 核であり、それが周期 $2\pi$ をもつ理由は、あらゆる DTFT が周期的である理由と同じである。離散な変数の双対は周期的な変数なのである。

8.3 Matrix Form of the DFT8.3 DFT 的矩陣形式8.3 DFT の行列形式

8.3.1 The DFT matrix8.3.1 DFT 矩陣8.3.1 DFT 行列

Because the DFT is a linear map from $N$ samples to $N$ coefficients, it is a matrix–vector product. Stack the signal into $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] & x[1] & \cdots & x[N-1]\end{bmatrix}^{T}$ and define the $N \times N$ DFT matrix $\mathbf{W}_N$ with entries $[\mathbf{W}_N]_{k,n} = W_N^{kn}$:由於 DFT 是一個從 $N$ 個樣本映到 $N$ 個係數的線性映射，它就是一個矩陣與向量的乘積。把訊號疊成 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] & x[1] & \cdots & x[N-1]\end{bmatrix}^{T}$，並定義元素為 $[\mathbf{W}_N]_{k,n} = W_N^{kn}$ 的 $N \times N$ DFT 矩陣 $\mathbf{W}_N$：DFT は $N$ 個の標本から $N$ 個の係数への線形写像なので、行列とベクトルの積である。信号を $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x[0] & x[1] & \cdots & x[N-1]\end{bmatrix}^{T}$ と積み上げ、成分が $[\mathbf{W}_N]_{k,n} = W_N^{kn}$ である $N \times N$ の DFT 行列 $\mathbf{W}_N$ を定義する：

$\mathbf{W}_N$ is a symmetric Vandermonde matrix（symmetric：$\mathbf{W}_N^{T} = \mathbf{W}_N$，因為 $W_N^{kn}=W_N^{nk}$）. For example,$\mathbf{W}_N$ 是一個對稱的 Vandermonde 矩陣（對稱是指 $\mathbf{W}_N^{T} = \mathbf{W}_N$，因為 $W_N^{kn}=W_N^{nk}$）。舉例來說，$\mathbf{W}_N$ は対称な Vandermonde 行列である（対称とは $\mathbf{W}_N^{T} = \mathbf{W}_N$ のこと。$W_N^{kn}=W_N^{nk}$ だからである）。たとえば、

8.3.2 The IDFT matrix8.3.2 IDFT 矩陣8.3.2 IDFT 行列

From the orthogonality identity, the rows of $\mathbf{W}_N$ are orthogonal with norm-squared $N$, so the inverse needs no Gaussian elimination:由正交性恆等式可知，$\mathbf{W}_N$ 的各列互相正交、範數平方為 $N$，所以求反矩陣根本不需要高斯消去法：直交性の恒等式から、$\mathbf{W}_N$ の各行は互いに直交し、ノルムの二乗は $N$ である。したがって逆行列に Gauss の消去法は要らない：

Equivalently $\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{W}_N$ is a unitary matrix（么正矩陣）. Two consequences:等價地說，$\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{W}_N$ 是一個么正矩陣。由此可得兩個推論：同じことだが、$\frac{1}{\sqrt{N}}\mathbf{W}_N$ はユニタリ行列である。ここから二つの帰結が得られる：

• The DFT preserves energy up to the factor $N$ — this is Parseval's relation (§8.4.4).DFT 在相差一個因子 $N$ 的意義下保持能量——這就是 Parseval 關係（§8.4.4）。DFT は因子 $N$ を除いてエネルギーを保存する —— これが Parseval の関係である（§8.4.4）。
• Inverting the DFT costs no more than applying it: conjugate, multiply, divide by $N$.求 DFT 的反變換，代價並不比做正變換高：取共軛、相乘、再除以 $N$。DFT の逆変換の手間は正変換と変わらない。共役をとり、掛け、$N$ で割るだけである。

8.3.3 DFT in MATLAB8.3.3 MATLAB 中的 DFT8.3.3 MATLAB での DFT

MATLAB computes the DFT with fft and the IDFT with ifft (both use FFT algorithms regardless of whether $N$ is a power of two). Key conventions to remember:MATLAB 用 fft 計算 DFT、用 ifft 計算 IDFT（不論 $N$ 是不是 2 的冪次，兩者都採用 FFT 演算法）。幾個一定要記住的慣例：MATLAB は DFT を fft で、IDFT を ifft で計算する（$N$ が 2 のべき乗かどうかに関わらず、どちらも FFT アルゴリズムを用いる）。覚えておくべき主な約束事は次のとおり：

• X = fft(x) uses $N = $ length(x); X = fft(x, N) zero-pads or truncates to $N$ first.X = fft(x) 取 $N = $ length(x)；X = fft(x, N) 則會先補零或截斷到 $N$。X = fft(x) は $N = $ length(x) をとる。X = fft(x, N) はまず $N$ までゼロ詰めするか、そこまで切り詰める。
• Indices are 1-based: bin $k$ lives in X(k+1). DC is X(1).索引是從 1 開始的：第 $k$ 格存在 X(k+1)。直流項是 X(1)。索引は 1 始まりである。ビン $k$ は X(k+1) にある。直流は X(1) である。
• Bin-to-frequency mapping for sampling rate $F_s$: $f_k = k F_s/N$ Hz; bins above $N/2$ represent negative frequencies. fftshift recenters the spectrum.在取樣率為 $F_s$ 時，頻格與頻率的對應為 $f_k = k F_s/N$ Hz；超過 $N/2$ 的頻格代表負頻率。fftshift 可以把頻譜重新置中。標本化レートが $F_s$ のときのビンと周波数の対応は $f_k = k F_s/N$ Hz である。$N/2$ を超えるビンは負の周波数を表す。fftshift でスペクトルを中央に置き直せる。
• The DFT matrix itself: dftmtx(N), or build it directly as W.^(n'*k) as in Exercise 6.DFT 矩陣本身可以用 dftmtx(N)，或像習題 6 那樣直接以 W.^(n'*k) 建構。DFT 行列そのものは dftmtx(N) で得られる。あるいは演習 6 のように W.^(n'*k) と直接構成してもよい。

8.4 DFT Properties8.4 DFT 的性質8.4 DFT の性質

8.4.1 Linearity and circular shifts8.4.1 線性與圓周位移8.4.1 線形性と円状シフト

Linearity（線性）. If both sequences are defined on the same $N$-point grid, $a\,x_1[n] + b\,x_2[n] \;\longleftrightarrow\; a\,X_1[k] + b\,X_2[k]$. If lengths differ, zero-pad both to a common $N$ first.線性。若兩個序列定義在同一組 $N$ 點格點上，則 $a\,x_1[n] + b\,x_2[n] \;\longleftrightarrow\; a\,X_1[k] + b\,X_2[k]$。若長度不同，要先把兩者補零到共同的 $N$。線形性。二つの系列が同じ $N$ 点格子の上で定義されていれば、$a\,x_1[n] + b\,x_2[n] \;\longleftrightarrow\; a\,X_1[k] + b\,X_2[k]$ が成り立つ。長さが違う場合は、まず両方を共通の $N$ までゼロ詰めする。

Circular time shift（循環時間位移）. Because the DFT views $x[n]$ as one period of a periodic sequence, "shifting" means rotating the samples around a circle of circumference $N$:循環時間位移。因為 DFT 把 $x[n]$ 看成某個週期序列的一個週期，所謂「位移」就是在一個周長為 $N$ 的圓上旋轉這些樣本：円状時間シフト。DFT は $x[n]$ をある周期系列の一周期とみなすので、「シフト」とは周長 $N$ の円のまわりで標本を回転させることを意味する：

Magnitude is untouched; only a linear phase ramp is added — exactly like the DTFT shift theorem, but with the shift interpreted modulo $N$. Samples pushed past $n = N-1$ wrap around to $n = 0$:振幅完全不受影響，只是加上一個線性的相位斜坡——這和 DTFT 的位移定理一模一樣，只是位移要對 $N$ 取模來解讀。被推過 $n = N-1$ 的樣本會繞回到 $n = 0$：振幅は手つかずで、加わるのは線形の位相の傾斜だけである —— DTFT のシフト定理とまったく同じだが、シフトを $N$ を法として解釈する点が異なる。$n = N-1$ の先へ押し出された標本は $n = 0$ へ巻き戻る：

Circular frequency shift / modulation（調變）. The dual statement:循環頻率位移／調變。對偶的敘述是：円状周波数シフト／変調。双対な主張は次のとおり：

8.4.2 Reversal and conjugate symmetry8.4.2 反轉與共軛對稱8.4.2 反転と共役対称性

Circular time reversal（循環時間反轉）. Reversal modulo $N$ keeps $x[0]$ in place and reverses the rest: $x[((-n))_N] = x[((N-n))_N]$, i.e. $\{x[0], x[N-1], x[N-2], \dots, x[1]\}$.循環時間反轉。對 $N$ 取模的反轉會讓 $x[0]$ 留在原位、其餘倒過來：$x[((-n))_N] = x[((N-n))_N]$，也就是 $\{x[0], x[N-1], x[N-2], \dots, x[1]\}$。円状時間反転。$N$ を法とする反転は $x[0]$ をその場に残し、残りを逆順にする。すなわち $x[((-n))_N] = x[((N-n))_N]$、つまり $\{x[0], x[N-1], x[N-2], \dots, x[1]\}$ である。

The rule is easier to see than to say. Pin the $N$ samples to a circle and the reversal becomes a single physical motion: the circle turned over about the diameter through $x[0]$. The sample sitting on that axis cannot go anywhere, which is exactly why $x[0]$ stays at $n=0$ while everything else runs backwards.這條規則用看的比用說的容易。把 $N$ 個樣本釘在圓上，反轉就變成一個實際的動作：沿著通過 $x[0]$ 的直徑把圓翻過來。坐在那條軸上的樣本哪裡也去不了，這正是 $x[0]$ 留在 $n=0$、其餘全部倒過來的原因。この規則は語るより見るほうが易しい。$N$ 個の標本を円上に留めれば、反転は一つの物理的な動作になる。$x[0]$ を通る直径を軸として、円をひっくり返すのである。その軸の上に乗っている標本はどこへも行けない。それこそが、$x[0]$ が $n=0$ に残り、ほかのすべてが逆順になる理由である。

Working it out point by point for $N = 5$用 $N = 5$ 逐點計算$N = 5$ で一点ずつ計算する

$((-n))_N$ means $-n$ reduced modulo $N$ (mod $N$), so the result lands in $0,\dots,N-1$:$((-n))_N$ 代表 $-n$ 對 $N$ 取模（mod $N$），結果落在 $0,\dots,N-1$：$((-n))_N$ は $-n$ を $N$ で割った剰余（mod $N$）を表し、結果は $0,\dots,N-1$ に収まる：

So所以したがって

$$\{x[0],\ x[1],\ x[2],\ x[3],\ x[4]\} \;\longrightarrow\; \{x[0],\ \underbrace{x[4],\ x[3],\ x[2],\ x[1]}_{\text{order reversed}}\}$$$$\{x[0],\ x[1],\ x[2],\ x[3],\ x[4]\} \;\longrightarrow\; \{x[0],\ \underbrace{x[4],\ x[3],\ x[2],\ x[1]}_{\text{順序倒過來}}\}$$$$\{x[0],\ x[1],\ x[2],\ x[3],\ x[4]\} \;\longrightarrow\; \{x[0],\ \underbrace{x[4],\ x[3],\ x[2],\ x[1]}_{\text{逆順になる}}\}$$

Against the figure in the slides對照投影片的圖スライドの図と見比べる

Upper plot, window $0 \sim 4$ (in cyan): $x[0]$ is very low, and after it $x[1] \to x[4]$ climbs steadily upwards.上圖視窗 $0 \sim 4$（青色）：$x[0]$ 很低，接著 $x[1] \to x[4]$ 逐漸上升。上の図の窓 $0 \sim 4$（シアン）：$x[0]$ はとても低く、続いて $x[1] \to x[4]$ がしだいに上昇する。

Lower plot, window $0 \sim 4$: $x[0]$ is still very low (it has not moved), and after it the curve starts from its highest point and falls away. That is exactly the order $x[4], x[3], x[2], x[1]$. Panels ① and ② of the interactive figure above are those same two pictures.下圖視窗 $0 \sim 4$：$x[0]$ 仍然很低（沒動），接著從最高點開始逐漸下降。這正是 $x[4], x[3], x[2], x[1]$ 的順序。上面互動圖的 ① 與 ② 就是這兩張圖。下の図の窓 $0 \sim 4$：$x[0]$ は依然としてとても低く（動いていない）、その後は最高点から出発してしだいに下降する。これがまさに $x[4], x[3], x[2], x[1]$ の順である。上のインタラクティブ図の ① と ② が、ちょうどこの二枚にあたる。

Why this is not just the sequence written backwards為什麼不是單純把序列倒過來なぜ単に系列を逆に並べるのではないのか

An ordinary reversal would give $\{x[4], x[3], x[2], x[1], x[0]\}$ — that is, even $x[0]$ is carried to the end.一般的「倒序」會得到 $\{x[4], x[3], x[2], x[1], x[0]\}$，也就是連 $x[0]$ 都移到最後。通常の「逆順」なら $\{x[4], x[3], x[2], x[1], x[0]\}$ となる。つまり $x[0]$ までもが最後へ移ってしまう。

Circular time reversal, however, mirrors the periodic sequence about the axis $n = 0$. After the mirroring, the positions $n = 1, 2, 3, \dots$ hold the values that originally sat at $n = -1, -2, -3, \dots$, which are $x[4], x[3], x[2], \dots$ from the previous period. Think of it this way: five samples are arranged on a circle with $x[0]$ at the top; turn the circle over about the diameter through $x[0]$, and $x[0]$ does not move while every other point swaps sides.但循環時間反轉是把週期序列以 $n = 0$ 為軸鏡射。鏡射之後，$n = 1, 2, 3, \dots$ 的位置看到的是原本在 $n = -1, -2, -3, \dots$ 的值，也就是上一個週期的 $x[4], x[3], x[2], \dots$。可以把它想成：5 個樣本排在一個圓上，$x[0]$ 在正上方；以通過 $x[0]$ 的直徑為軸翻面，$x[0]$ 不動，其他點左右對調。しかし円状時間反転は、周期系列を $n = 0$ を軸として鏡映するものである。鏡映したあと、$n = 1, 2, 3, \dots$ の位置に見えるのは、もともと $n = -1, -2, -3, \dots$ にあった値、すなわち一つ前の周期の $x[4], x[3], x[2], \dots$ である。次のように思えばよい。5 個の標本を円上に並べ、$x[0]$ を真上に置く。$x[0]$ を通る直径を軸として裏返すと、$x[0]$ は動かず、ほかの点は左右が入れ替わる。

Why it is defined this way為什麼要這樣定義なぜこのように定義するのか

Only this definition lets the DFT property hold:這樣定義才能讓 DFT 的性質成立：このように定義してはじめて、DFT の性質が成り立つ：

$$x[((-n))_N] \;\overset{\text{DFT}}{\longleftrightarrow}\; X[((-k))_N]$$

If $x[n]$ is a real sequence there is also $X[((-k))_N] = X^{*}[k]$. The definition of circular convolution uses this reversal too: the $h[((-m))_N]$ sitting inside $\sum_m x[m]\,h[((n-m))_N]$ is exactly a circular time reversal.若 $x[n]$ 是實數序列，還有 $X[((-k))_N] = X^{*}[k]$。循環摺積的定義中也會用到這種反轉：$\sum_m x[m]\,h[((n-m))_N]$ 裡的 $h[((-m))_N]$ 就是循環時間反轉。$x[n]$ が実数系列であれば、さらに $X[((-k))_N] = X^{*}[k]$ も成り立つ。円状畳み込みの定義にも、この反転は用いられる。$\sum_m x[m]\,h[((n-m))_N]$ の中にある $h[((-m))_N]$ こそが、円状時間反転にほかならない。

Changing $N$ changes nothing about the rule: whatever $N$ is, $x[0]$ is fixed and the other $N-1$ samples are reversed. That is the entire content of $x[((-n))_N]$, and the transform pair below says the same thing on the frequency side — reversing the time index reverses the frequency index, in exactly the same circular sense.改變 $N$ 也一樣：不論 $N$ 是多少，$x[0]$ 永遠固定，其餘 $N-1$ 個樣本倒序。這就是 $x[((-n))_N]$ 的全部內容，而下面的變換對在頻率那一側說的是同一件事——把時間索引反轉，頻率索引也以完全相同的循環方式反轉。$N$ を変えても規則は変わらない。$N$ がいくつであろうと、$x[0]$ はつねに固定され、残り $N-1$ 個の標本が逆順になる。これが $x[((-n))_N]$ の内容のすべてであり、下の変換対は同じことを周波数の側で述べている。時間の索引を反転させれば、周波数の索引もまったく同じ円状の意味で反転するのである。

Both properties in one 3-D picture把兩個性質放進同一張 3-D 圖二つの性質を一枚の 3 次元図で

In the figure below, $((-n))_N$ is the same notation used above: $-n$ reduced modulo $N$. The three axes are the index ($n$ or $k$), the real part Re and the imaginary part Im, and each stem is one complex sample. Drag to rotate, scroll to zoom, and the buttons along the top run the animations.下面這張圖中的 $((-n))_N$ 就是前面用的那個記號：$-n$ 對 $N$ 取模。三個軸分別是索引（$n$ 或 $k$）、實部 Re 和虛部 Im，每根桿子是一個複數樣本。可以拖曳旋轉、滾輪縮放，按上方按鈕觀看動畫。下の図の $((-n))_N$ は、これまでと同じ記号である。すなわち $-n$ を $N$ で割った剰余である。三つの軸はそれぞれ索引（$n$ または $k$）、実部 Re、虚部 Im であり、各々の棒が一つの複素標本を表す。ドラッグで回転、ホイールで拡大縮小ができ、上のボタンを押せばアニメーションが動く。

Property ①: $x[((-n))_N] \longleftrightarrow X[((-k))_N]$性質 ①：$x[((-n))_N] \longleftrightarrow X[((-k))_N]$性質 ①：$x[((-n))_N] \longleftrightarrow X[((-k))_N]$

What the figure shows: the two sides do exactly the same thing. Index 0 does not move; every other stem goes to position $((-n))_N$ ($1 \leftrightarrow N-1$, $2 \leftrightarrow N-2$, and so on), and the stem itself keeps both its length and its direction. In other words, a circular time reversal in the time domain is a circular time reversal in the frequency domain too.圖中看到的：左右兩邊做完全相同的動作。索引 0 不動，其他桿子換到 $((-n))_N$ 的位置（$1 \leftrightarrow N-1$、$2 \leftrightarrow N-2$……），桿子本身的長度與方向都不變。也就是說，時域做循環時間反轉，頻域也做循環時間反轉。図中に見えるもの：左右はまったく同じ動作をする。索引 0 は動かず、ほかの棒は $((-n))_N$ の位置へ移り（$1 \leftrightarrow N-1$、$2 \leftrightarrow N-2$……）、棒そのものの長さも向きも変わらない。すなわち、時間領域で円状時間反転を行えば、周波数領域でも円状時間反転が起こる。

Derivation: put $y[n] = x[((-n))_N]$ and let $m = ((-n))_N$. As $n$ runs over $0 \sim N-1$ so does $m$, and $W_N^{kn} = W_N^{-km}$ because $W_N$ has period $N$. Hence推導：令 $y[n] = x[((-n))_N]$，並令 $m = ((-n))_N$。當 $n$ 跑遍 $0 \sim N-1$ 時，$m$ 也跑遍 $0 \sim N-1$，而且 $W_N^{kn} = W_N^{-km}$，因為 $W_N$ 以 $N$ 為週期。所以導出：$y[n] = x[((-n))_N]$ とおき、$m = ((-n))_N$ とする。$n$ が $0 \sim N-1$ を動けば $m$ も $0 \sim N-1$ を動き、しかも $W_N$ は周期 $N$ をもつので $W_N^{kn} = W_N^{-km}$ である。したがって

$$Y[k] = \sum_n x[((-n))_N]\,W_N^{kn} = \sum_m x[m]\,W_N^{(-k)m} = X[((-k))_N]$$

Property ②: $x^{*}[n] \longleftrightarrow X^{*}[((-k))_N]$性質 ②：$x^{*}[n] \longleftrightarrow X^{*}[((-k))_N]$性質 ②：$x^{*}[n] \longleftrightarrow X^{*}[((-k))_N]$

What the figure shows:圖中看到的：図中に見えるもの：

• Left (time domain): every stem stays where it is and only Im changes sign — a mirror in the grey Re–$n$ plane.左邊（時域）：每根桿子留在原位，只把 Im 取負，也就是對灰色的 Re–$n$ 平面做鏡射。左（時間領域）：各々の棒はその場に留まり、Im だけが符号を変える。すなわち灰色の Re–$n$ 平面に対する鏡映である。
• Right (frequency domain): besides that same mirror, the stems also change places — a circular time reversal.右邊（頻域）：除了同樣的鏡射，桿子還會換位置，做循環時間反轉。右（周波数領域）：同じ鏡映に加えて、棒は位置も入れ替わる。円状時間反転である。

So conjugating in the time domain costs more than a conjugation in the frequency domain: an index reversal comes with it.所以時域取共軛，在頻域不只取共軛，還要加上索引反轉。したがって時間領域で共役をとると、周波数領域では共役をとるだけでは済まず、索引の反転まで伴う。

Derivation: conjugation turns $W_N^{kn}$ into $W_N^{-kn}$:推導：共軛會把 $W_N^{kn}$ 變成 $W_N^{-kn}$：導出：共役は $W_N^{kn}$ を $W_N^{-kn}$ に変える：

$$\sum_n x^{*}[n]\,W_N^{kn} = \Big(\sum_n x[n]\,W_N^{-kn}\Big)^{*} = \Big(X[((-k))_N]\Big)^{*}$$

The $W_N^{-kn}$ inside the brackets is where the index reversal $k \to -k$ comes from.括號裡的 $W_N^{-kn}$ 就是索引反轉 $k \to -k$ 的來源。括弧の中の $W_N^{-kn}$ こそが、索引の反転 $k \to -k$ の出どころである。

The “numerical check” in the readout讀數中的「數值驗證」読み値の「数値検証」

Every time the mode is switched, the widget really does run a DFT of the left-hand sequence and compares it with the result drawn on the right. The largest error comes out at around $10^{-15}$ — floating-point rounding and nothing else, which is to say the two properties hold exactly.每切換一種模式，程式都會對左邊的序列真的算一次 DFT，再和右邊畫出的結果比較。最大誤差約為 $10^{-15}$，也就是只有浮點數捨入誤差，代表這兩個性質完全成立。モードを切り替えるたびに、このウィジェットは左の系列に対して実際に DFT を一度計算し、右に描かれた結果と比べている。最大誤差はおよそ $10^{-15}$ であり、浮動小数点の丸め誤差にすぎない。つまりこの二つの性質は厳密に成り立っている。

An important corollary一個重要的推論重要な系

If $x[n]$ is real then $x^{*}[n] = x[n]$. Substituting that into property ② gives若 $x[n]$ 是實數，則 $x^{*}[n] = x[n]$。代入性質 ② 得到$x[n]$ が実数であれば $x^{*}[n] = x[n]$ である。これを性質 ② に代入すると

$$X[k] = X^{*}[((-k))_N]$$

that is, $X[N-k] = X^{*}[k]$, which is called conjugate symmetry. It is the reason the FFT of a real signal only needs its first half of the frequency points to be looked at. In the sampled-cosine interactive figure of §8.2.3 the two spikes stand at $k = r$ and $k = N - r$ (the figure writes that $r$ as $k_0$) and are the same height — exactly this property at work.也就是 $X[N-k] = X^{*}[k]$，稱為共軛對稱。這就是為什麼實數訊號的 FFT 只需要看前一半的頻率點。§8.2.3 那張取樣餘弦的互動圖中，兩根尖峰出現在 $k = r$ 和 $k = N - r$（圖中把這個 $r$ 寫成 $k_0$），而且大小相同，正是這個性質的結果。すなわち $X[N-k] = X^{*}[k]$ であり、これを共役対称性と呼ぶ。実数信号の FFT が周波数点の前半だけを見ればよいのは、このためである。§8.2.3 にある標本化した余弦の対話図では、二本の尖りが $k = r$ と $k = N - r$ に立ち（図ではこの $r$ を $k_0$ と書いている）、しかも高さが等しい。これこそがこの性質の現れである。

Conjugate symmetry for real signals（實數訊號的共軛對稱）. Combining the two: if $x[n]$ is real, then實數訊號的共軛對稱。把上面兩者合起來：若 $x[n]$ 為實數，則実数信号の共役対称性。上の二つを組み合わせると、$x[n]$ が実数のとき次が成り立つ：

So a real $N$-point signal has only about $N/2$ independent spectral values: bins $k$ and $N-k$ are mirror images. $X[0]$ is always real, and for even $N$ so is $X[N/2]$.所以一個實數的 $N$ 點訊號，其實只有大約 $N/2$ 個獨立的頻譜值：第 $k$ 格與第 $N-k$ 格互為鏡像。$X[0]$ 恆為實數，而當 $N$ 為偶數時 $X[N/2]$ 也是。したがって実数の $N$ 点信号は、独立なスペクトル値をおよそ $N/2$ 個しかもたない。ビン $k$ とビン $N-k$ は互いに鏡像である。$X[0]$ はつねに実数であり、$N$ が偶数なら $X[N/2]$ も実数である。

8.4.3 Duality8.4.3 對偶性8.4.3 双対性

Duality（對偶性）. The DFT and IDFT have nearly the same form, so transforming twice almost returns the signal:對偶性。DFT 與 IDFT 的形式幾乎相同，所以連做兩次變換就幾乎回到原訊號：双対性。DFT と IDFT はほとんど同じ形をしているので、二度変換すればほぼ元の信号に戻る：

Why the two formulas are so nearly the same為什麼說兩者「很相似」なぜ両者は「よく似ている」のか

Put the two definitions side by side:把兩個公式並排：二つの式を並べてみよう：

$$\text{DFT:}\quad G[k] = \sum_{n=0}^{N-1} g[n]\,W_N^{kn} \qquad\qquad \text{IDFT:}\quad g[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} G[k]\,W_N^{-kn}$$

Both turn one length-$N$ vector into another length-$N$ vector, and there are only two differences between them:兩者都是把一個長度 $N$ 的向量變成另一個長度 $N$ 的向量，而且只有兩個差別：どちらも長さ $N$ のベクトルを長さ $N$ のベクトルに変えるものであり、両者の違いは二つしかない：

1. The sign of the exponent: $W_N^{+kn}$ against $W_N^{-kn}$.指數的正負號：$W_N^{+kn}$ 對 $W_N^{-kn}$。指数の符号：$W_N^{+kn}$ と $W_N^{-kn}$。
2. The factor in front: $1$ against $\frac{1}{N}$.前面的倍數：$1$ 對 $\frac{1}{N}$。前に付く係数：$1$ と $\frac{1}{N}$。

The difference in sign is where the circular time reversal comes from; the difference in the factor is where the $N$ comes from. Circular time reversal and the $((-n))_N$ notation are exactly the subject of §8.4.2 just above, figures included, so nothing new has to be said about them here.正負號的差別就是循環時間反轉的來源，倍數的差別就是 $N$ 的來源。循環時間反轉與 $((-n))_N$ 這個記號正是上面 §8.4.2 的主題（連圖都有），所以這裡不必再重講一次。符号の違いが円状時間反転の出どころであり、係数の違いが $N$ の出どころである。円状時間反転と $((-n))_N$ という記法は、すぐ上の §8.4.2 がまさに図つきで扱った主題なので、ここで改めて述べる必要はない。

Deriving the duality relation推導導出

Treat $G[\cdot]$ as a time sequence $G[n]$ and take its DFT:把 $G[\cdot]$ 當成時間序列 $G[n]$，對它做 DFT：$G[\cdot]$ を時間系列 $G[n]$ とみなし、その DFT をとる：

$$\text{DFT}\{G\}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} G[n]\,W_N^{kn}$$

Now compare that with the IDFT. The value of the IDFT at time $m$ is和 IDFT 比較。IDFT 在時間點 $m$ 的值是これを IDFT と比べる。IDFT の時間 $m$ における値は

$$g[m] = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} G[n]\,W_N^{-mn}$$

Set $m = ((-k))_N$. Then $W_N^{-mn} = W_N^{kn}$, because the twiddle factor $W_N$ has period $N$, and therefore令 $m = ((-k))_N$，則 $W_N^{-mn} = W_N^{kn}$（旋轉因子 $W_N$ 以 $N$ 為週期），所以$m = ((-k))_N$ とおく。回転因子 $W_N$ は周期 $N$ をもつので $W_N^{-mn} = W_N^{kn}$ となり、したがって

$$g[((-k))_N] = \frac{1}{N}\sum_{n} G[n]\,W_N^{kn} = \frac{1}{N}\,\text{DFT}\{G\}[k]$$

Moving the $\frac{1}{N}$ across gives precisely the statement already boxed above:移項即得上面方框裡的結果：係数を移項すれば、上の囲みに掲げた結果がそのまま得られる：

$$G[n] \;\longleftrightarrow\; N \cdot g[((-k))_N]$$

Example 1 — the impulse and the constant例 1：脈衝與常數例 1：インパルスと定数

Example: $\delta[n] \leftrightarrow 1$ (all $k$), and dually the all-ones sequence $\leftrightarrow N\delta[k]$ — exactly Examples 8-1(a) and (b).例子：$\delta[n] \leftrightarrow 1$（所有 $k$），對偶地，全為 1 的序列 $\leftrightarrow N\delta[k]$——正好就是範例 8-1 的 (a) 與 (b)。例：$\delta[n] \leftrightarrow 1$（すべての $k$ について）であり、双対的に、全要素が 1 の系列は $\leftrightarrow N\delta[k]$ となる —— これはまさに例 8-1 の (a) と (b) である。

Said again in the language of duality: $g[n] = \delta[n]$ gives $G[k] = 1$ for every $k$, so duality demands that the all-ones sequence transform to $N\cdot\delta[((-k))_N] = N\,\delta[k]$ — an impulse already sitting at index $0$ is left where it is by a circular reversal. Computing it directly, $\sum_n 1\cdot W_N^{kn}$ is $N$ at $k = 0$ and $0$ for every other $k$: the rotating-vector sum of §8.2.2. The two answers agree.用對偶性的語言再講一次：$g[n] = \delta[n]$ 時 $G[k] = 1$（全為 1），所以依對偶性，全為 1 的序列做 DFT 應該得到 $N\cdot\delta[((-k))_N] = N\,\delta[k]$——本來就坐在索引 $0$ 的脈衝，循環反轉之後還是留在原位。直接計算：$\sum_n 1\cdot W_N^{kn}$ 在 $k = 0$ 時為 $N$，其他 $k$ 為 $0$，就是 §8.2.2 的那個旋轉向量和。兩邊結果一致。双対性の言葉で言い直そう。$g[n] = \delta[n]$ なら $G[k] = 1$（すべて 1）であるから、双対性によれば全要素が 1 の系列の DFT は $N\cdot\delta[((-k))_N] = N\,\delta[k]$ でなければならない —— もともと索引 $0$ に乗っているインパルスは、円状反転を受けてもその場に残るからである。直接計算すると、$\sum_n 1\cdot W_N^{kn}$ は $k = 0$ で $N$、ほかのすべての $k$ で $0$ である。§8.2.2 の回転ベクトルの和そのものである。両者は一致する。

Example 2 — seeing the circular reversal actually do something例 2：看出循環反轉的作用例 2：円状反転の働きを見る

Example 1 is a case where the reversal has nothing to move, so take $N = 4$ and $g[n] = \delta[n-1] = \{0, 1, 0, 0\}$ instead.例 1 裡反轉沒有東西可以搬，所以改取 $N = 4$，$g[n] = \delta[n-1] = \{0, 1, 0, 0\}$。例 1 では反転が動かすものを持たない。そこで $N = 4$、$g[n] = \delta[n-1] = \{0, 1, 0, 0\}$ をとってみる。

• $G[k] = W_4^{k} = \{1, -j, -1, j\}$, because only the $n = 1$ term of the sum survives.$G[k] = W_4^{k} = \{1, -j, -1, j\}$，因為求和裡只有 $n = 1$ 那一項存活。$G[k] = W_4^{k} = \{1, -j, -1, j\}$。和のうち $n = 1$ の項しか残らないからである。
• Transform $G$ once more. By duality the answer has to be $4\cdot g[((-k))_4]$. The only nonzero entry of $g$ sits at index $1$, and $((-k))_4 = 1$ happens at $k = 3$, so the result is $\{0, 0, 0, 4\}$.對 $G$ 再做一次 DFT，依對偶性應為 $4\cdot g[((-k))_4]$。$g$ 只在索引 $1$ 非零，而 $((-k))_4 = 1$ 對應 $k = 3$，所以結果是 $\{0, 0, 0, 4\}$。$G$ にもう一度 DFT をかける。双対性によれば答えは $4\cdot g[((-k))_4]$ でなければならない。$g$ が非零なのは索引 $1$ だけであり、$((-k))_4 = 1$ となるのは $k = 3$ であるから、結果は $\{0, 0, 0, 4\}$ である。

The impulse started at position $1$ and, after two DFTs, has arrived at position $3$. That is the circular time reversal ($1 \leftrightarrow N-1$) made visible.脈衝原本在位置 $1$，做兩次 DFT 後跑到位置 $3$，這就是循環時間反轉（$1 \leftrightarrow N-1$）看得見的樣子。インパルスはもともと位置 $1$ にあり、DFT を二度かけたあとは位置 $3$ に着いている。これが円状時間反転（$1 \leftrightarrow N-1$）の目に見える形である。

What “almost symmetric” means「幾乎對稱」的意思「ほぼ対称」の意味

If the DFT and the IDFT were exactly symmetric, transforming twice would hand back the sequence unchanged. Two things stand in the way:如果 DFT 和 IDFT 完全對稱，做兩次 DFT 應該回到原序列。實際上差了兩樣東西：DFT と IDFT が完全に対称であったなら、二度変換すれば系列はそのまま戻ってくるはずである。実際には二つのものが立ちはだかる：

• the factor $N$;倍數 $N$；係数 $N$。
• the circular time reversal $((-k))_N$.循環時間反轉 $((-k))_N$。円状時間反転 $((-k))_N$。

Hence the word almost. Carrying the idea further:這就是「幾乎」兩個字的由來。延伸來看：ゆえに「ほぼ」なのである。この考えをさらに延長すると：

It takes four transforms to return to the original sequence (up to the factor $N^2$), because the second circular reversal cancels the first.做四次 DFT 才會回到原序列（差一個倍數 $N^2$），因為兩次循環反轉會互相抵消。元の系列へ戻るには DFT を四度かける必要がある（係数 $N^2$ を除いて）。二度目の円状反転が一度目を打ち消すからである。

What duality is used for實務用途実務上の用途

1. Computing an IDFT with a forward-only FFT. When only a forward transform is on hand, it can be computed like this:1. 用 DFT 程式算 IDFT。只有正向 FFT 時，可以這樣算：1. 順方向の FFT だけで IDFT を計算する。順方向の変換しか手元にないときは、次のように計算できる：

$$\text{IDFT}\{X\}[n] = \frac{1}{N}\,\text{DFT}\{X\}[((-n))_N]$$

That is: transform, then circularly reverse the result and divide by $N$. Another common way of writing it is $\text{IDFT}\{X\} = \frac{1}{N}\big(\text{DFT}\{X^{*}\}\big)^{*}$, which rests on the same principle — conjugation flips the sign of the exponent, which is the one difference between the two formulas.也就是先做 DFT，再把結果循環反轉並除以 $N$。另一種常見寫法是 $\text{IDFT}\{X\} = \frac{1}{N}\big(\text{DFT}\{X^{*}\}\big)^{*}$，原理相同——取共軛會把指數的正負號翻過來，而那正是兩個公式唯一的差別。すなわち、まず DFT をかけ、その結果を円状反転して $N$ で割ればよい。もう一つのよく使われる書き方は $\text{IDFT}\{X\} = \frac{1}{N}\big(\text{DFT}\{X^{*}\}\big)^{*}$ であり、原理は同じである —— 共役は指数の符号を反転させるが、それこそが二つの式の唯一の違いだからである。

2. Deriving new transform pairs from known ones. Given the pair “rectangular sequence $\longleftrightarrow$ periodic sinc” of §8.2.4, duality hands over “periodic sinc sequence $\longleftrightarrow$ rectangular sequence” at once — multiplied by $N$ and circularly reversed. This is the same idea as duality for the continuous-time Fourier transform, where rect $\longleftrightarrow$ sinc works in both directions.2. 由已知的轉換對推出新的轉換對。例如已知 §8.2.4 的「矩形序列 $\longleftrightarrow$ 週期性 sinc」，立刻就知道「週期性 sinc 序列 $\longleftrightarrow$ 矩形序列」（乘上 $N$ 並循環反轉）。這和連續時間傅立葉轉換的對偶性（rect $\longleftrightarrow$ sinc）是同一個概念。2. 既知の変換対から新しい変換対を導く。たとえば §8.2.4 の「矩形系列 $\longleftrightarrow$ 周期 sinc」という対が分かっていれば、「周期 sinc 系列 $\longleftrightarrow$ 矩形系列」（$N$ 倍して円状反転したもの）が直ちに得られる。これは連続時間フーリエ変換の双対性（rect $\longleftrightarrow$ sinc）と同じ考えである。

8.4.4 Parseval's relation8.4.4 Parseval 關係8.4.4 Parseval の関係

Parseval's relation（能量守恆）. Direct consequence of $\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$ being unitary:Parseval 關係（能量守恆）。這是 $\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$ 為么正矩陣的直接結果：Parseval の関係（エネルギー保存）。$\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$ がユニタリであることの直接の帰結である：

What Parseval's relation saysParseval 定理在說什麼Parseval の定理が述べていること

Parseval's theorem says that the total energy of a signal comes out the same whether it is computed in the time domain or in the frequency domain — the DFT version carrying one extra $\frac{1}{N}$. The boxed statement above, with both sides named:Parseval 定理說的是：訊號的總能量，在時域算和在頻域算，結果相同（DFT 版本多一個 $\frac{1}{N}$）。把上面方框裡的敘述兩邊都標上名字：Parseval の定理が述べているのは、信号の総エネルギーは、時間領域で計算しても周波数領域で計算しても同じ値になるということである（DFT 版には $\frac{1}{N}$ が一つ余分に付く）。上の囲みの主張を、両辺に名前を付けて書き直そう：

$$\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2}_{\text{energy in the time domain}} = \frac{1}{N}\underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2}_{\text{energy in the frequency domain}}$$$$\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2}_{\text{時域能量}} = \frac{1}{N}\underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2}_{\text{頻域能量}}$$$$\underbrace{\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2}_{\text{時間領域のエネルギー}} = \frac{1}{N}\underbrace{\sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2}_{\text{周波数領域のエネルギー}}$$

Symbols符號記号

Proof證明証明

Write $|x[n]|^2$ as $x[n]\,x^{*}[n]$, then expand the $x^{*}[n]$ inside it with the IDFT of §8.2.2:把 $|x[n]|^2$ 寫成 $x[n]\,x^{*}[n]$，再用 §8.2.2 的 IDFT 展開其中的 $x^{*}[n]$：$|x[n]|^2$ を $x[n]\,x^{*}[n]$ と書き、その中の $x^{*}[n]$ を §8.2.2 の IDFT で展開する：

$$x^{*}[n] = \Big(\frac{1}{N}\sum_k X[k]\,W_N^{-kn}\Big)^{*} = \frac{1}{N}\sum_k X^{*}[k]\,W_N^{kn}$$

Substitute that in and swap the order of summation:代入並交換求和順序：これを代入し、和の順序を入れ替える：

$$\sum_n |x[n]|^2 = \sum_n x[n]\cdot\frac{1}{N}\sum_k X^{*}[k]\,W_N^{kn} = \frac{1}{N}\sum_k X^{*}[k]\underbrace{\sum_n x[n]\,W_N^{kn}}_{=\,X[k]} = \frac{1}{N}\sum_k |X[k]|^2$$

The inner sum is exactly the definition of the DFT, which is why the proof needs only one step.內層的和正好就是 DFT 的定義，所以證明只需要一步。内側の和はちょうど DFT の定義そのものであり、だからこそ証明は一歩で済む。

A numerical example ($N = 4$)數值例子（$N = 4$）数値例（$N = 4$）

Take $x = \{1, 1, 0, 0\}$; its time-domain energy is $1^2 + 1^2 = 2$.取 $x = \{1, 1, 0, 0\}$，時域能量 $= 1^2 + 1^2 = 2$。$x = \{1, 1, 0, 0\}$ をとると、時間領域のエネルギーは $1^2 + 1^2 = 2$ である。

Its DFT is $X[k] = 1 + W_4^{k}$, where $W_4 = -j$:DFT 為 $X[k] = 1 + W_4^{k}$，其中 $W_4 = -j$：DFT は $X[k] = 1 + W_4^{k}$ である。ここで $W_4 = -j$：

The frequency-domain sum is $8$; multiplying by $\frac{1}{4}$ gives $2$, which is the time-domain energy. ✓頻域總和 $= 8$，乘上 $\frac{1}{4}$ 得 $2$，與時域能量相同。✓周波数領域の総和は $8$ であり、$\frac{1}{4}$ を掛けると $2$ となって、時間領域のエネルギーと一致する。✓

Why the $\frac{1}{N}$ is there為什麼有 $\frac{1}{N}$なぜ $\frac{1}{N}$ が付くのか

The definition $X[k] = \sum_n x[n]\,W_N^{kn}$ carries no scaling at all, so $X[k]$ comes out roughly $N$ times the size of $x[n]$. For the all-ones sequence, for instance, $X[0] = N$.DFT 的定義 $X[k] = \sum_n x[n]\,W_N^{kn}$ 沒有任何縮放，所以 $X[k]$ 的大小大約是 $x[n]$ 的 $N$ 倍量級。例如全為 1 的序列，$X[0] = N$。DFT の定義 $X[k] = \sum_n x[n]\,W_N^{kn}$ には縮尺がいっさい入っていないので、$X[k]$ の大きさはおおよそ $x[n]$ の $N$ 倍の程度になる。たとえば全要素が 1 の系列では $X[0] = N$ である。

Geometrically, the DFT expands the signal over $N$ mutually orthogonal basis vectors $W_N^{-kn}$ — the “rotating-vector sum $= N$ or $0$” result of §8.2.2. Each basis vector has squared length $N$ rather than $1$, so the energy comes out inflated by $N$ and has to be divided back down. That is the same fact as the unitarity quoted above, seen from the side of the basis vectors: the rows of $\mathbf{W}_N$ are orthogonal with squared norm $N$ (§8.3.2), so $\mathbf{W}_N$ is exactly $\sqrt{N}$ times a unitary matrix — which is why $\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$, and not $\mathbf{W}_N$ itself, is the length-preserving one.從幾何角度看，DFT 是用 $N$ 個彼此正交的基底向量 $W_N^{-kn}$ 展開訊號——也就是 §8.2.2 那個「旋轉向量和 $= N$ 或 $0$」的結果。每個基底向量的長度平方是 $N$ 而不是 1，所以能量被放大了 $N$ 倍，要除回來。這和上面引用的么正性其實是同一件事，只是從基底向量那一側看：$\mathbf{W}_N$ 的各列互相正交、範數平方為 $N$（§8.3.2），所以 $\mathbf{W}_N$ 恰好是某個么正矩陣的 $\sqrt{N}$ 倍——這就是為什麼保長度的是 $\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$，而不是 $\mathbf{W}_N$ 本身。幾何的に見れば、DFT は互いに直交する $N$ 本の基底ベクトル $W_N^{-kn}$ で信号を展開する操作である —— §8.2.2 の「回転ベクトルの和は $N$ か $0$」という結果そのものである。各基底ベクトルの長さの二乗は 1 ではなく $N$ なので、エネルギーは $N$ 倍に膨らむ。だから割り戻さねばならない。これは上で引いたユニタリ性と同じ事実を、基底ベクトルの側から眺めたものである。$\mathbf{W}_N$ の各行は互いに直交し、ノルムの二乗は $N$ である（§8.3.2）。つまり $\mathbf{W}_N$ はちょうどユニタリ行列の $\sqrt{N}$ 倍であり、長さを保つのが $\mathbf{W}_N$ 自身ではなく $\frac{1}{\sqrt N}\mathbf{W}_N$ であるのはそのためである。

Switch to the normalized DFT instead — a $\frac{1}{\sqrt{N}}$ in front of both the forward and the inverse transform — and the basis vectors have length $1$, the transform becomes a length-preserving rotation (unitary), and Parseval loses its coefficient entirely: $\sum|x|^2 = \sum|X|^2$.如果改用正規化 DFT，即正轉換和反轉換都乘上 $\frac{1}{\sqrt{N}}$，基底向量長度變成 1，轉換就是一個保長度的旋轉（unitary），此時 Parseval 變成沒有係數的 $\sum|x|^2 = \sum|X|^2$。代わりに正規化 DFT、すなわち順変換と逆変換の双方に $\frac{1}{\sqrt{N}}$ を掛けたものを使えば、基底ベクトルの長さは 1 になり、変換は長さを保つ回転（ユニタリ）そのものになる。このとき Parseval は係数のない $\sum|x|^2 = \sum|X|^2$ という形になる。

The general two-sequence form更一般的形式より一般の形

It holds for two sequences as well — the second half of the box above:對兩個序列也成立，就是上面方框裡的第二式：二つの系列についても成り立つ —— 上の囲みの第二式がそれである：

$$\sum_{n} x[n]\,y^{*}[n] = \frac{1}{N}\sum_{k} X[k]\,Y^{*}[k]$$

That is: the inner product in the time domain equals the inner product in the frequency domain, up to the $\frac{1}{N}$. Setting $y = x$ brings back the Parseval relation above.也就是時域的內積等於頻域的內積（差 $\frac{1}{N}$）。令 $y = x$ 就回到上面的 Parseval。つまり、時間領域の内積は $\frac{1}{N}$ の差を除いて周波数領域の内積に等しい。$y = x$ とおけば上の Parseval に戻る。

What Parseval's relation is used forParseval 的實務用途Parseval の実務上の用途

• The power spectrum. $\frac{1}{N}|X[k]|^2$ can be read as “how much energy frequency bin $k$ carries”, and the whole set of them adds up to exactly the total energy of the signal. Power spectral density (PSD) estimation is built on this.功率頻譜：$\frac{1}{N}|X[k]|^2$ 可以解釋為「第 $k$ 個頻率帶有多少能量」，而且全部加起來正好等於訊號總能量。功率頻譜密度（PSD）估計就是建立在這個基礎上。パワースペクトル：$\frac{1}{N}|X[k]|^2$ は「ビン $k$ の周波数がどれだけのエネルギーをもつか」と読める。しかも全部を足し合わせるとちょうど信号の総エネルギーになる。パワースペクトル密度（PSD）の推定はこの事実の上に築かれている。
• Measuring power directly in the frequency domain. To get the signal power or the noise power inside some band, simply add up the $|X[k]|^2$ of the bins in that band; there is no need to transform back to the time domain first. SNR and adjacent channel leakage ratio (ACLR) in RF measurement are computed in exactly this way.在頻域直接量測功率：例如要算某個頻帶內的訊號功率或雜訊功率，可以直接把那些頻率點的 $|X[k]|^2$ 加總，不必先轉回時域。在 RF 量測中算 SNR、相鄰通道洩漏比（ACLR）等，都是這樣做。周波数領域で直接電力を測る：ある帯域内の信号電力や雑音電力を求めたいなら、その帯域に入るビンの $|X[k]|^2$ をそのまま足し合わせればよく、いったん時間領域に戻す必要はない。RF 測定で SNR や隣接チャネル漏洩電力比（ACLR）を算出するのは、まさにこのやり方である。
• Checking code. After writing anything that involves an FFT, using Parseval to check that the two sides carry equal energy is a cheap way to confirm the scaling factor was not written wrong. Different libraries (MATLAB, NumPy, FFTW) follow different scaling conventions, which makes this step especially worthwhile.驗證程式：寫完 FFT 相關程式時，用 Parseval 檢查兩邊能量是否相等，是確認縮放係數有沒有寫錯的簡單方法。不同函式庫（MATLAB、NumPy、FFTW）的縮放慣例不同，這一步特別有用。プログラムの検証：FFT を使うコードを書いたら、Parseval で両辺のエネルギーが一致するかを調べる。これは縮尺係数を書き間違えていないかを確かめる手軽な方法である。ライブラリ（MATLAB、NumPy、FFTW）ごとに縮尺の約束が異なるので、この一手間はとりわけ役に立つ。
• Error analysis. If some components are set to zero in the frequency domain — filtering or compression, say — the discarded $\frac{1}{N}\sum|X[k]|^2$ is exactly the energy of the resulting time-domain error.誤差分析：若在頻域把某些成分設為 0（例如濾波或壓縮），被丟掉的 $\frac{1}{N}\sum|X[k]|^2$ 就正好等於時域誤差的能量。誤差解析：周波数領域で一部の成分を 0 にした場合（フィルタリングや圧縮など）、捨てた分の $\frac{1}{N}\sum|X[k]|^2$ がちょうど時間領域における誤差のエネルギーに等しい。

8.4.5 Property summary table8.4.5 性質總表8.4.5 性質のまとめ表

8.5 DFT from an Overlength DTFT8.5 由超長序列的 DTFT 取得 DFT8.5 長すぎる系列の DTFT から DFT を得る

§8.1.3 sampled the DTFT of a sequence that was short enough: $L \le N$, so nothing was lost. Nothing stops you sampling the DTFT of a longer sequence, though — the formula $X[k] = X(e^{j\omega})\big|_{\omega = 2\pi k/N}$ still produces $N$ perfectly good numbers. Taking their $N$-point IDFT gives an $N$-point sequence $\tilde{x}[n]$. The question this section answers is the obvious one:§8.1.3 對 DTFT 取樣時，序列是夠短的：$L \le N$，所以什麼都沒損失。但沒有什麼能阻止你去對一個更長序列的 DTFT 取樣——公式 $X[k] = X(e^{j\omega})\big|_{\omega = 2\pi k/N}$ 照樣會給出 $N$ 個完全合法的數。再對它們取 $N$ 點 IDFT，就得到一個 $N$ 點的序列 $\tilde{x}[n]$。本節要回答的，就是那個最自然的問題：§8.1.3 で DTFT を標本化したときは、系列が十分に短かった。$L \le N$ だったので何も失われなかった。しかし、もっと長い系列の DTFT を標本化してはいけない理由はどこにもない。公式 $X[k] = X(e^{j\omega})\big|_{\omega = 2\pi k/N}$ は相変わらず $N$ 個のまっとうな数を返す。それらの $N$ 点 IDFT をとれば、$N$ 点の系列 $\tilde{x}[n]$ が得られる。本節が答えるのは、ごく自然な次の問いである：

Pin the notation down first. The sequence is allowed to be two-sided here: it is nonzero on $-A \le n < B$, so its length is $L = A+B$, and nothing obliges $L$ to be smaller than $N$.先把符號定下來。這裡允許序列是雙邊的：它在 $-A \le n < B$ 範圍內非零，所以長度是 $L = A+B$，而且沒有任何東西逼著 $L$ 一定要小於 $N$。まず記号を決めておく。ここでは系列が両側であってよい。$-A \le n < B$ の範囲で非零であり、長さは $L = A+B$ となる。$L$ が $N$ より小さくなければならない理由はどこにもない。

8.5.1 Where the surplus samples go8.5.1 多出來的樣本跑到哪裡去了8.5.1 余分な標本はどこへ行くか

So $\tilde{x}$ is $x$ chopped into blocks of length $N$ which are then stacked on top of each other and added. Everything beyond sample $N-1$ wraps around and lands back inside the window.所以 $\tilde{x}$ 就是把 $x$ 切成長度為 $N$ 的區塊，再把這些區塊疊在一起相加。第 $N-1$ 個樣本之後的所有東西都會繞回來，落回窗內。つまり $\tilde{x}$ は、$x$ を長さ $N$ のブロックに切り分け、それらを互いに重ねて足し合わせたものである。標本 $N-1$ より先にあるものはすべて巻き戻り、窓の中へ落ち直す。

8.5.2 A worked example you can check by hand8.5.2 可以用手驗算的例子8.5.2 手で確かめられる例

Take $x[n] = \{1,2,3,4,5,6\}$, so $L = 6$, and sample its DTFT at only $N = 4$ frequencies. The tail $x[4]=5$ and $x[5]=6$ has nowhere to live, so it folds onto $n=0$ and $n=1$:取 $x[n] = \{1,2,3,4,5,6\}$，也就是 $L = 6$，而只在 $N = 4$ 個頻率上對它的 DTFT 取樣。尾巴 $x[4]=5$ 與 $x[5]=6$ 沒有地方可以待，於是摺到 $n=0$ 與 $n=1$ 上：$x[n] = \{1,2,3,4,5,6\}$、すなわち $L = 6$ をとり、その DTFT を $N = 4$ 個の周波数でしか標本化しないとする。末尾の $x[4]=5$ と $x[5]=6$ には居場所がないので、$n=0$ と $n=1$ の上へ折り返される：

The same four numbers fall out of the index bookkeeping of §8.5.1 without drawing anything: for each $n$ in the window, collect every $\ell$ in $0,\dots,5$ whose difference $\ell - n$ is a multiple of $4$, and add those samples up.不必畫任何圖，光是照著 §8.5.1 的索引記帳就會掉出同樣這四個數：對視窗內的每個 $n$，把 $0,\dots,5$ 之中所有使 $\ell - n$ 為 $4$ 的倍數的 $\ell$ 收集起來，再把那些樣本加總。何も描かなくても、§8.5.1 の索引の帳尻合わせから同じ四つの数が落ちてくる。窓の中の各 $n$ について、$0,\dots,5$ のうち差 $\ell - n$ が $4$ の倍数になる $\ell$ をすべて集め、それらの標本を足し合わせればよい。

Two samples are corrupted and two survive untouched — and nothing about $\tilde{x} = \{6,8,3,4\}$ announces which is which. That is what makes time aliasing dangerous: the result looks like a perfectly ordinary 4-point sequence.有兩個樣本被汙染，兩個則毫髮無傷——而且 $\tilde{x} = \{6,8,3,4\}$ 本身完全看不出哪個是哪個。這正是時域混疊危險的地方：結果看起來就是一個再正常不過的 4 點序列。二つの標本が壊れ、二つは無傷で生き残る —— しかも $\tilde{x} = \{6,8,3,4\}$ のどこを見ても、どちらがどちらかは分からない。時間領域エイリアシングが危険なのはそこである。結果はごくふつうの 4 点系列に見えてしまう。

8.5.3 Interactive — the blocks and the window8.5.3 互動圖——區塊與視窗8.5.3 インタラクティブ —— ブロックと窓

Fig. 8-2b is one fixed case. Dragging $N$ below and above the length of the sequence shows the whole story at once: how many blocks the window has to swallow, which samples pile onto which, and the exact moment at which the piling stops. The sequence here is two-sided — it starts at $n = -4$ and ends at $n = 11$, so $A = 4$, $B = 12$ and $L = A+B = 16$. The legend labels each block by its $r$, using the $x[n-rN]$ sign convention of Step 4.圖 8-2b 只是一個固定的案例。把下面的 $N$ 拖到序列長度之下再拖到之上，整個故事就一次看完了：視窗必須吞下幾個區塊、哪些樣本疊到哪些樣本上，以及疊加停止的那個確切時刻。這裡的序列是雙邊的——從 $n = -4$ 開始，到 $n = 11$ 結束，所以 $A = 4$、$B = 12$、$L = A+B = 16$。圖例以 $r$ 標示每個區塊，採用步驟 4 中 $x[n-rN]$ 的正負號慣例。図 8-2b は固定された一例にすぎない。下の $N$ を系列長より小さい側から大きい側へ動かせば、話の全体が一度に見える。窓がいくつのブロックを飲み込まねばならないか、どの標本がどれの上に積まれるか、そして積み重なりが止まるちょうどその瞬間が分かる。ここでの系列は両側である。$n = -4$ に始まり $n = 11$ に終わるので、$A = 4$、$B = 12$、$L = A+B = 16$ である。凡例は各ブロックを $r$ で示し、ステップ 4 の $x[n-rN]$ の符号の約束に従う。

Two places in this chapter are the same phenomenon wearing a different hat. Circular convolution (§8.6.2) is time aliasing of $y_{\text{lin}}$ rather than of $x$ — multiplying two spectra sampled too coarsely folds the convolution's tail onto its head, and the cure is again a larger $N$. And an infinite-length sequence can never satisfy $N \ge L$, so sampling its DTFT always aliases; Exercise 4 works that case for $x[n] = a^n u[n]$ and finds the closed form $a^n/(1-a^N)$.本章有兩個地方其實是同一個現象換了一頂帽子。循環摺積（§8.6.2）是 $y_{\text{lin}}$ 的時域混疊，而不是 $x$ 的——把兩個取樣太疏的頻譜相乘，會把摺積的尾巴摺到頭上，解法同樣是加大 $N$。另外，無限長的序列永遠不可能滿足 $N \ge L$，所以對它的 DTFT 取樣必定會混疊；習題 4 就以 $x[n] = a^n u[n]$ 處理這個情況，得到封閉形式 $a^n/(1-a^N)$。本章の二つの箇所は、同じ現象が別の帽子をかぶっているだけである。円状畳み込み（§8.6.2）は $x$ ではなく $y_{\text{lin}}$ の時間領域エイリアシングである。粗く標本化しすぎた二つのスペクトルを掛ければ、畳み込みの尾が頭へ折り重なる。治療法はやはり $N$ を大きくすることである。また、無限長の系列は $N \ge L$ を決して満たせないので、その DTFT を標本化すればかならずエイリアシングが起こる。演習 4 はこの場合を $x[n] = a^n u[n]$ について扱い、閉じた形 $a^n/(1-a^N)$ を得る。

The formula just derived is itself an important working tool. It states exactly what the time domain hands back when only $N$ frequency samples are taken. Practice divides its use into roughly two classes: one that avoids aliasing on the strength of it, and one that provokes aliasing deliberately.這個公式本身就是實務上很重要的工具。它精確地告訴你「只取 $N$ 個頻率樣本時，時域會得到什麼」。實務上的用法大致分兩類：一類是據此避開混疊，另一類是刻意利用混疊。いま導いた公式は、それ自体が実務上きわめて重要な道具である。「$N$ 個の周波数標本だけを取ったとき、時間領域に何が返ってくるか」を正確に述べているからである。実務での使い方は大きく二つに分かれる。一つはこれを根拠にエイリアシングを避ける使い方、もう一つはあえてエイリアシングを利用する使い方である。

8.5.4 Avoiding aliasing on the strength of it: choosing the FFT length8.5.4 據此避開混疊：決定 FFT 長度8.5.4 これを根拠にエイリアシングを避ける：FFT の系列長を決める

1. Linear convolution (filtering) with the FFT1. 用 FFT 做線性摺積（濾波）1. FFT で線形畳み込み（濾波）を行う

In practice, when a long signal has to be filtered or correlated, the route "FFT → multiply → IFFT" is used to speed the job up. But multiplying two DFTs corresponds to circular convolution, not linear convolution.實務上做長訊號濾波、相關運算時，常用「FFT → 相乘 → IFFT」來加速。但兩個 DFT 相乘，對應的是循環摺積，不是線性摺積。実務で長い信号を濾波したり相関をとったりするときには、「FFT → 乗算 → IFFT」という経路で計算を速める。しかし二つの DFT を掛け合わせることに対応するのは円状畳み込みであって、線形畳み込みではない。

That distinction has to be made precise here, because the rest of this item depends on it and §8.6 has not been read yet. The linear convolution of $x$ with $h$ slides one past the other along the whole infinite axis, $y[n] = \sum_m x[m]\,h[n-m]$, and the answer is allowed to be longer than either input. The circular convolution of two length-$N$ sequences keeps everything inside a window of length $N$: the shift of $h$ is taken modulo $N$, so a sample pushed past the right-hand end of the window reappears at the left-hand end.這個區別在這裡必須說清楚，因為本項後面都靠它，而 §8.6 還沒讀到。$x$ 與 $h$ 的線性摺積是讓兩者沿著整條無限長的軸互相滑過去，$y[n] = \sum_m x[m]\,h[n-m]$，而且答案允許比任何一個輸入都長。兩個長度為 $N$ 的序列的循環摺積則把一切都關在長度 $N$ 的視窗裡：$h$ 的平移是對 $N$ 取模的，所以被推出視窗右端的樣本會從左端冒出來。この区別はここで明確にしておかねばならない。本項の以降はすべてそれに依っており、しかも §8.6 はまだ読んでいないからである。$x$ と $h$ の線形畳み込みは、両者を無限に伸びた軸の上で互いに滑らせるもので、$y[n] = \sum_m x[m]\,h[n-m]$ と書かれ、答えはどちらの入力より長くなってよい。長さ $N$ の二つの系列の円状畳み込みは、いっさいを長さ $N$ の窓の中に閉じ込める。$h$ のシフトを $N$ を法としてとるので、窓の右端から押し出された標本は左端に現れる。

Why does the product of two DFTs land on the circular version and not the linear one? Because an $N$-point DFT only ever sees a signal as periodic with period $N$ — that is what §8.1.2 built it out of — so the shift it performs is a shift of a periodic sequence, which is a rotation inside the window. §8.6.1 and §8.6.2 develop this properly; here only the consequence is needed.為什麼兩個 DFT 相乘會落在循環版本而不是線性版本？因為 $N$ 點 DFT 看一個訊號時，永遠把它看成週期為 $N$ 的週期序列——§8.1.2 就是這樣把它建起來的——所以它做的平移是週期序列的平移，也就是視窗內部的旋轉。§8.6.1 與 §8.6.2 會把這件事好好展開；這裡只需要它的後果。なぜ二つの DFT の積は線形ではなく円状のほうに落ちるのか。$N$ 点 DFT は信号を常に周期 $N$ の周期系列としてしか見ないからである —— §8.1.2 はまさにそこから DFT を組み立てた —— したがってそれが行うシフトは周期系列のシフト、すなわち窓の内部での回転になる。§8.6.1 と §8.6.2 がこれをきちんと展開する。ここで必要なのはその帰結だけである。

Convolving a length-$L$ signal linearly with a length-$M$ filter gives a result of length $L + M - 1$. If the FFT length satisfies $N < L + M - 1$, the part that does not fit wraps round onto the front and is added there, exactly as the formula of this section says, and the result is wrong.長度 $L$ 的訊號與長度 $M$ 的濾波器做線性摺積，結果長度是 $L + M - 1$。若 FFT 長度 $N < L + M - 1$，超出的部分就會依本節的公式繞回前面相加，結果出錯。長さ $L$ の信号と長さ $M$ のフィルタとの線形畳み込みの結果は、長さ $L + M - 1$ になる。FFT の系列長が $N < L + M - 1$ であれば、収まりきらない分は本節の公式のとおりに前へ巻き戻って加算され、結果は誤ったものになる。

It is worth seeing the damage at the level of individual samples. Write $y_{\text{lin}}$ for the correct answer of length $L+M-1$ and $\tilde{y}$ for what the $N$-point route returns. The formula of this section, applied to $y_{\text{lin}}$ instead of to $x$, gives值得把損傷看到單一樣本的層次。令 $y_{\text{lin}}$ 為長度 $L+M-1$ 的正確答案，$\tilde{y}$ 為 $N$ 點路線實際給出的東西。把本節的公式用在 $y_{\text{lin}}$ 而不是 $x$ 上，就得到損傷を標本一つ一つの水準で見ておく値打ちがある。長さ $L+M-1$ の正しい答えを $y_{\text{lin}}$、$N$ 点の経路が実際に返すものを $\tilde{y}$ と書く。本節の公式を $x$ ではなく $y_{\text{lin}}$ に適用すれば、

Only the $r = 1$ term can be nonzero, and only while $n + N \le L+M-2$, i.e. for $n \le L+M-2-N$. So the first $L+M-1-N$ outputs are corrupted and the rest are exactly right. Push $N$ up to $L+M-1$ and that count falls to zero.只有 $r = 1$ 這一項可能非零，而且只在 $n + N \le L+M-2$ 時，也就是 $n \le L+M-2-N$。所以前 $L+M-1-N$ 個輸出壞掉，其餘完全正確。把 $N$ 推到 $L+M-1$，這個數目就降到零。非零になりうるのは $r = 1$ の項だけであり、しかも $n + N \le L+M-2$、すなわち $n \le L+M-2-N$ のあいだだけである。したがって先頭の $L+M-1-N$ 個の出力が壊れ、残りは厳密に正しい。$N$ を $L+M-1$ まで上げれば、この個数は零に落ちる。

So the formula hands the design rule over directly:所以這個公式直接給出設計規則：こうしてこの公式は、設計規則をそのまま手渡してくれる：

This is why zeros are appended before an FFT convolution. Zero padding means nothing more than writing the length-$L$ signal into a length-$N$ buffer and leaving the remaining $N-L$ positions at zero before transforming — the signal itself is untouched, and so is its DTFT; only the grid of frequency points on which that DTFT is sampled gets finer. §8.7.1 takes up what zero padding does and does not buy in the frequency domain; here its job is purely to make room so that nothing has to wrap.這就是為什麼做 FFT 摺積之前要補零。補零（zero-padding）的意思不過是：把長度 $L$ 的訊號寫進一個長度 $N$ 的緩衝區，剩下的 $N-L$ 個位置留成零，然後再做變換——訊號本身沒被動過，它的 DTFT 也沒有；變細的只是取樣那條 DTFT 的頻率格點。§8.7.1 會討論補零在頻域買得到什麼、買不到什麼；在這裡它的工作純粹是騰出空間，讓任何東西都不必繞回。これが FFT 畳み込みの前にゼロを付け足す理由である。ゼロ詰めとは、長さ $L$ の信号を長さ $N$ の緩衝区へ書き込み、残る $N-L$ 個の位置を零のままにしてから変換する、それだけのことである。信号そのものは手つかずであり、その DTFT も変わらない。細かくなるのは、その DTFT を標本化する周波数格子だけである。ゼロ詰めが周波数領域で何を買い、何を買わないかは §8.7.1 が引き受ける。ここでのその役目は、何も巻き戻らずに済むよう場所をあけること、ただそれだけである。

In practice $N$ is then rounded up to the next power of two (or to whatever length the FFT library likes), because the cost of the transform depends on the factorisation of $N$ far more than on its size. Padding beyond $L+M-1$ never hurts the answer — the extra terms of $\sum_r$ are all zero — it only costs arithmetic. The same rule read backwards is the one §8.6.3 states and §8.6.4 turns into overlap-add; what this section adds is the reason it is true.實務上接著會把 $N$ 往上取到下一個 2 的冪次（或 FFT 函式庫喜歡的任何長度），因為變換的代價取決於 $N$ 的因式分解，遠多於取決於它的大小。補到超過 $L+M-1$ 絕不會傷害答案——$\sum_r$ 多出來的那些項全是零——只是多花算術而已。同一條規則倒過來讀，就是 §8.6.3 所陳述、而 §8.6.4 化成重疊相加法的那一條；本節補上的是它為什麼成立。実務ではこのあと $N$ を次の 2 の冪（あるいは FFT ライブラリの好む系列長）まで切り上げる。変換の計算量は $N$ の大きさよりも $N$ の素因数分解にはるかに強く依存するからである。$L+M-1$ を超えて詰めても答えは決して傷つかない。$\sum_r$ の余分な項はすべて零だからである。余計にかかるのは演算だけである。同じ規則を逆から読んだものが §8.6.3 の述べる規則であり、§8.6.4 がそれを重畳加算法に仕立てる。本節が付け加えるのは、それがなぜ成り立つのかという理由である。

2. Computing the frequency or impulse response of an endless sequence numerically2. 數值計算無限長序列的頻率響應或脈衝響應2. 無限長系列の周波数応答やインパルス応答を数値計算する

Take an IIR filter, for instance: its impulse response $h[n]$ is endless. Suppose you sample $H(e^{j\omega})$ at $N$ frequency points and take the IFFT, hoping to read off $h[n]$. What you actually get is例如一個 IIR 濾波器的脈衝響應 $h[n]$ 是無限長的。如果你在 $N$ 個頻率點上取樣 $H(e^{j\omega})$，再做 IFFT 想得到 $h[n]$，得到的其實是たとえば IIR フィルタのインパルス応答 $h[n]$ は無限に続く。$N$ 個の周波数点で $H(e^{j\omega})$ を標本化し、IFFT をとって $h[n]$ を読み取ろうとしたとき、実際に得られるのは

Because $h[n]$ decays, this formula lets you estimate the error: as long as $N$ is large enough that $h[n]$ is already small for $n \ge N$, the part that wraps round can be ignored. Which is to say, the formula tells you how many frequency points are enough to be accurate.因為 $h[n]$ 會衰減，這個公式讓你估計誤差：只要 $N$ 夠大，使 $h[n]$ 在 $n \ge N$ 之後已經很小，繞回來的部分就可以忽略。也就是說，這個公式告訴你需要多少頻率點才夠準。$h[n]$ は減衰するので、この公式によって誤差を見積もることができる。$n \ge N$ のあたりで $h[n]$ がすでに十分小さくなる程度に $N$ を大きくとりさえすれば、巻き戻ってくる分は無視できる。すなわちこの公式は、どれだけの周波数点があれば十分に正確かを教えてくれる。

No finite $N$ makes this exact — $h$ is endless, so the $r = 1$ block is never empty. But a stable filter has a decaying $h[n]$, and that turns a vague "use a long enough FFT" into an error budget. The error at index $n$ is just the tail that landed on it:沒有任何有限的 $N$ 能讓這件事精確成立——$h$ 沒有盡頭，所以 $r = 1$ 的那一塊永遠不會是空的。但穩定濾波器的 $h[n]$ 會衰減，這就把含糊的「FFT 取夠長就好」變成一份誤差預算。索引 $n$ 處的誤差，就只是落到它上面的那條尾巴：有限の $N$ でこれが厳密に成り立つことはない。$h$ は終わらないので、$r = 1$ のブロックが空になることはないからである。しかし安定なフィルタの $h[n]$ は減衰するので、漠然とした「十分に長い FFT を使え」が誤差の見積もりに変わる。索引 $n$ における誤差は、そこへ落ちてきた尾そのものである：

For a stable IIR filter whose poles have the largest magnitude $\rho < 1$, the envelope obeys $|h[n]| \le C\rho^{\,n}$, so the bound is $C\rho^{\,N}/(1-\rho)$: the required $N$ grows only like $\log(1/\varepsilon)/\log(1/\rho)$ for an accuracy $\varepsilon$. A pole at $|z| = 0.9$ needs roughly ten times as many points as a pole at $|z| = 0.35$ for the same error. The formula does not merely warn that $N$ must be "large"; it says how large, and why.對一個極點最大半徑為 $\rho < 1$ 的穩定 IIR 濾波器，包絡滿足 $|h[n]| \le C\rho^{\,n}$，於是上界是 $C\rho^{\,N}/(1-\rho)$：若要達到精度 $\varepsilon$，所需的 $N$ 只以 $\log(1/\varepsilon)/\log(1/\rho)$ 的速度成長。在同樣的誤差要求下，$|z| = 0.9$ 的極點大約需要 $|z| = 0.35$ 的極點十倍的點數。這個公式不只是警告 $N$ 要「夠大」，它說得出要多大，以及為什麼。極の最大半径が $\rho < 1$ である安定な IIR フィルタでは包絡が $|h[n]| \le C\rho^{\,n}$ に従うので、上界は $C\rho^{\,N}/(1-\rho)$ となる。精度 $\varepsilon$ を得るために必要な $N$ は $\log(1/\varepsilon)/\log(1/\rho)$ の程度でしか増えない。同じ誤差を求めるなら、$|z| = 0.9$ の極は $|z| = 0.35$ の極のおよそ十倍の点数を要する。この公式は $N$ が「大きく」なければならないと警告するだけではない。どれだけ大きく、なぜそうなのかまで述べている。

3. Frequency-sampling design of an FIR filter3. 頻率取樣法設計 FIR 濾波器3. 周波数標本化法による FIR フィルタ設計

First specify the wanted response $H_d[k]$ at $N$ frequency points, then take the IDFT to obtain the FIR coefficients. The impulse response of an ideal response — an ideal lowpass, say — is an endless sinc, so the coefficients you obtain are a time-aliased version of it. That explains why a filter designed by frequency sampling has ripple between the sample points.先在 $N$ 個頻率點指定想要的響應 $H_d[k]$，再做 IDFT 得到 FIR 係數。理想響應（例如理想低通）的脈衝響應是無限長的 sinc，所以得到的係數是它的時域混疊版本。這解釋了頻率取樣法設計出的濾波器，為什麼在取樣點之間會有漣波。まず $N$ 個の周波数点で望みの応答 $H_d[k]$ を指定し、次に IDFT をとって FIR 係数を得る。理想的な応答（たとえば理想低域通過）のインパルス応答は無限に続く sinc なので、得られる係数はそれを時間領域エイリアシングさせたものになる。周波数標本化法で設計したフィルタが標本点のあいだでリプルをもつのは、これで説明がつく。

This design route runs in the opposite direction to the windowed-sinc method of §14.2. By construction the finished filter passes exactly through every specified value — the DFT guarantees it. The question is what it does between the grid points, and the formula of this section answers it.這條設計路線的方向，與 §14.2 的加窗 sinc 法恰好相反。依照構造，做好的濾波器會精確通過每一個指定值——這是 DFT 保證的。問題在於它在格點之間做了什麼，而本節的公式正好回答了這一點。この設計の道筋は、§14.2 の窓掛け sinc 法とちょうど逆向きに進む。構成上、出来上がったフィルタは指定値のすべてを厳密に通る。DFT がそれを保証するからである。問題はそれが格子点のあいだで何をするかであり、本節の公式がまさにそれに答える。

What the IDFT returns is therefore not the ideal sinc truncated to $N$ samples — it is the sinc time-aliased onto $N$ samples, tails folded back and added. Windowing (Ch 14) cuts the tails off; frequency sampling wraps them around. Both are approximations of the same endless sequence, and the characteristic behaviour of each follows from which one it does: the windowed design is smooth but misses the specification everywhere, while the frequency-sampled design is exact on the grid and overshoots between the grid points. Those overshoots are the method's ripple, and this section names their source.所以 IDFT 給出的並不是把理想 sinc 截到 $N$ 點，而是把它時域混疊到 $N$ 點：尾巴被摺回來相加。加窗（第 14 章）是把尾巴剪掉；頻率取樣是把尾巴繞回來。兩者都是同一條無限序列的近似，而各自的典型行為正來自它用的是哪一種：加窗設計平滑，但處處都偏離規格；頻率取樣設計在格點上完全準確，卻在格點之間過衝。那些過衝就是這個方法的漣波，而本節說出了它們的來源。したがって IDFT が返すのは、理想の sinc を $N$ 点に打ち切ったものではなく、$N$ 点の上へ時間領域エイリアシングさせたもの、つまり尾を折り返して足し合わせたものである。窓掛け（第 14 章）は尾を切り落とし、周波数標本化は尾を巻き戻す。どちらも同じ終わらない系列の近似であり、それぞれに特徴的なふるまいは、どちらを選んだかから出てくる。窓掛け設計はなめらかだが至るところで仕様を外し、周波数標本化設計は格子点上では厳密でありながら格子点のあいだで行きすぎる。その行きすぎがこの手法のリプルであり、本節はその出どころを言い当てている。

8.5.5 Provoking the aliasing deliberately8.5.5 刻意利用混疊8.5.5 あえてエイリアシングを利用する

4. Overlap-save4. Overlap-save（重疊保留法）4. Overlap-save（重畳保留法）

When a very long streaming signal has to be processed, cut it into blocks of length $N$ and run an $N$-point FFT on each block to perform a circular convolution. Here the aliasing is allowed to happen on purpose; but it is known in advance that the first $M - 1$ output samples are contaminated by the part that wrapped round, so they are simply discarded and only the $N - M + 1$ correct samples that follow are kept.處理很長的串流訊號時，把訊號切成長度 $N$ 的區塊，每塊都用 $N$ 點 FFT 做循環摺積。此時故意讓混疊發生，但事先知道前 $M - 1$ 個輸出樣本被繞回的部分污染了，所以直接丟掉它們，只保留後面正確的 $N - M + 1$ 個樣本。非常に長い流れ込む信号を処理するときには、信号を長さ $N$ のブロックに切り、各ブロックに $N$ 点 FFT をかけて円状畳み込みを行う。ここではわざとエイリアシングを起こさせる。ただし、先頭の $M - 1$ 個の出力標本が巻き戻ってきた分で汚染されることが前もって分かっているので、それらはそのまま捨て、後に続く正しい $N - M + 1$ 個の標本だけを残す。

This is more efficient than zero-padding every block, and it is a common method for real-time filtering.這比每塊都補零更有效率，是即時濾波常用的方法。これはブロックごとにゼロ詰めするよりも効率がよく、実時間濾波でよく使われる方法である。

The arithmetic behind the claim is the formula of this section again, applied to the block's own output. The linear convolution of an $N$-sample block with a length-$M$ response is $N+M-1$ long, so $M-1$ samples overhang the end of the window. In $\tilde{y}[n] = \sum_r y[n-rN]$ only the $r = 1$ term is ever nonzero, and only for $n \le M-2$. That is the whole method in one line: outputs $n = 0, \dots, M-2$ are contaminated, outputs $n = M-1, \dots, N-1$ are untouched and exactly right. Discard the first $M-1$, keep the remaining $N-M+1$, and advance the input by $N-M+1$ so consecutive blocks overlap by $M-1$ samples — the input samples that the name says are saved.這個主張背後的算術，又是本節的公式，只是這次用在區塊自己的輸出上。$N$ 個樣本的區塊與長度 $M$ 的響應做線性摺積，結果長 $N+M-1$，所以有 $M-1$ 個樣本懸在視窗尾端之外。在 $\tilde{y}[n] = \sum_r y[n-rN]$ 裡，非零的永遠只有 $r = 1$ 這一項，而且只出現在 $n \le M-2$。整個方法就是這一行：輸出的 $n = 0, \dots, M-2$ 受到汙染，輸出的 $n = M-1, \dots, N-1$ 毫髮無傷、完全正確。把前 $M-1$ 個丟掉，留下剩餘的 $N-M+1$ 個，輸入則前進 $N-M+1$，於是相鄰區塊重疊 $M-1$ 個樣本——這就是方法名稱裡被保留下來的那些輸入樣本。この主張を支える算術は、やはり本節の公式であり、今度はそれをブロック自身の出力に適用する。$N$ 標本のブロックと長さ $M$ の応答との線形畳み込みは $N+M-1$ の長さをもつので、$M-1$ 個の標本が窓の末尾からはみ出す。$\tilde{y}[n] = \sum_r y[n-rN]$ において非零になるのは常に $r = 1$ の項だけであり、しかも $n \le M-2$ の範囲だけである。手法の全体はこの一行に尽きる。出力の $n = 0, \dots, M-2$ は汚染され、出力の $n = M-1, \dots, N-1$ は無傷で厳密に正しい。先頭の $M-1$ 個を捨て、残る $N-M+1$ 個を保ち、入力は $N-M+1$ だけ進める。こうして隣り合うブロックは $M-1$ 標本ぶん重なる —— 名前のいう、保留される入力標本である。

A practical detail follows from the bookkeeping: the first block has no predecessor to overlap with, so it is started with $M-1$ zeros in front of the first real sample. After that the machine runs forever with no further special cases, consuming $N-M+1$ new samples and emitting $N-M+1$ finished ones per transform. Efficiency is measured by the fraction $(N-M+1)/N$ of the transform that does useful work, which is why $N$ is usually chosen several times $M$ — large enough that the discarded head is a small tax, small enough that the $\log N$ cost per sample stays low.由這本帳可以推出一個實務細節：第一個區塊沒有前一塊可以重疊，所以要在第一個真實樣本前面放 $M-1$ 個零把它啟動。此後這台機器就可以永遠跑下去，不再有任何特例：每做一次變換，吃進 $N-M+1$ 個新樣本，吐出 $N-M+1$ 個完成品。效率由變換中做有用功的比例 $(N-M+1)/N$ 衡量，這就是為什麼 $N$ 通常取成 $M$ 的好幾倍——大到讓丟掉的那顆頭只是一點小稅，又小到讓每個樣本的 $\log N$ 代價維持在低檔。この勘定から実務上の細かな点が出てくる。最初のブロックには重ねるべき前のブロックがないので、最初の実標本の前に $M-1$ 個の零を置いて起動する。それ以降この機械は特例なしに永久に回り、変換一回あたり $N-M+1$ 個の新しい標本を飲み込み、$N-M+1$ 個の仕上がった標本を吐き出す。効率は、変換のうち有用な仕事をしている割合 $(N-M+1)/N$ で測られる。$N$ をふつう $M$ の数倍にとるのはそのためである。捨てる頭が小さな税で済む程度には大きく、標本あたりの $\log N$ の費用が低いままである程度には小さく、という具合である。

5. Weighted overlap-add FFT / polyphase filter bank (WOLA)5. 加權疊加 FFT／多相濾波器組（WOLA / polyphase filter bank）5. 重み付き重畳加算 FFT／多相フィルタバンク（WOLA / polyphase filter bank）

This is the most direct use of the formula there is. Suppose you want better frequency selectivity than an ordinary FFT gives, which calls for a long window function $w[n]$ of length $P \cdot N$ — but you only want to perform an $N$-point FFT:這是最直接使用這個公式的例子。假設你想要比一般 FFT 更好的頻率選擇性，需要用一個長度為 $P \cdot N$ 的長視窗函數 $w[n]$，但你只想做 $N$ 點 FFT：これはこの公式をもっとも直接に使う例である。ふつうの FFT よりよい周波数選択性が欲しく、そのために長さ $P \cdot N$ の長い窓関数 $w[n]$ が要るが、行いたい FFT は $N$ 点だけだとしよう：

1. Take $P \cdot N$ samples and multiply them by the window function $w[n]$.取 $P \cdot N$ 個樣本，乘上窗函數 $w[n]$。$P \cdot N$ 個の標本をとり、窓関数 $w[n]$ を掛ける。
2. Following the formula, add up each length-$N$ segment on top of the others: $\tilde{x}[n] = \sum_r x_w[n + rN]$.依本節的公式，把每 $N$ 點一段疊加起來：$\tilde{x}[n] = \sum_r x_w[n + rN]$。本節の公式に従い、$N$ 点ごとの各区間を重ねて足し合わせる：$\tilde{x}[n] = \sum_r x_w[n + rN]$。
3. Take the FFT of those $N$ points.對這 $N$ 點做 FFT。その $N$ 点の FFT をとる。

By the derivation of this section, the result of that $N$-point FFT is exactly equal to the DTFT of the length-$P \cdot N$ windowed sequence, sampled at $N$ frequency points. You have spent only the arithmetic of an $N$-point FFT, yet you obtain the low sidelobes and narrow transition band that the long window brings.依照本節的推導，這個 $N$ 點 FFT 的結果，恰好等於長度 $P \cdot N$ 的加窗序列在 $N$ 個頻率點上的 DTFT 取樣。你只花了 $N$ 點 FFT 的運算量，卻得到長窗所帶來的低旁瓣、窄過渡帶。本節の導出によれば、この $N$ 点 FFT の結果は、長さ $P \cdot N$ の窓掛け系列の DTFT を $N$ 個の周波数点で標本化したものにちょうど等しい。支払ったのは $N$ 点 FFT の演算量だけなのに、長い窓がもたらす低いサイドローブと狭い遷移域が手に入る。

What makes it work is one line of algebra, and the only fact it uses is that the twiddle factor cannot tell $n$ from $n + rN$, because $W_N^{kN} = 1$:讓它成立的只有一行代數，而它用到的唯一事實是：旋轉因子分不出 $n$ 與 $n + rN$ 的差別，因為 $W_N^{kN} = 1$：これが成り立つ理由は一行の代数にすぎず、使う事実は一つだけである。$W_N^{kN} = 1$ なので、回転因子には $n$ と $n + rN$ の区別がつかない：

Read right to left, that chain is this section run backwards. There, DTFT samples were taken first and a fold was discovered in the time domain; here the fold is performed first, and the $N$-point DFT of the folded block is — by the same identity — the DTFT of the entire $PN$-sample windowed segment, sampled on the $N$-point grid. You paid for one $N$-point FFT and $PN$ multiply-accumulates, and you received the resolution and sidelobe suppression of a $PN$-long window. Nothing was approximated: the equality is exact.從右往左讀，這條等式鏈就是本節倒過來跑。在那裡是先取 DTFT 的樣本，然後在時域發現了一個摺疊；在這裡是先把摺疊做出來，而摺疊後區塊的 $N$ 點 DFT——依據同一個恆等式——就是整段 $PN$ 個樣本的加窗序列的 DTFT，在 $N$ 點格子上取樣的結果。你付的是一次 $N$ 點 FFT 加 $PN$ 次乘加，拿到的是長度 $PN$ 的視窗所給的解析度與旁瓣抑制。這裡沒有任何近似：這個等號是精確的。右から左へ読めば、この等式の連なりは本節を逆向きに走らせたものである。あちらでは先に DTFT の標本をとり、時間領域に折り返しを見つけた。こちらでは先に折りたたみを実行し、折りたたんだブロックの $N$ 点 DFT が —— 同じ恒等式によって —— 窓を掛けた $PN$ 標本全体の DTFT を $N$ 点格子上で標本化したものになる。支払ったのは $N$ 点 FFT 一回と $PN$ 回の積和であり、受け取ったのは長さ $PN$ の窓がもたらす分解能とサイドローブ抑制である。近似はどこにもない。この等号は厳密である。

Written as a filter instead of as a fold, step 2 is a bank of $N$ short FIR filters: output sample $n$ of the folded block is $\sum_{r} w[n+rN]\,x[n+rN]$, which touches only every $N$-th input sample, so each of the $N$ positions gets its own length-$P$ filter taken from a different phase of the long window. That decomposition is the polyphase（多相）form, and the whole structure — long prototype window, fold, FFT — is a polyphase filter bank, or a channelizer when the point of it is to split a band. Each DFT bin $k$ becomes a bandpass channel centred at $\omega = 2\pi k / N$, whose shape is the frequency response of the prototype window. The number of channels and the quality of each channel have been decoupled: $N$ sets the first, $P$ sets the second.若把第 2 步寫成濾波器而不是摺疊，它就是一組 $N$ 個短 FIR 濾波器：摺疊後區塊的第 $n$ 個輸出樣本是 $\sum_{r} w[n+rN]\,x[n+rN]$，它只碰到每隔 $N$ 個的輸入樣本，所以這 $N$ 個位置各自有一個長度為 $P$ 的濾波器，取自長視窗的不同相位。這個分解就是多相（polyphase）形式，而整個結構——長原型視窗、摺疊、FFT——就是多相濾波器組；當它的目的是把一個頻帶切開時，也叫通道化器（channelizer）。每一個 DFT 頻格 $k$ 都變成一條中心在 $\omega = 2\pi k / N$ 的帶通通道，形狀就是原型視窗的頻率響應。通道的數目與每條通道的品質因此被解耦了：$N$ 決定前者，$P$ 決定後者。第 2 段階を折りたたみではなくフィルタとして書けば、それは $N$ 個の短い FIR フィルタの集まりである。折りたたんだブロックの第 $n$ 標本は $\sum_{r} w[n+rN]\,x[n+rN]$ であり、$N$ 個おきの入力標本にしか触れない。したがって $N$ 個の位置はそれぞれ、長い窓の異なる位相から取った長さ $P$ のフィルタをもつ。この分解が多相（polyphase）形式であり、全体の構造 —— 長いプロトタイプ窓、折りたたみ、FFT —— が多相フィルタバンクである。帯域を切り分けることが目的ならチャネライザ（channelizer）とも呼ばれる。DFT の各ビン $k$ は $\omega = 2\pi k / N$ を中心とする帯域通過チャネルになり、その形はプロトタイプ窓の周波数応答そのものである。チャネルの数と一本一本の品質は、こうして切り離された。前者を決めるのが $N$、後者を決めるのが $P$ である。

This way of working is used widely in:這種做法廣泛用於：このやり方は、次のような場面で広く使われている：

• Spectrum analysers and real-time spectrum monitoring, where the sidelobes of a plain rectangular window would bury a weak signal sitting next to a strong one.頻譜分析儀、即時頻譜監測——在那裡，純矩形窗的旁瓣會把緊鄰強訊號的弱訊號整個埋掉。スペクトラムアナライザと実時間のスペクトル監視。素の矩形窓のサイドローブは、強い信号の隣にある弱い信号をまるごと埋めてしまう。
• Software-defined radio (SDR) and the channelizer of a communications system, which splits one wide band into many narrow channels in a single pass.軟體無線電（SDR）與通訊系統中的通道化器（channelizer）：把寬頻訊號一次切成很多個窄頻通道。ソフトウェア無線（SDR）と、通信システムにおけるチャネライザ。広帯域の信号を一度に多数の狭帯域チャネルへ切り分ける。
• Digital receivers in radio astronomy, where the channel shape has to be known and repeatable before any of the science can be trusted.電波天文的數位接收機——在那裡，通道的形狀必須是已知且可重現的，之後的科學結果才值得相信。電波天文学のディジタル受信機。チャネルの形が既知で再現可能でなければ、その先の科学的結果を信用できない。

6. The cyclic prefix in OFDM6. OFDM 的循環字首（cyclic prefix）6. OFDM の巡回プレフィックス（cyclic prefix）

OFDM — used by Wi-Fi and by 4G and 5G alike — puts a stretch of cyclic prefix in front of every symbol. The aim is to make the channel's linear convolution "look", at the receiver, exactly like a circular convolution. The receiver then only has to take an $N$-point FFT, and every subcarrier is equalised by dividing by a single complex number.OFDM（Wi-Fi、4G/5G 都使用）在每個符元前面加上一段循環字首。目的是讓通道的線性摺積，在接收端「看起來」恰好等於循環摺積。這樣接收端只要做 $N$ 點 FFT，每個子載波就只需除以一個複數就能完成等化。OFDM（Wi-Fi も 4G／5G も使っている）は、どのシンボルの前にも巡回プレフィックスの一区間を置く。狙いは、チャネルの線形畳み込みを受信側で「ちょうど円状畳み込みに見える」ようにすることである。そうすれば受信側は $N$ 点 FFT をとるだけでよく、どのサブキャリアも複素数一個で割れば等化が済む。

Why that is worth doing is the contrast between the two deconvolutions. A radio channel convolves the transmitted symbol with its impulse response $h[n]$ — the multipath echoes — and that convolution is linear. Undoing a linear convolution means deconvolution, which is expensive and badly conditioned wherever $H(e^{j\omega})$ is small. Undoing a circular convolution costs one complex division per bin, because the DFT diagonalises it: $x \circledast h \leftrightarrow X[k]H[k]$, the property §8.6.1 proves.這件事值得做的理由，在於兩種解摺積的對比。無線通道會把送出去的符元與它的脈衝響應 $h[n]$ 做摺積——那些多重路徑的回波——而這個摺積是線性的。要還原線性摺積就得做解摺積，代價昂貴，而且在 $H(e^{j\omega})$ 很小的地方條件極差。要還原循環摺積，每個頻格只要一次複數除法，因為 DFT 把它對角化了：$x \circledast h \leftrightarrow X[k]H[k]$，這是 §8.6.1 證明的性質。これを行う値打ちは、二種類の逆畳み込みの対比にある。無線チャネルは、送られたシンボルを自身のインパルス応答 $h[n]$ —— すなわち多重経路の反射 —— と畳み込む。そしてその畳み込みは線形である。線形畳み込みをほどくには逆畳み込みが要る。高価であり、$H(e^{j\omega})$ の小さいところでは条件が悪い。円状畳み込みをほどくのはビンあたり一回の複素除算で済む。DFT がそれを対角化するからであり、$x \circledast h \leftrightarrow X[k]H[k]$ は §8.6.1 が証明する性質である。

So OFDM buys the circular convolution outright. Before each $N$-sample symbol it transmits a copy of that symbol's own last $M-1$ samples, the cyclic prefix（循環字首）. While the prefix goes by, the channel's delay line fills with samples that are, modulo $N$, precisely the ones a circular convolution would have called for. The receiver discards the prefix, and the $N$ samples it keeps are exactly $x \circledast h$. One $N$-point FFT later, every subcarrier is equalised by dividing by a single complex number $H[k]$.所以 OFDM 乾脆把循環摺積買下來。在每個 $N$ 樣本的符元之前，它先送出該符元自己最後 $M-1$ 個樣本的複本，也就是循環字首（cyclic prefix）。在字首通過的這段期間，通道的延遲線被填進去的樣本，對 $N$ 取模之後，恰好就是循環摺積會要用到的那些。接收端把字首丟掉，留下的 $N$ 個樣本正是 $x \circledast h$。再做一次 $N$ 點 FFT，每個子載波就只要除以一個複數 $H[k]$ 即可完成等化。そこで OFDM は、円状畳み込みを正面から買い取る。$N$ 標本のシンボルごとに、その直前へシンボル自身の末尾 $M-1$ 標本の複製を送る。これが巡回プレフィックス（cyclic prefix）である。プレフィックスが通り過ぎるあいだに、チャネルの遅延線は、$N$ を法として見ればまさに円状畳み込みが必要としたはずの標本で満たされる。受信側はプレフィックスを捨て、残した $N$ 標本はちょうど $x \circledast h$ になる。$N$ 点 FFT を一回かければ、どのサブキャリアも一個の複素数 $H[k]$ で割るだけで等化できる。

This too is exploiting the exact relationship between the DFT and circular (aliased) convolution: rather than avoid the wrap-around, design the system so that the result of the wrap-around is precisely the one you wanted.這也是在利用 DFT 與循環（混疊）摺積之間的精確關係：與其避免繞回，不如把系統設計成繞回的結果正好是我們要的。これもまた、DFT と円状（エイリアシングを受けた）畳み込みとのあいだの厳密な関係を利用している。巻き戻りを避けるのではなく、巻き戻った結果がちょうど望みのものになるように系を設計するのである。

The price is the prefix itself: it must be at least as long as the channel's delay spread, $M-1$ samples, and those samples carry no new information. That is the same $M-1$ overlap-save throws away — paid for in advance here, discarded afterwards there.代價就是字首本身：它的長度至少要等於通道的延遲擴展，也就是 $M-1$ 個樣本，而這些樣本不帶任何新資訊。這和重疊保留法丟掉的是同一個 $M-1$——只是在這裡是事先付掉，在那裡是事後丟掉。代償はプレフィックスそのものであり、その長さは少なくともチャネルの遅延スプレッド、すなわち $M-1$ 標本なければならず、しかもその標本は新しい情報を何も運ばない。これは重畳保留法が捨てるのと同じ $M-1$ である。こちらでは前払いし、あちらでは後から捨てる。

8.5.6 Summary — avoid, control, exploit8.5.6 總結——避開、控制、利用8.5.6 まとめ —— 避ける・制御する・利用する

8.6 Convolution with the DFT8.6 用 DFT 做摺積8.6 DFT による畳み込み

8.6.1 Circular convolution8.6.1 循環摺積8.6.1 円状畳み込み

What time-domain operation corresponds to multiplying two DFTs? Not linear convolution — because of the implicit periodicity, it is circular convolution（循環摺積）, written $\circledast$ or $\overset{N}{\circledast}$:把兩個 DFT 相乘，對應到時域的哪一種運算？不是線性摺積——因為那個隱含的週期性，對應到的是循環摺積，記為 $\circledast$ 或 $\overset{N}{\circledast}$：二つの DFT を掛けることは、時間領域のどんな演算に対応するのか。線形畳み込みではない。暗黙の周期性のために、対応するのは円状畳み込みであり、$\circledast$ または $\overset{N}{\circledast}$ と書く：

Mechanically it is the same flip-shift-multiply-sum recipe as linear convolution, except the flip and shift are circular: $x_2$ is reversed around the circle and rotated by $n$ positions. Both sequences must be defined on (or zero-padded to) the same length $N$, and the output also has length $N$.操作上，它和線性摺積是同一套「翻轉—平移—相乘—求和」的流程，只是翻轉與平移都是循環的：$x_2$ 沿著圓周反轉，再旋轉 $n$ 格。兩個序列都必須定義在（或補零到）同樣的長度 $N$，輸出的長度也是 $N$。手順としては線形畳み込みと同じ「反転・シフト・乗算・総和」の段取りだが、反転とシフトが円状である点が違う。$x_2$ は円に沿って反転され、$n$ 目盛りだけ回転される。二つの系列はどちらも同じ長さ $N$ の上で定義されていなければならない（あるいはそこまでゼロ詰めする）。出力の長さも $N$ である。

Reverse, then shift right — which way the sign goes先反轉，再右移——括號裡的正負號反転してから右へずらす —— 括弧の中の符号

That recipe hides a sign trap. Reversing is the easy half: §8.4.2 already turned $((-m))_N$ into a picture. The half that is routinely got backwards is the shift, because the bracket already carries a minus sign and the shift has to pass through it. Write $g$ for $x_1$ and $h$ for $x_2$, so that the definition above reads $y[n] = \sum_m g[m]\,h[((n-m))_N]$.這套流程藏了一個正負號的陷阱。反轉那一半是容易的：§8.4.2 已經把 $((-m))_N$ 畫成圖了。真正容易弄反的是平移，因為括號裡本來就帶著一個負號，而平移必須穿過這個負號。以下把 $x_1$ 寫成 $g$、$x_2$ 寫成 $h$，上面的定義就讀作 $y[n] = \sum_m g[m]\,h[((n-m))_N]$。この段取りには符号の落とし穴が一つ隠れている。反転のほうは易しい。§8.4.2 がすでに $((-m))_N$ を絵にしてある。取り違えられやすいのはシフトのほうである。括弧の中にはもともと負号があり、シフトはその負号を通り抜けなければならないからである。以下では $x_1$ を $g$、$x_2$ を $h$ と書く。すると上の定義は $y[n] = \sum_m g[m]\,h[((n-m))_N]$ と読める。

Nothing beyond substitution is needed. The row that produces $y[0]$ is the reversal on its own and calls for no shift at all, which is why that row is almost always right; the first row that does need a shift is where the sign goes astray. Put $n = 1$ into the general formula — which is the definition itself — and read off what the bracket contains:要做的事不過是代入。算 $y[0]$ 的那一排就是反轉本身，根本不必平移，所以那一排幾乎不會錯；第一排真正需要平移的，才是正負號走偏的地方。一般式就是定義本身，把 $n = 1$ 代進去，再看看括號裡留下什麼：必要なのは代入だけである。$y[0]$ を作る一行は反転そのものであってシフトをまったく含まないので、その行はまず間違えない。符号が狂うのは、シフトを要する最初の一行である。一般式とは定義そのものであり、そこに $n = 1$ を代入して括弧の中に何が残るかを読めばよい。

What stands inside the bracket is $+1$, not $-1$.括號裡的是 $+1$，不是 $-1$。括弧の中に立っているのは $+1$ であって、$-1$ ではない。

Why it is $+1$. Let the reversed sequence be $h_r[m] = h[((-m))_4]$. "Shifting $h_r$ one step to the right" subtracts $1$ from the variable $m$ — not from the argument of $h$ inside the bracket:為什麼是 $+1$。令反轉後的序列為 $h_r[m] = h[((-m))_4]$。所謂「把 $h_r$ 往右平移 1 格」，是在變數 $m$ 上減 1，而不是在 $h$ 的括號裡減 1：なぜ $+1$ になるのか。反転後の系列を $h_r[m] = h[((-m))_4]$ とおく。「$h_r$ を右へ 1 目盛りずらす」とは、変数 $m$ から $1$ を引くことであって、括弧の中にある $h$ の引数から $1$ を引くことではない。

The minus sign in front turns the subtraction over, so what is left inside the bracket is $+1$. The same two lines with a shift of $n$ in place of $1$ hand the definition straight back:減號被前面的負號翻了過來，所以括號裡變成 $+1$。把 1 換成 $n$，同樣這兩行就把定義本身原封不動地還了回來：前に付いた負号が引き算をひっくり返すので、括弧の中に残るのは $+1$ である。$1$ の代わりに $n$ だけずらしても同じ二行であり、こんどは定義そのものがそのまま戻ってくる。

Checking it on numbers. Take $g = [1, 2, 3, 4]$ and $h = [1, 1, 0, 0]$, $N = 4$. Each row below is one whole multiply-and-sum pass: the four values the shifted $h$ presents at $m = 0, 1, 2, 3$, and the total they produce against $g$.用數字驗證。取 $g = [1, 2, 3, 4]$、$h = [1, 1, 0, 0]$，$N = 4$。下表每一列都是一整輪「相乘—求和」：平移後的 $h$ 在 $m = 0, 1, 2, 3$ 上交出的四個值，以及它們與 $g$ 相配之後的總和。数値で確かめる。$g = [1, 2, 3, 4]$、$h = [1, 1, 0, 0]$、$N = 4$ とする。下の表の各行は、掛けて足す操作をひと通り行ったものである。ずらした $h$ が $m = 0, 1, 2, 3$ で差し出す四つの値と、それらを $g$ と突き合わせて得られる総和である。

The third row is a shift one step to the left, not to the right. It is not meaningless — it computes a genuine output sample of the very same circular convolution, merely the wrong one: $y[((-1))_4] = y[3] = 7$, not $y[1]$.第三列其實是往左平移 1 格，不是往右。它並非沒有意義——它算出來的確實是同一個循環摺積的某個輸出樣本，只是算錯了那一個：$y[((-1))_4] = y[3] = 7$，不是 $y[1]$。三行目は右ではなく左へ 1 目盛りずらしたものである。無意味な値ではない。同じ円状畳み込みの本物の出力標本を計算してはいるのだが、求めたいものとは別の標本である。すなわち $y[((-1))_4] = y[3] = 7$ であって、$y[1]$ ではない。

8.6.2 Circular vs. linear convolution: time aliasing8.6.2 循環摺積 vs 線性摺積：時域混疊8.6.2 円状畳み込みと線形畳み込み：時間領域エイリアシング

Let $x_1$ have length $L$ and $x_2$ length $P$. Their linear convolution $y_{\text{lin}}[n] = x_1[n] * x_2[n]$ has length $L + P - 1$. The $N$-point circular convolution is the linear result wrapped around a circle of length $N$:設 $x_1$ 長度為 $L$、$x_2$ 長度為 $P$。它們的線性摺積 $y_{\text{lin}}[n] = x_1[n] * x_2[n]$ 長度為 $L + P - 1$。而 $N$ 點的循環摺積，就是把這個線性結果繞在一個長度為 $N$ 的圓上：$x_1$ の長さを $L$、$x_2$ の長さを $P$ とする。両者の線形畳み込み $y_{\text{lin}}[n] = x_1[n] * x_2[n]$ の長さは $L + P - 1$ である。$N$ 点円状畳み込みとは、この線形の結果を長さ $N$ の円に巻きつけたものである：

If $N \ge L+P-1$ nothing wraps and $y_c = y_{\text{lin}}$. If $N$ is too small, the tail of $y_{\text{lin}}$ folds back onto its head — time aliasing again, this time caused by multiplying spectra sampled too coarsely.若 $N \ge L+P-1$，什麼都不會繞出去，$y_c = y_{\text{lin}}$。若 $N$ 太小，$y_{\text{lin}}$ 的尾巴就會折回來疊到頭上——又是時域混疊，這一次的成因是把取樣得太稀疏的頻譜相乘。$N \ge L+P-1$ であれば何も巻き込まれず、$y_c = y_{\text{lin}}$ となる。$N$ が小さすぎると、$y_{\text{lin}}$ の尾が頭の上へ折り返る —— またもや時間領域エイリアシングであり、今度の原因は粗く標本化しすぎたスペクトルどうしを掛けたことである。

8.6.3 Linear convolution via the DFT8.6.3 用 DFT 做線性摺積8.6.3 DFT による線形畳み込み

The fast-convolution recipe（快速摺積流程）:快速摺積的流程：高速畳み込みの手順は次のとおり：

1. Zero-pad $x_1[n]$ (length $L$) and $x_2[n]$ (length $P$) to $N \ge L+P-1$.把 $x_1[n]$（長度 $L$）與 $x_2[n]$（長度 $P$）都補零到 $N \ge L+P-1$。$x_1[n]$（長さ $L$）と $x_2[n]$（長さ $P$）を $N \ge L+P-1$ までゼロ詰めする。
2. Compute $X_1[k] = \mathrm{FFT}\{x_1\}$ and $X_2[k] = \mathrm{FFT}\{x_2\}$.計算 $X_1[k] = \mathrm{FFT}\{x_1\}$ 與 $X_2[k] = \mathrm{FFT}\{x_2\}$。$X_1[k] = \mathrm{FFT}\{x_1\}$ と $X_2[k] = \mathrm{FFT}\{x_2\}$ を計算する。
3. Multiply bin-by-bin: $Y[k] = X_1[k]\,X_2[k]$.逐格相乘：$Y[k] = X_1[k]\,X_2[k]$。ビンごとに掛ける：$Y[k] = X_1[k]\,X_2[k]$。
4. $y[n] = \mathrm{IFFT}\{Y[k]\}$; take the real part if the inputs were real (imaginary residue is round-off).$y[n] = \mathrm{IFFT}\{Y[k]\}$；若輸入為實數就取實部（殘留的虛部是捨入誤差）。$y[n] = \mathrm{IFFT}\{Y[k]\}$ とする。入力が実数だったなら実部をとる（残った虚部は丸め誤差である）。

Cost: three FFTs plus $N$ multiplies $\approx \tfrac{3}{2}N\log_2 N + N$ complex multiplications, versus $LP$ for direct convolution — a huge win when both sequences are long. In MATLAB: y = ifft( fft(x1,N) .* fft(x2,N) ).計算量：三次 FFT 加上 $N$ 次乘法，約 $\tfrac{3}{2}N\log_2 N + N$ 次複數乘法，相對於直接摺積的 $LP$ 次——當兩個序列都很長時，這是極大的勝利。在 MATLAB 中：y = ifft( fft(x1,N) .* fft(x2,N) )。計算量：FFT 三回に $N$ 回の乗算を加えて、$\approx \tfrac{3}{2}N\log_2 N + N$ 回の複素乗算。直接畳み込みの $LP$ 回に対して、どちらの系列も長いときには圧倒的な勝利である。MATLAB では y = ifft( fft(x1,N) .* fft(x2,N) ) とする。

8.6.4 Overlap-add convolution8.6.4 重疊相加法8.6.4 重畳加算法

Filtering a very long (possibly streaming) signal $x[n]$ with a length-$P$ FIR impulse response $h[n]$ cannot wait for the whole signal. Overlap-add（重疊相加法）processes it block by block:要用長度 $P$ 的 FIR 脈衝響應 $h[n]$ 去濾一個非常長（甚至是串流）的訊號 $x[n]$，不可能等整段訊號都到齊。重疊相加法（overlap-add）把它一塊一塊地處理：非常に長い（場合によっては流れ続ける）信号 $x[n]$ を長さ $P$ の FIR インパルス応答 $h[n]$ で濾波するとき、信号が全部そろうまで待つわけにはいかない。重畳加算法（overlap-add）はこれをブロックごとに処理する：

1. Cut $x[n]$ into non-overlapping blocks $x_r[n]$ of length $L$.把 $x[n]$ 切成長度為 $L$、互不重疊的區塊 $x_r[n]$。$x[n]$ を長さ $L$ の、互いに重ならないブロック $x_r[n]$ に切る。
2. Convolve each block with $h[n]$ using an $N$-point FFT, $N \ge L+P-1$ → each output block $y_r[n]$ has length $L+P-1$.用 $N$ 點 FFT（$N \ge L+P-1$）把每一個區塊與 $h[n]$ 摺積 → 每個輸出區塊 $y_r[n]$ 的長度為 $L+P-1$。$N \ge L+P-1$ なる $N$ 点 FFT を使って各ブロックを $h[n]$ と畳み込む → 各出力ブロック $y_r[n]$ の長さは $L+P-1$ になる。
3. Each output block is $P-1$ samples longer than its input block, so consecutive output blocks overlap by $P-1$ samples. Add the overlapping tails: $y[n] = \sum_r y_r[n - rL]$.每個輸出區塊都比它的輸入區塊長 $P-1$ 個樣本，所以相鄰的輸出區塊會重疊 $P-1$ 個樣本。把重疊的尾巴相加：$y[n] = \sum_r y_r[n - rL]$。各出力ブロックは入力ブロックより $P-1$ 標本だけ長いので、隣り合う出力ブロックは $P-1$ 標本ぶん重なる。その重なった尾を加算する：$y[n] = \sum_r y_r[n - rL]$。

Linearity of convolution guarantees the sum is exactly $x[n]*h[n]$: since $x[n] = \sum_r x_r[n-rL]$, convolving term by term gives $y[n] = \sum_r (x_r * h)[n-rL]$.摺積的線性保證了這個總和恰好就是 $x[n]*h[n]$：因為 $x[n] = \sum_r x_r[n-rL]$，逐項摺積便得到 $y[n] = \sum_r (x_r * h)[n-rL]$。畳み込みの線形性が、この総和がちょうど $x[n]*h[n]$ になることを保証する。$x[n] = \sum_r x_r[n-rL]$ なので、項ごとに畳み込めば $y[n] = \sum_r (x_r * h)[n-rL]$ が得られる。

The symbols符號記号

These are the letters this subsection uses. One of them is worth flagging: here $L$ is the length of a single block, not the length of the whole signal, which is the role $L$ plays in §8.5.4–§8.5.6.以下是本小節使用的字母。其中一個值得特別提醒：這裡的 $L$ 是單一區塊的長度，不是整段訊號的長度——後者才是 $L$ 在 §8.5.4–§8.5.6 中扮演的角色。本小節で用いる文字は次のとおりである。一つだけ注意を促しておきたい。ここでの $L$ は一つのブロックの長さであって、信号全体の系列長ではない。後者は §8.5.4–§8.5.6 における $L$ の役である。

Why it works: convolution is linear為什麼成立：摺積是線性的なぜ成り立つのか：畳み込みは線形である

The sentence above is worth writing out, because those two steps are the whole method. The blocks are a partition of $x[n]$ — nothing is dropped and nothing is counted twice — so putting each one back where it came from reassembles the signal exactly:上面那句話值得攝開來寫，因為那兩個步驟就是整個方法。這些區塊是 $x[n]$ 的一個分割——沒有漏掉任何東西，也沒有重複計算——所以把每一塊放回它原來的位置，就原原本本地拼回了整段訊號：上の一文は書き下しておく価値がある。その二つの段階こそが手法のすべてだからである。これらのブロックは $x[n]$ の分割である。落ちるものもなく、二重に数えられるものもない。したがって各ブロックを元の位置へ戻せば、信号はそのまま組み上がる：

Convolution is a linear operation, so $h$ may be pushed inside that sum and applied to one block at a time:摺積是線性運算，所以可以把 $h$ 推進這個總和裡面，一次只對一個區塊作用：畳み込みは線形演算なので、$h$ をその総和の内側へ押し込み、一度に一つのブロックへ作用させてよい：

Those two lines are the whole mathematical basis of the method. Everything that follows — the FFT, the zero padding, the overlapping tails — is bookkeeping in their service.這兩行就是整個方法的數學基礎。後面的一切——FFT、補零、重疊的尾巴——都只是為它們服務的帳務工作。この二行が手法の数学的な基礎のすべてである。これに続くもの —— FFT、ゼロ詰め、重なり合う尾 —— はいずれも、その二行に仕える帳簿づけにすぎない。

Why the outputs overlap, and by exactly $P-1$為什麼輸出會重疊，而且恰好重疊 $P-1$ 點なぜ出力が重なるのか、しかもちょうど $P-1$ 点だけ

A block has length $L$. Convolved linearly with an $h$ of length $P$, its output has length一個區塊的長度是 $L$。它和長度 $P$ 的 $h$ 做線性摺積之後，輸出的長度是ブロックの長さは $L$ である。それを長さ $P$ の $h$ と線形に畳み込むと、出力の系列長は

— that is $P-1$ samples longer than the block it came from. Block $r$'s output therefore trails $P-1$ samples past the end of block $r$'s own stretch of time and into block $r+1$'s, so consecutive output blocks share exactly $P-1$ samples, and on that stretch the two contributions have to be added. Both halves of the name come from this one sentence: the outputs overlap, and the overlap is settled by an add. Note that the figure $P-1$ does not involve $L$ at all — lengthening the blocks does not lengthen the overlap, it only makes the overlap a smaller fraction of each block.——比它來自的那個區塊長了 $P-1$ 個樣本。於是第 $r$ 塊的輸出會拖著 $P-1$ 個樣本，越過第 $r$ 塊自己那段時間的尾端，伸進第 $r+1$ 塊的範圍，所以相鄰的輸出區塊恰好共用 $P-1$ 個樣本，在這一段上兩邊的貢獻必須相加。名稱的兩半都出自這一句話：輸出會重疊，而重疊是用相加來結清的。請注意 $P-1$ 這個數字裡完全沒有 $L$——把區塊拉長並不會把重疊拉長，只會讓重疊在每塊中所佔的比例變小。—— すなわち、元のブロックより $P-1$ 標本だけ長い。したがって第 $r$ ブロックの出力は $P-1$ 標本ぶんの尾を引き、第 $r$ ブロック自身の時間区間の終わりを越えて第 $r+1$ ブロックの領域へ入り込む。隣り合う出力ブロックはちょうど $P-1$ 標本を共有し、その区間では両者の寄与を加算せねばならない。名前の前半も後半もこの一文から出ている。出力が重なり、その重なりは加算で決着する。$P-1$ という数には $L$ がまったく入っていないことに注意したい。ブロックを長くしても重なりは長くならず、重なりが各ブロックに占める割合が小さくなるだけである。

Two practical points that the three steps above leave implicit. First, the zero-padding condition $N \ge L+P-1$ is exactly the conclusion of §8.6.3: a product of DFTs is a circular convolution, and it agrees with the linear one only when the transform is long enough that nothing folds back onto itself (§8.6.2). Second, $H[k]$ — the $N$-point FFT of the zero-padded $h$ — depends on no block at all, so it is computed once and reused by every block; the recurring cost is one forward FFT, $N$ complex multiplies and one inverse FFT per block.上面三個步驟還留了兩個實務上的要點沒有講明。其一，補零條件 $N \ge L+P-1$ 正是 §8.6.3 的結論：DFT 相乘得到的是循環摺積，只有當變換長到不會有任何東西摺回自己身上時（§8.6.2），它才等於線性摺積。其二，$H[k]$——補零後的 $h$ 的 $N$ 點 FFT——根本不依賴於任何區塊，所以只需算一次，所有區塊共用；每塊反覆要付的代價是一次正向 FFT、$N$ 次複數乘法與一次反向 FFT。上の三つの手順が明言せずに残している実務上の要点が二つある。第一に、ゼロ詰めの条件 $N \ge L+P-1$ は §8.6.3 の結論そのものである。DFT の積は円状畳み込みであり、それが線形畳み込みと一致するのは、変換が十分に長く、何も自分自身の上へ折り返らないときだけである（§8.6.2）。第二に、$H[k]$ —— ゼロ詰めした $h$ の $N$ 点 FFT —— はどのブロックにも依存しないので、一度だけ計算してすべてのブロックで使い回せる。ブロックごとに繰り返し払う費用は、順変換の FFT 一回、$N$ 回の複素乗算、逆変換の FFT 一回である。

Why block the signal at all為什麼要切塊そもそもなぜ信号を切るのか

• It bounds the FFT size. If $x$ runs to a million samples, convolving it in one piece would call for a transform longer than a million points: a great deal of memory, and not one output sample until the very last input sample has arrived. Blocked, every transform is only $N$ long.限制 FFT 大小。如果 $x$ 長達一百萬點，一口氣做完就需要一個超過一百萬點的變換：記憶體很大，而且在最後一個輸入樣本到齊之前，一個輸出樣本也拿不到。切塊之後，每次變換都只有 $N$ 這麼長。FFT の大きさを抑えられる。$x$ が百万標本に及ぶなら、一息に畳み込むには百万点を超える変換が要る。記憶容量は大きく、しかも最後の入力標本が届くまで出力標本は一つも得られない。ブロックに切れば、どの変換も系列長は $N$ だけである。
• It bounds the processing delay. In a real-time system — audio, communications — the signal keeps arriving. As soon as $L$ fresh samples are in hand, one block can be transformed and its output emitted, so the latency is about one block, not the length of the whole signal.限制處理延遲。在即時系統中——音訊、通訊——訊號是持續進來的。每收滿 $L$ 個新樣本，就能處理一塊並把輸出送出去，所以延遲大約是一個區塊的時間，而不是整段訊號的長度。処理遅延を抑えられる。実時間のシステム —— 音響や通信 —— では信号は流れ込み続ける。新しい標本が $L$ 個そろった時点で一ブロックを変換して出力を送り出せるので、遅延はおよそ一ブロックぶんであり、信号全体の長さではない。
• It is efficient. When $P$ is large — hundreds to thousands of taps — block FFT convolution beats evaluating the time-domain sum sample by sample by a wide margin.效率。當 $P$ 很大時——數百到數千個 tap——區塊式 FFT 摺積比在時域逐點計算那個總和快得多。効率がよい。$P$ が大きいとき —— 数百から数千のタップ —— ブロック式の FFT 畳み込みは、時間領域の和を一標本ずつ評価するやり方を大きく引き離す。

Choosing $L$ — the tradeoff. The larger $L$ is, the more output samples share the cost of one transform, so the arithmetic per sample falls; but latency and buffer memory both grow with $L$. The usual practice is to fix $N$ at a power of two and then take $L = N - P + 1$, the longest block that transform can carry without aliasing.選擇 $L$ 的取捨。$L$ 越大，一次變換的成本就被更多輸出樣本分攤，每個樣本的算術量就越低；但延遲與緩衝區記憶體也都隨 $L$ 一起變大。常見的做法是把 $N$ 固定為 2 的冪次，然後取 $L = N - P + 1$，也就是該變換在不產生混疊的前提下載得動的最長區塊。$L$ の選び方 —— 釣り合いの問題。$L$ が大きいほど一回の変換の費用をより多くの出力標本で分け合えるので、標本あたりの演算は減る。しかし遅延も緩衝記憶も $L$ とともに増える。よく行われるのは、$N$ を 2 の冪に固定したうえで $L = N - P + 1$ ととることである。これはその変換がエイリアシングを起こさずに運べる最長のブロックである。

8.7 Zero Padding, Resolution, and Windows8.7 補零、解析度與視窗8.7 ゼロ詰め・分解能・窓関数

8.7.1 Zero padding and the frequency grid8.7.1 補零與頻率格點8.7.1 ゼロ詰めと周波数格子

Appending zeros to a length-$L$ signal before taking an $N$-point DFT ($N > L$) does not change its DTFT at all — the extra terms contribute nothing to the sum. It only changes where the DTFT is sampled: the grid spacing shrinks from $2\pi/L$ to $2\pi/N$. Zero padding（補零）therefore:在對長度為 $L$ 的訊號做 $N$ 點 DFT（$N > L$）之前補上一些零，完全不會改變它的 DTFT——那些多出來的項對總和沒有任何貢獻。改變的只是在哪些地方對 DTFT 取樣：格點間距從 $2\pi/L$ 縮小為 $2\pi/N$。因此補零：長さ $L$ の信号に零を付け足してから $N$ 点 DFT（$N > L$）をとっても、その DTFT はまったく変わらない。付け足した項は和に何も寄与しないからである。変わるのはDTFT をどこで標本化するかだけで、格子の間隔が $2\pi/L$ から $2\pi/N$ へ縮む。したがってゼロ詰めは：

• does interpolate the displayed spectrum more finely (good for locating a peak, making plots smooth, reading off magnitudes between original bins);會把顯示出來的頻譜內插得更細緻（便於定位峰值、讓圖形平滑、讀出原本兩個頻格之間的振幅）；表示されるスペクトルをより細かく内挿する（頂点の位置を突き止める、図をなめらかにする、元のビンとビンのあいだの振幅を読み取る、といった用途によい）。
• does not improve true frequency resolution — it cannot separate two tones that the underlying length-$L$ DTFT has already merged.不會改善真正的頻率解析度——它沒辦法分開兩個在長度 $L$ 的 DTFT 上就已經糊在一起的音。真の周波数分解能を改善しない。長さ $L$ の DTFT の時点ですでに融合してしまった二つの音を、分離することはできない。

Resolution is governed by the window's main-lobe width: a length-$L$ rectangular window has main-lobe width $4\pi/L$ (rad/sample), so two real tones closer than about $F_s/L$ Hz produce overlapping main lobes that merge into one bump. More data — not more zeros — is the only cure:解析度是由視窗主瓣的寬度決定的：長度 $L$ 的矩形窗主瓣寬度為 $4\pi/L$（rad/sample），所以兩個相距小於約 $F_s/L$ Hz 的實數音，其主瓣會重疊而糊成一個包。唯一的解法是增加資料，而不是增加零：分解能を支配するのは窓の主ローブ幅である。長さ $L$ の矩形窓の主ローブ幅は $4\pi/L$（rad/sample）なので、およそ $F_s/L$ Hz より近い二つの実数の音は主ローブが重なり、一つの膨らみに融けてしまう。唯一の治療法は零ではなくデータを増やすことである：

8.7.2 Truncation and window functions8.7.2 截斷與視窗函數8.7.2 打ち切りと窓関数

What if the signal is not time-limited? Keeping only $N$ samples is equivalent to multiplying by a window（窗函數）: $x_w[n] = x[n]\,w[n]$. By the multiplication property, the spectrum becomes a convolution:如果訊號本身不是時間受限的呢？只保留 $N$ 個樣本，等同於乘上一個視窗：$x_w[n] = x[n]\,w[n]$。根據相乘性質，頻譜就變成一個摺積：信号が時間制限されていない場合はどうなるか。標本を $N$ 個だけ残すことは、窓関数を掛けることと等価である：$x_w[n] = x[n]\,w[n]$。乗算の性質により、スペクトルは畳み込みになる：

Each spectral line of $x[n]$ is replaced by a copy of the window's frequency response $W(e^{j\omega})$ — main lobe (width = blur) plus sidelobes (leakage). The windows highlighted in the lecture:$x[n]$ 的每一根譜線，都被換成視窗頻率響應 $W(e^{j\omega})$ 的一份複本——主瓣（寬度＝模糊程度）加上旁瓣（洩漏）。課堂上強調的幾種視窗：$x[n]$ のスペクトル線は一本ごとに、窓の周波数応答 $W(e^{j\omega})$ の複製に置き換わる —— 主ローブ（幅＝ぼけの度合い）とサイドローブ（漏れ）である。講義で取り上げた窓は次のとおり：

Why leakage happens, seen from the time domain洩漏為什麼會發生：時域的看法漏れはなぜ起きるのか——時間領域から見る

Everything so far has accounted for leakage from the frequency side: the spectrum is convolved with $W(e^{j\omega})$ and the window's sidelobes smear each line. The same fact has a second account in the time domain, and it is that one which makes the cure obvious. Two matters of lettering first. Throughout this subsection $N$ is both the window length and the DFT length — nothing here is zero-padded — so the letter agrees with the window table above, which defines its windows over $0 \le n \le N-1$. §8.7.3 instead writes $L$ for the window length and keeps $N$ for the DFT length; as that section says where it fixes its own convention, the two spellings name one and the same quantity. And $((n))_N$ means $n$ modulo $N$, the notation of §8.2.1.到這裡為止，洩漏都是從頻域那一側解釋的：頻譜與 $W(e^{j\omega})$ 做摺積，視窗的旁瓣把每一根譜線抹開。同一件事還有第二種說法，在時域裡，而且是那個說法讓「要怎麼治」變得顯而易見。先交代兩件符號的事。在這一小節裡，$N$ 同時是視窗長度與 DFT 點數——這裡沒有補零——所以這個字母與上面那張視窗表一致，該表把視窗定義在 $0 \le n \le N-1$ 上。§8.7.3 則把視窗長度寫成 $L$，把 $N$ 留給 DFT 點數；正如該節立下自己的慣例時所說，兩種寫法指的是同一個量。另外，$((n))_N$ 表示 $n$ 對 $N$ 取餘數，是 §8.2.1 的記號。ここまで、漏れはつねに周波数領域の側から説明してきた。スペクトルが $W(e^{j\omega})$ と畳み込まれ、窓のサイドローブが各スペクトル線をにじませる、という説明である。同じ事実には時間領域からの第二の説明があり、処方箋が自明になるのはそちらのほうである。先に記号を二つ決めておく。本小節を通じて $N$ は窓の系列長であり、同時に DFT の系列長でもある——ここではゼロ詰めを行わない——ので、窓を $0 \le n \le N-1$ の上で定義する上の窓の表と文字が一致する。§8.7.3 は窓の系列長を $L$ と書き、$N$ を DFT の系列長に残している。同節が自らの約束を定める箇所で述べているとおり、二つの書き方は同一の量を指す。また $((n))_N$ は $n$ を $N$ で割った余りであり、§8.2.1 の記法である。

Frequency on a bin ($r$ an integer — the figure's default 3.00)頻率在格點上（$r$ 為整數，例如圖中預設的 3.00）周波数が格子点上にある場合（$r$ が整数、図の既定値 3.00）

Time domain (panel ② of the figure below): the $N$ points hold exactly 3 whole periods, so when the DFT extends them periodically the seam joins smoothly and the result agrees exactly with the true continuous cosine (dashed). What the DFT "sees" is an infinitely long pure cosine.時域（下圖面板 ②）：$N$ 點內剛好 3 個完整週期，DFT 把這段週期延伸後，接縫處平順銜接，和真正的連續餘弦（虛線）完全一致。DFT「看到」的就是一個無限長的純餘弦。時間領域（下図のパネル ②）：$N$ 点のなかにちょうど 3 周期分が収まっているので、DFT がこれを周期的に延長しても継ぎ目はなめらかにつながり、真の連続余弦（破線）と完全に一致する。DFT が「見ている」のは無限に長い純粋な余弦である。

Frequency domain (panel ③): the grey curve is the periodic sinc that the finite length produces (§8.2.4), centred on $k = r$ and $k = N - r$. The DFT samples that curve one bin apart, and the zeros of the sinc also fall exactly one bin apart. So apart from the two peaks, every sample lands precisely on a zero and only two lines appear. This is why the cosine of §8.2.3 gives exactly two spikes.頻域（面板 ③）：灰色曲線是有限長度造成的週期性 sinc（§8.2.4），以 $k = r$ 和 $k = N - r$ 為中心。DFT 的取樣點間距是 1 個 bin，而 sinc 的零點也恰好每隔 1 個 bin 出現一次。所以除了兩個峰值以外，每個取樣點都正好落在零點上，看起來只有兩根。這就是 §8.2.3 那個餘弦例子只有兩根譜線的原因。周波数領域（パネル ③）：灰色の曲線は有限の長さが生む周期 sinc（§8.2.4）であり、$k = r$ と $k = N - r$ を中心にもつ。DFT の標本点の間隔は 1 bin であり、この sinc の零点もちょうど 1 bin ごとに現れる。したがって二つの頂点を除けば、どの標本点もぴたりと零点の上に落ちるので、線は二本しか見えない。§8.2.3 の余弦がちょうど二本のスペクトル線になるのはこのためである。

Note that the grey curve — the DTFT — has sidelobes of its own: the leakage is there the whole time. The samples merely happen to miss it, so the DFT does not show it.注意：灰色曲線（DTFT）本身其實有旁瓣，洩漏一直都在。只是取樣點剛好避開了它，所以在 DFT 中看不出來。注意すべきは、灰色の曲線（DTFT）そのものにはサイドローブがあり、漏れはつねに存在しているということである。標本点がたまたまそれを避けているだけなので、DFT には現れない。

Frequency off the bins (press "halfway between two bins")頻率不在格點上（按「移到兩格點正中間」）周波数が格子点から外れている場合（「二つの格子点の中間へ」を押す）

Time domain: the $N$ points no longer hold a whole number of periods, and after the periodic extension a jump appears at the seam (the red bar). What the DFT sees is no longer a pure cosine but a signal that breaks once every $N$ points, and that break carries a great many other frequency components.時域：$N$ 點內不是整數個週期，週期延伸後在接縫處出現跳變（紅色直條）。DFT 看到的不再是純餘弦，而是一個每 $N$ 點就斷開一次的訊號，這個跳變帶有大量其他頻率成分。時間領域：$N$ 点のなかの周期数が整数でなくなり、周期的に延長すると継ぎ目に跳びが現れる（赤い縦棒）。DFT が見ているのはもはや純粋な余弦ではなく、$N$ 点ごとに一度断ち切られる信号であり、その断ち切りは他の多くの周波数成分をともなう。

Frequency domain: the shape of the sinc has not changed; the whole curve has simply moved by half a bin. The samples no longer line up with the zeros but land on the flank of the main lobe and on the sidelobes, so every bin carries a value and the energy spreads across the whole spectrum. The leakage figure in the readout jumps from 0 % to something plainly visible.頻域：sinc 的形狀沒變，只是整條移動了半個 bin。取樣點不再對準零點，而是落在主瓣側面與旁瓣上，所以每個 bin 都有值，能量散到整個頻譜。讀數中的洩漏比例會從 0 % 跳到明顯的數值。周波数領域：sinc の形は変わらず、曲線全体が半 bin だけ動いただけである。標本点はもう零点に合わず、主ローブの斜面とサイドローブの上に落ちるので、どの bin にも値がのることになり、エネルギーはスペクトル全体へ散る。読み出しの漏れの割合は 0 % からはっきりした値へ跳ね上がる。

Ticking dB scale makes it plainer still. On a bin, the other bins sit at $-\infty$ dB — they are exactly zero. Half a bin off, the distant bins are still only $-15$ to $-25$ dB down, the larger $N$ the lower.勾選 dB 刻度會更清楚：頻率在格點上時，其他 bin 是 $-\infty$ dB（完全為零）；偏離半格時，遠處的 bin 仍停在 $-15$ 到 $-25$ dB 之間（$N$ 越大越低）。dB 目盛りにすればさらにはっきりする。格子点上では他の bin は $-\infty$ dB、すなわち厳密に零である。半 bin ずれると、遠方の bin もなお $-15$ から $-25$ dB にとどまる（$N$ が大きいほど低くなる）。

The two views are one thing兩個角度是同一件事二つの見方は同じ一つのことである

The jump at the seam in the time domain and the samples landing on sidelobes in the frequency domain are two descriptions of a single phenomenon:時域的「接縫跳變」和頻域的「取樣點落在旁瓣上」是同一個現象的兩種描述：時間領域の「継ぎ目の跳び」と、周波数領域の「標本点がサイドローブに落ちる」は、一つの現象の二通りの記述である：

This also says why a window works: press the two ends down to 0 and the seam cannot jump wherever the frequency happens to be, so the sidelobes come down of their own accord. A real signal's frequency will almost never land exactly on a bin, which is why spectral analysis in practice is almost always windowed. The word "jump" (discontinuity) here means this: after the DFT has extended the $N$ points periodically, the value at the seam — going from $n = N-1$ on to $n = N$ — disagrees with the value the original signal would really have continued to.這也說明了窗函數為什麼有效：把兩端壓到 0，不論頻率在哪裡，接縫處都不會跳變，旁瓣自然就降低了。實際訊號的頻率幾乎不可能恰好落在格點上，所以實務上做頻譜分析通常都會加窗。這裡說的「跳變」（discontinuity），指的是：DFT 把 $N$ 點週期延伸後，在接縫處（從 $n = N-1$ 接到 $n = N$）的值，和原本訊號真正應該延續下去的值不一致。ここから窓関数が効く理由も見えてくる。両端を 0 まで押し下げれば、周波数がどこにあろうと継ぎ目は跳ばず、サイドローブは自然に下がる。実際の信号の周波数がちょうど格子点に乗ることはまずないので、実務のスペクトル分析はほとんどつねに窓を掛ける。ここでいう「跳び」（不連続）とは次のことである。DFT が $N$ 点を周期的に延長したあと、継ぎ目（$n = N-1$ から $n = N$ へ移るところ）の値が、もとの信号が本来続いていくはずだった値と一致しない。

Defining the jump定義跳びの定義

Write the original continuous signal — or infinitely long sequence — as $x_c$, of which the DFT takes $N$ points, $x[n] = x_c(n)$ for $0 \le n \le N-1$. The periodic extension the DFT implies is設原始的連續訊號（或無限長序列）為 $x_c$，DFT 取其中 $N$ 點 $x[n] = x_c(n)$，$0 \le n \le N-1$。DFT 隱含的週期延伸是もとの連続信号（あるいは無限に長い系列）を $x_c$ と書き、DFT はそのうち $N$ 点 $x[n] = x_c(n)$（$0 \le n \le N-1$）をとるとする。DFT が暗に行う周期延長は

At $n = N$, the point just past the seam:在接縫的下一點 $n = N$：継ぎ目の次の点 $n = N$ では：

• What the periodic extension supplies: $\tilde{x}[N] = x[0] = x_c(0)$週期延伸給出的值：$\tilde{x}[N] = x[0] = x_c(0)$周期延長が与える値：$\tilde{x}[N] = x[0] = x_c(0)$
• What the original signal's next point really is: $x_c(N)$原訊號真正的下一點：$x_c(N)$もとの信号の本当の次の点：$x_c(N)$

The jump is defined as the difference between the two:跳變量定義為兩者的差：跳びの大きさは両者の差として定義する：

When $\Delta \ne 0$ the periodic extension departs at the seam from the course the original signal was taking, and that is what having a jump means.$\Delta \ne 0$ 時，週期延伸在接縫處偏離了原訊號的走勢，就稱為有跳變。$\Delta \ne 0$ のとき、周期延長は継ぎ目でもとの信号の進み方から外れる。これが跳びがあるということである。

Applied to a cosine套用到餘弦余弦に当てはめる

With $x_c(n) = \cos(2\pi r n / N)$,$x_c(n) = \cos(2\pi r n / N)$，則$x_c(n) = \cos(2\pi r n / N)$ とすれば、

Only when $r$ is an integer is $\cos(2\pi r) = 1$, giving $\Delta = 0$. Take $N = 16$:只有當 $r$ 是整數時 $\cos(2\pi r) = 1$，$\Delta = 0$。以 $N = 16$ 為例：$\cos(2\pi r) = 1$、すなわち $\Delta = 0$ となるのは $r$ が整数のときだけである。$N = 16$ でみると：

At $r = 3.5$ the sequence is about $-0.195$ at $n = 15$; following its own course the next point should be $-1$, but the periodic extension jumps straight back to $+1$ — a gap of $\Delta = 2$. The red bar on the upper row of panel ② is exactly that gap. What matters in the table is the last column, not the size of $x[N-1]$ itself: $\Delta$ compares the extension against the true continuation, never against the last sample.$r = 3.5$ 時，序列在 $n = 15$ 約為 $-0.195$，照原本走勢下一點應該是 $-1$，週期延伸卻直接跳回 $+1$，落差 $\Delta = 2$。圖中面板 ② 上排那根紅色直條畫的就是這段落差。表裡真正重要的是最後一欄，而不是 $x[N-1]$ 本身的大小：$\Delta$ 比的是週期延伸與真正的延續，從來不是與最後一個樣本比。$r = 3.5$ では系列は $n = 15$ でおよそ $-0.195$ であり、そのまま進めば次の点は $-1$ のはずだが、周期延長は $+1$ へ直に跳び戻る。差は $\Delta = 2$ である。パネル ② 上段の赤い縦棒が、まさにこの差である。表で重要なのは最後の列であって $x[N-1]$ の大きさそのものではない。$\Delta$ が比べているのは周期延長と本当の続きであり、最後の標本との差ではない。

A stricter statement — the value at the seam is not the whole test更嚴格的說法——只看接縫處的值並不夠より厳密な言い方——継ぎ目の値だけでは判定にならない

Comparing only "the value of the next point" is not the whole story. Put a phase in, $x_c(n) = \cos(2\pi r n/N + \varphi)$, and certain non-integer $r$ paired with a particular $\varphi$ can make $x_c(0) = x_c(N)$ exactly: the values agree while the slopes run in different directions, so the extended course is still wrong.只比較「下一點的值」還不夠完整。例如加上相位 $x_c(n) = \cos(2\pi r n/N + \varphi)$ 時，某些非整數 $r$ 配上特定的 $\varphi$，可能剛好讓 $x_c(0) = x_c(N)$，值相同但斜率方向不同，延伸後的走勢仍然不對。「次の点の値」だけを比べるのでは十分ではない。位相を入れて $x_c(n) = \cos(2\pi r n/N + \varphi)$ とすると、ある非整数の $r$ と特定の $\varphi$ の組み合わせで、ちょうど $x_c(0) = x_c(N)$ となりうる。値は一致しても傾きの向きが異なり、延長後の進み方はやはり正しくない。

The complete condition is therefore that the periodic extension agree with the original signal for every $n$:所以完整的條件是：週期延伸要對所有 $n$ 都和原訊號一致，したがって完全な条件は、周期延長がすべての $n$ でもとの信号と一致することである：

That is, $x_c$ must itself have period $N$. For a sinusoid this is equivalent to a whole number of periods inside the $N$ points. Anything else and a jump is certain to exist — a discontinuity at the seam either in the value or in the slope.也就是 $x_c$ 本身以 $N$ 為週期。對正弦波而言，這等價於 $N$ 點內恰好整數個週期。只要不是，就一定存在跳變（值或斜率在接縫處不連續）。つまり $x_c$ 自身が $N$ を周期にもつということである。正弦波についてはこれは $N$ 点のなかにちょうど整数個の周期が入ることと同値である。そうでなければ、継ぎ目に跳び——値または傾きの不連続——がかならず存在する。

Why a jump leaks為什麼跳變造成洩漏なぜ跳びが漏れを生むのか

A discrete sequence is a set of separate points to begin with; it has no "break" in the sense a continuous function does. The jump here means a sudden departure from the smooth course the original signal was taking.離散序列本來就是一個個分開的點，沒有連續函數那種「斷開」的意思。這裡的跳變指的是相對於原訊號平滑走勢的突然偏離。離散系列はそもそも離れた点の集まりであり、連続関数のような「断ち切れ」をもたない。ここでいう跳びとは、もとの信号のなめらかな進み方からの突然のずれのことである。

A smooth single frequency is interrupted once at every seam. Building a change that abrupt out of sinusoids takes components at many different frequencies, so the energy spreads over many bins — and that is leakage. A window presses the two ends down towards 0, which makes both $x[N-1]$ and $x[0]$ small, and the gap at the seam small with them.一個平滑的單一頻率，在每個接縫處都被打斷一次。要用正弦波組合出這種突然的變化，需要很多不同頻率的成分，所以能量會散到許多 bin 上，這就是洩漏。窗函數把頭尾壓到接近 0，讓 $x[N-1]$ 和 $x[0]$ 都很小，接縫處的落差自然就很小了。なめらかな単一周波数が、継ぎ目ごとに一度ずつ断ち切られる。これほど急な変化を正弦波で組み立てるには多くの異なる周波数の成分が要るので、エネルギーは多数の bin へ散る。これが漏れである。窓関数は両端を 0 近くまで押し下げ、$x[N-1]$ も $x[0]$ も小さくする。それにつれて継ぎ目の差も小さくなる。

What a window does, (i) in the time domain: it flattens the jump at the seam一、時域角度：把接縫處的跳變壓掉窓がすること（一）時間領域——継ぎ目の跳びを押しつぶす

The window $w[n]$ tends to 0 at the two ends and is 1 in the middle, and $x_w[n] = w[n]\,x[n]$ is the product written at the head of this subsection. After the multiplication, the values at both ends of the sequence are pressed down close to 0. In the periodic extension the seam then joins "almost 0" to "almost 0", and whether or not the original sinusoid held a whole number of periods inside the $N$ points, there is no longer an abrupt jump there.窗函數 $w[n]$ 在兩端趨近 0、中間為 1，而 $x_w[n] = w[n]\,x[n]$ 就是本小節開頭那個乘積。乘上之後，序列頭尾的值都被壓到接近 0。週期延伸時，接縫兩側都是「接近 0 接到接近 0」，不論原本的正弦波在 $N$ 點內是不是整數個週期，接縫處都不再有突然的跳變。窓関数 $w[n]$ は両端で 0 に近づき、中央で 1 である。$x_w[n] = w[n]\,x[n]$ は本小節の冒頭に書いた積にほかならない。掛けたあと、系列の先頭と末尾の値はどちらも 0 近くまで押し下げられる。周期延長では継ぎ目の両側が「ほぼ 0」と「ほぼ 0」になるので、もとの正弦波が $N$ 点のなかに整数個の周期をもつかどうかにかかわらず、そこにはもう急な跳びがない。

And the smoother the window, the less the seam can be made out at all, and the faster the leakage falls away:而且窗函數越平滑，接縫處就越「看不出來」，洩漏衰減得越快：さらに、窓がなめらかであるほど継ぎ目は見分けがつかなくなり、漏れの減衰も速くなる：

This is a general rule of Fourier analysis: the smoother the signal, the faster its spectrum decays. Each further derivative made continuous at the seam buys one more order of sidelobe decay. Measured on the window transforms themselves, the slopes come out at $-5.9$, $-11.9$ and $-18.2$ dB per octave for the rectangular, triangular and Hann windows — least squares through the sidelobe peaks between $\omega = 0.02\pi$ and $0.4\pi$ at $N = 256$, which keeps the fit clear of the main lobe at one end and of the fold-back at $\omega = \pi$ at the other.這是傅立葉分析的一般規律：訊號越平滑，頻譜衰減越快。接縫處每多一階導數連續，旁瓣就多衰減一階。直接對視窗本身的變換去量，矩形、三角、Hann 三者的斜率分別是 $-5.9$、$-11.9$、$-18.2$ dB／倍頻——取 $N = 256$，以 $\omega = 0.02\pi$ 到 $0.4\pi$ 之間的旁瓣峰值作最小平方擬合，一端避開主瓣，另一端避開 $\omega = \pi$ 處的折返。これはフーリエ解析の一般則である。信号がなめらかであるほど、スペクトルの減衰は速い。継ぎ目で連続な導関数が一階増えるごとに、サイドローブの減衰も一階ぶん増える。窓そのものの変換で測ると、傾きは矩形窓 $-5.9$、三角窓 $-11.9$、Hann 窓 $-18.2$ dB／オクターブとなる。$N = 256$ とし、$\omega = 0.02\pi$ から $0.4\pi$ のあいだのサイドローブ頂点を最小二乗で当てはめたもので、一方の端では主ローブを、他方の端では $\omega = \pi$ での折り返しを避けてある。

What a window does, (ii) in the frequency domain: convolve with a $W$ whose sidelobes are lower二、頻域角度：用旁瓣較低的 $W$ 來摺積窓がすること（二）周波数領域——サイドローブの低い $W$ で畳み込む

Multiplication in time is convolution in frequency — the equation at the head of this subsection. Window a sinusoid of a single frequency $\omega_0$ and its spectrum is simply the window's spectrum shifted there:時域相乘對應頻域摺積，也就是本小節開頭那條式子。單一頻率 $\omega_0$ 的正弦波加窗後，頻譜就是窗頻譜平移過去：時間領域の積は周波数領域の畳み込みである——本小節の冒頭の式がそれである。単一周波数 $\omega_0$ の正弦波に窓を掛ければ、スペクトルは窓のスペクトルをそこへ平行移動したものになる：

What the DFT sees is that curve, sampled on the grid.DFT 看到的，就是這條曲線在格點上的取樣。DFT が見ているのは、この曲線を格子点の上で標本化したものである。

• The rectangular window's $W$ is the periodic sinc: high sidelobes, about $-13$ dB, and a slow descent. With the frequency off the bins the samples land on those sidelobes and the leakage is plain.矩形窗的 $W$ 是週期性 sinc，旁瓣高（約 $-13$ dB）且下降慢。頻率不在格點上時，取樣點落在旁瓣上，洩漏很明顯。矩形窓の $W$ は周期 sinc であり、サイドローブが高く（約 $-13$ dB）、下がり方も遅い。周波数が格子点から外れると標本点がサイドローブの上に落ち、漏れがはっきり出る。
• Hann and its kind have a $W$ with far lower sidelobes — from about $-31$ dB, and falling fast. Even when a sample does land on a sidelobe, the value it picks up is small.Hann 等窗的 $W$ 旁瓣低得多（約 $-31$ dB 起，而且快速下降）。即使取樣點落在旁瓣上，取到的值也很小。Hann などの窓の $W$ はサイドローブがはるかに低い（約 $-31$ dB から始まり、しかも急速に下がる）。標本点がサイドローブに落ちたとしても、拾われる値は小さい。

A window does not make the problem of the frequency being off the bins go away. It makes the sidelobes themselves small, so it no longer matters where the samples land.窗函數並沒有讓「頻率不在格點上」的問題消失，而是把旁瓣本身做小，所以取樣點落在哪裡都沒關係。窓関数は「周波数が格子点に乗らない」という問題を消すわけではない。サイドローブそのものを小さくするので、標本点がどこに落ちても構わなくなるのである。

The price代價代償

Pressing the ends down is the same as shortening the effective length, so the main lobe widens — Hann's is about twice the rectangular one — and two close frequencies become harder to separate. That is the whole subject of §8.7.3. The peak drops as well: Hann's coherent gain measures $0.484$, about half the rectangular window's, so an amplitude read off the spectrum has to be multiplied back by a correction factor.兩端被壓低，等於有效長度變短，所以主瓣變寬（Hann 約為矩形的 2 倍），兩個很接近的頻率較難分開——這正是 §8.7.3 整節在談的事。另外峰值也會降低（Hann 的相干增益量得 $0.484$，約為矩形的一半），量振幅時要乘回修正係數。両端を押し下げることは実効的な長さを縮めることに等しいので、主ローブは広がり（Hann は矩形のおよそ 2 倍）、近接した二つの周波数は分離しにくくなる。これはまさに §8.7.3 が一節をかけて論じている事柄である。さらに頂点も下がる。Hann のコヒーレント利得は測ると $0.484$ で、矩形窓のおよそ半分であるから、振幅を読むときは補正係数を掛け戻す必要がある。

The convolution made visible把那個摺積畫出來その畳み込みを目に見えるかたちにする

The equation at the head of this subsection states the whole mechanism, but it states it in one line. Unpack it for a spectrum made of pure lines. If $x[n]$ is a sum of complex exponentials at $\omega_1, \omega_2, \ldots$ with amplitudes $A_1, A_2, \ldots$, its spectrum is a row of impulses; and convolving a row of impulses with $W$ does nothing but drop a copy of $W$ onto each of them:本小節開頭那條式子已經把整個機制說完了，只是壓成了一行。把它對純譜線的情形展開來看。若 $x[n]$ 是一些複指數之和，頻率為 $\omega_1, \omega_2, \ldots$、振幅為 $A_1, A_2, \ldots$，其頻譜就是一排脈衝；而一排脈衝與 $W$ 做摺積，所做的事情不過是把 $W$ 的一份複本放到每一根脈衝上：本小節の冒頭の式は機構のすべてを述べているが、それを一行に圧縮して述べている。純粋なスペクトル線からなるスペクトルについて、これを展開してみる。$x[n]$ が周波数 $\omega_1, \omega_2, \ldots$、振幅 $A_1, A_2, \ldots$ の複素指数関数の和であれば、そのスペクトルはインパルスの列である。そしてインパルスの列と $W$ との畳み込みがすることは、$W$ の複製をその一本ごとに置くこと以外にない：

So the leakage picture is not a vague blur. It is a finite sum of copies of one fixed curve — the window's own transform — each copy centred on a frequency that is genuinely present and scaled by that line's amplitude. Everything a window does to a spectrum follows from the shape of that single curve. How wide its main lobe is decides whether two nearby lines keep two peaks or run together into one; how far its sidelobes reach decides whether a weak line far away survives or disappears under the tails of the strong ones. Resolution and leakage are two readings of the same curve.所以洩漏的樣子並不是一團含糊的模糊。它是同一條固定曲線的有限多份複本之和——那條曲線就是視窗自己的頻譜——每一份都以一個真實存在的頻率為中心，並依該譜線的振幅縮放。視窗對頻譜所做的一切，都是這一條曲線的形狀決定的。主瓣有多寬，決定兩根靠近的譜線還能不能保有兩個峰、還是併成一個；旁瓣伸得多遠，決定遠處一根微弱的譜線是活下來、還是被強譜線的拖尾淹沒。解析度與洩漏，是同一條曲線的兩種讀法。したがって漏れの姿は、漠然としたぼけではない。それは一本の固定した曲線の、有限個の複製の和である —— その曲線とは窓自身の変換であり、複製はそれぞれ実在する周波数を中心とし、その線の振幅で拡大縮小されている。窓がスペクトルに対して行うことはすべて、この一本の曲線の形から従う。主ローブの幅は、近接する二本の線が二つの山を保つか一つに溶け合うかを決める。サイドローブの届く範囲は、遠方の弱い線が生き残るか強い線の裾に消えるかを決める。分解能と漏れは、同じ曲線の二通りの読み方である。

The figure takes the window chosen on the buttons, draws its transform once on its own, and then puts three lines through it: two of equal height a distance $\Delta\omega$ apart, and one weak line far off at $\omega_1$, about $34$ dB down. The window is taken centred on $n = 0$ rather than running from $0$ to $N-1$; that costs only the linear phase $e^{-j\omega(N-1)/2}$, which no magnitude plot shows anyway, and in exchange $W$ is real, so the copies really can be added as drawn. $N$ is odd for the same reason — it keeps the centred indices whole. Everything but the first panel is in dB.圖中取按鈕上選定的視窗，先單獨畫一次它的頻譜，再讓三根譜線穿過它：兩根等高、相距 $\Delta\omega$，以及遠處一根微弱的譜線，位在 $\omega_1$，大約低 $34$ dB。這裡的視窗取成以 $n = 0$ 為中心，而不是從 $0$ 排到 $N-1$；代價只是一個線性相位 $e^{-j\omega(N-1)/2}$，而振幅圖本來就看不到它，換來的是 $W$ 為實數，於是那些複本真的可以照畫出來的樣子相加。$N$ 取奇數也是同一個理由——這樣置中之後的索引才是整數。除了第一個面板之外，其餘都是 dB 刻度。図はボタンで選んだ窓を取り、その変換をまず単独で一度描き、そこへ三本の線を通す。等しい高さの二本が $\Delta\omega$ だけ離れて並び、遠方に弱い線が一本、$\omega_1$ におよそ $34$ dB 下がって置かれている。窓は $0$ から $N-1$ へ並べるのではなく $n = 0$ を中心に取ってある。その代償は線形位相 $e^{-j\omega(N-1)/2}$ だけであり、振幅の図にはもともと現れない。引き換えに $W$ は実数になり、複製は図のとおりに足し合わせられる。$N$ を奇数にしてあるのも同じ理由で、中心に取った添字が整数のままになる。最初の面板以外はすべて dB 目盛りである。

Reading the five panels五個面板怎麼看五つの面板の読み方

• ① and ② are one window seen twice, the taper in time and its transform in frequency. Move $N$ and the transform narrows in exact proportion: the measured null-to-null width holds at exactly $4\pi/N$ for the rectangular window at every $N$, and settles towards $8\pi/N$ for all three tapers. The measured peak sidelobe settles towards $-13.2$, $-26.5$, $-31.5$ and $-42.5$ dB, which is the table at the head of this subsection as textbooks round it — §8.7.3 makes that same remark about the Hamming entry. At small $N$ the measurement drifts further off still, those entries being large-$N$ limits: at $N = 11$ the Hamming sidelobe measures only $-36.7$ dB.① 與 ② 是同一個視窗看兩次：時域的漸縮形狀，以及它在頻域的頻譜。拖動 $N$，頻譜會等比例變窄：實測的零點到零點寬度，矩形窗在任何 $N$ 下都恰好是 $4\pi/N$，三種漸縮窗則趨近 $8\pi/N$。實測的最高旁瓣分別趨近 $-13.2$、$-26.5$、$-31.5$、$-42.5$ dB，也就是本小節開頭那張表經教科書四捨五入之後的樣子——§8.7.3 對 Hamming 那一格也說了同樣的話。$N$ 很小時偏離更大，因為表中的數字是 $N$ 很大時的極限：$N = 11$ 時 Hamming 的旁瓣只量到 $-36.7$ dB。① と ② は同じ窓を二度見たものである。時間領域での先細りと、周波数領域でのその変換である。$N$ を動かすと変換はきっちり比例して狭くなる。実測した零点から零点までの幅は、矩形窓ではどの $N$ でも正確に $4\pi/N$ であり、三つの先細り窓ではいずれも $8\pi/N$ へ落ち着く。実測の最大サイドローブは $-13.2$、$-26.5$、$-31.5$、$-42.5$ dB へ落ち着く。これは本小節の冒頭の表を教科書流に丸める前の姿であり、Hamming の欄については §8.7.3 も同じ指摘をしている。$N$ が小さければずれはさらに大きい。表の値が $N$ の大きい極限だからであり、$N = 11$ では Hamming のサイドローブは $-36.7$ dB しかない。
• ④ is the equation, drawn. The three curves are the single curve of ② laid down three times: translated horizontally to $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, and translated vertically by $20\log_{10}A_i$. Nothing about the shape changes between them, because nothing in the convolution changes it — only where each copy sits and how tall it is.④ 就是那條式子畫出來的樣子。三條曲線都是 ② 那一條曲線鋪了三次：水平平移到 $\omega_1$、$\omega_2$、$\omega_3$，垂直平移 $20\log_{10}A_i$。它們的形狀完全沒有差別，因為摺積裡沒有任何東西會改變它——會變的只有每一份複本放在哪裡、有多高。④ は式をそのまま描いたものである。三本の曲線は ② の一本の曲線を三度敷いたものにすぎない。水平には $\omega_1$、$\omega_2$、$\omega_3$ へ、垂直には $20\log_{10}A_i$ だけ平行移動してある。形はどれも変わらない。畳み込みの中にそれを変えるものがないからである。変わるのは、それぞれの複製がどこに置かれ、どれだけ高いか、それだけである。
• ⑤ adds them, and that is where both failures appear. Where two main lobes overlap, the sum has one peak where the truth had two. Where the tails of the strong pair sweep past $\omega_1$, they set a floor; the red dashed line is the weak line's own height, and whether it is above or below that floor is the whole of the leakage question. The readout measures both, for whatever state the controls are in.⑤ 把它們加起來，兩種失敗都在這裡現形。兩個主瓣重疊的地方，真實有兩根譜線，和卻只剩一個峰。強譜線的拖尾掃過 $\omega_1$ 的地方，則架起一層底；紅色虛線是那根弱譜線自身的高度，它在這層底之上還是之下，就是洩漏問題的全部。下方的讀數會依目前的設定把兩者都量出來。⑤ はそれらを足し合わせる。二つの失敗が現れるのはここである。二つの主ローブが重なるところでは、真には二本あったのに和の山は一つになる。強い二本の裾が $\omega_1$ を通り過ぎるところでは、それが床を張る。赤い破線は弱い線自身の高さであり、それがこの床の上にあるか下にあるかが、漏れの問題のすべてである。下の読み出しは、いまの設定についてその両方を実測して示す。

What to move可以動動看動かしてみるもの

• $\Delta\omega$, with the rectangular window. At $N = 33$ the two strong lines separate into two peaks as soon as $\Delta\omega$ passes about $0.27$ rad, which is $1.4$ times the measured main-lobe half width of $0.190$ rad. Below that there is one peak and no amount of looking will find two. The main lobe is not a cosmetic blur; it is a hard floor on what the window can tell apart.在矩形窗下拖動 $\Delta\omega$。$N = 33$ 時，$\Delta\omega$ 一越過約 $0.27$ rad，兩根強譜線就分成兩個峰；這個值是實測主瓣半寬 $0.190$ rad 的 $1.4$ 倍。低於此值就只有一個峰，再怎麼看也看不出兩個。主瓣不是裝飾性的模糊，它是這個視窗能分辨什麼的硬性下限。矩形窓のまま $\Delta\omega$ を動かす。$N = 33$ では、$\Delta\omega$ がおよそ $0.27$ rad を越えた途端に、強い二本は二つの山に分かれる。これは実測した主ローブ半幅 $0.190$ rad の $1.4$ 倍である。それを下回れば山は一つきりで、どれほど目を凝らしても二つは見つからない。主ローブは見かけのぼけではない。その窓が何を区別できるかの、動かしがたい下限である。
• The window buttons, at $N = 33$ and $\Delta\omega = 0.30$. The rectangular window keeps the two peaks apart, but its tails reach $-26.8$ dB at $\omega_1$, which buries that line's own $-34.0$ dB by $7.2$ dB. Press Hamming and the pair merges — its main lobe runs $0.410$ rad to the first null, wider than the gap — but the tails at $\omega_1$ now measure $-43.2$ dB, so the weak line stands $9.2$ dB clear. One window reads the pair and loses the weak line; the other reads the weak line and loses the pair. That is the concept box above with both halves measured at once, and §8.7.3 is where the same contest is run on a realistic spectrum.在 $N = 33$、$\Delta\omega = 0.30$ 下按按鈕換窗。矩形窗保住了兩個峰，但它的拖尾在 $\omega_1$ 處達到 $-26.8$ dB，把那根譜線自身的 $-34.0$ dB 蓋過了 $7.2$ dB。改按 Hamming，那一對就併掉了——它的主瓣到第一個零點有 $0.410$ rad，比間距還寬——但 $\omega_1$ 處的拖尾此時實測 $-43.2$ dB，弱譜線高出 $9.2$ dB，站得住。一個視窗讀得到那一對、卻丟掉弱譜線；另一個讀得到弱譜線、卻丟掉那一對。這就是上面那個觀念方塊，兩邊同時被量出來；§8.7.3 則把同一場比賽放到較接近實際的頻譜上去跑。$N = 33$、$\Delta\omega = 0.30$ のままボタンで窓を替える。矩形窓は二つの山を保つが、その裾は $\omega_1$ で $-26.8$ dB に達し、そこにある線自身の $-34.0$ dB を $7.2$ dB 分だけ覆い隠す。Hamming を押せば二本は溶け合う —— 主ローブは最初の零点まで $0.410$ rad あり、間隔より広い —— が、$\omega_1$ での裾はこんどは $-43.2$ dB と実測され、弱い線は $9.2$ dB の余裕をもって立つ。一方の窓は二本組を読めて弱い線を失い、他方は弱い線を読めて二本組を失う。これが上の概念の囲みを両側とも同時に実測したものであり、同じ勝負をより現実的なスペクトルの上で走らせるのが §8.7.3 である。
• $N$, with anything selected. Raising $N$ narrows every copy in proportion and never makes the sidelobes worse: the rectangular level is pinned near $-13$ dB at every $N$, and Hamming’s improves outright, from $-36.7$ dB at $N = 11$ to $-42.5$ dB at $N = 65$. So $N$ is the one move that does not have to be paid for out of the other column — which is exactly what the concept box means by saying the only way to win on both axes is to increase $N$.不管選哪個窗，拖動 $N$。把 $N$ 調大，每一份複本都等比例變窄，而旁瓣絕不會變差：矩形窗在任何 $N$ 下都釘在 $-13$ dB 附近，Hamming 甚至是變好的，從 $N = 11$ 的 $-36.7$ dB 走到 $N = 65$ 的 $-42.5$ dB。所以 $N$ 是唯一一個不必從另一欄裡付帳的動作——觀念方塊說「兩邊都要贏，唯一的辦法是把 $N$ 加大」，講的就是這件事。どの窓を選んでいても $N$ を動かす。$N$ を上げれば、どの複製も比例して狭くなり、サイドローブが悪くなることは決してない。矩形窓の水準はどの $N$ でも $-13$ dB 近辺に釘付けされ、Hamming に至っては $N = 11$ の $-36.7$ dB から $N = 65$ の $-42.5$ dB へと良くなる。だから $N$ だけが、もう一方の欄から代金を払わずに済む操作である —— 両方の軸で勝つ唯一の方法は $N$ を増やすことだ、と上の概念の囲みが言っているのは、まさにこれである。

The two knobs in one figure互動圖：兩個旋鈕放在同一張圖裡二つのつまみを一枚の図に

The figure below puts both matters into one picture. Set the window to "rectangular (no window)" and drag the frequency $r$, or press either button, and what is on show is bin alignment alone. Switch to triangular, Hann or Hamming and the grey trace stays as the unwindowed reference while the blue one becomes the windowed result. The two knobs turn independently, so the relation between "misalignment causes leakage" and "a window suppresses it" can be watched directly, instead of meeting two demonstrations that merely look alike.下圖把兩件事放在同一張圖裡。先把視窗選成「矩形（不加窗）」，拖動頻率 $r$ 或按那兩個按鈕，看的就只是格點對不對齊這一件事；再換成三角形、Hann 或 Hamming，灰色那一份仍然是不加窗的對照，藍色那一份就是加窗以後的結果。兩個旋鈕可以各自轉，所以「不對齊造成洩漏」與「加窗壓低洩漏」之間的關係是直接看得到的，而不是兩個長得很像的示範。下の図は二つの事柄を一枚にまとめたものである。まず窓を「矩形（窓なし）」にして周波数 $r$ を動かすか、二つのボタンを押してみれば、見えているのは格子点に合うかどうかという一事だけである。つぎに三角窓、Hann、Hamming へ切り替えれば、灰色は窓なしの対照のまま残り、青が窓を掛けた結果になる。二つのつまみは別々に回せるので、「ずれが漏れを生む」ことと「窓が漏れを抑える」ことの関係を直接見てとれる。よく似た二つのデモに出会うのではなく、である。

What the figure shows圖中可以看到的図から読みとれること

① The window. The grey horizontal line is "no window", which is the rectangular window. The blue curve is the window chosen, falling to near 0 at both ends.① 窗函數：灰色水平線是「不加窗」，等於矩形窗。藍色是所選的窗，兩端降到接近 0。① 窓関数。灰色の水平線が「窓なし」、すなわち矩形窓である。青は選んだ窓であり、両端で 0 近くまで下がる。

② The periodic extension — the time-domain view.② 週期延伸（時域角度）：② 周期延長——時間領域からの見方。

• Upper row, no window. With the frequency off the bins there is a plain gap at the seam — the red bar, carrying the value of $\Delta$ itself. That is the jump. The dashed curve is the true continuous cosine, and the lower end of the red bar sits on it.上排（不加窗）：頻率不在格點上時，接縫處有明顯落差（紅色直條，上面標的就是 $\Delta$ 的值），這就是跳變。虛線是真正的連續餘弦，紅條的一端就落在它上面。上段（窓なし）。周波数が格子点から外れていると、継ぎ目にはっきりした差が出る。赤い縦棒であり、$\Delta$ の値そのものが添えてある。これが跳びである。破線は真の連続余弦で、赤い棒の一端はその上にのっている。
• Lower row, windowed. The same signal multiplied by the window: both ends pressed down to near 0, the two sides of the seam all but touching (the green segment), the gap close to 0.下排（加窗）：同一個訊號乘上窗之後，頭尾都被壓到接近 0，接縫兩側幾乎接在一起（綠線），落差接近 0。下段（窓あり）。同じ信号に窓を掛けたもの。先頭と末尾は 0 近くまで押し下げられ、継ぎ目の両側はほとんど接しており（緑の線分）、差は 0 に近い。

③ The spectrum — the frequency-domain view.③ 頻譜（頻域角度）：③ スペクトル——周波数領域からの見方。

• Grey, no window. High sidelobes, the distant DFT points landing at roughly $-15$ to $-21$ dB.灰色（不加窗）：旁瓣高，遠處的 DFT 點大約落在 $-15$ 至 $-21$ dB。灰色（窓なし）。サイドローブが高く、遠方の DFT 点はおよそ $-15$ から $-21$ dB にある。
• Blue, windowed. Far lower sidelobes, falling faster the further out one goes. Measured at $N = 32$ and $r = 4.5$ under a Hann window, the distant points lie between $-41$ and $-77$ dB. The leakage figure in the readout differs by tens of dB too: $-12.0$ dB against $-40.2$ dB.藍色（加窗）：旁瓣低很多，而且越往外掉得越快；以 $N = 32$、$r = 4.5$、Hann 窗量得遠處的點在 $-41$ 至 $-77$ dB 之間。讀數中的洩漏能量比例也會差上幾十 dB：$-12.0$ dB 對 $-40.2$ dB。青（窓あり）。サイドローブははるかに低く、外へ行くほど速く落ちる。$N = 32$、$r = 4.5$、Hann 窓で測ると、遠方の点は $-41$ から $-77$ dB のあいだにある。読み出しの漏れの割合も数十 dB 違う。$-12.0$ dB に対し $-40.2$ dB である。
• At the same time the blue main lobe is visibly wider than the grey one. That is what the window costs.同時可以看到藍色的主瓣比灰色寬，這就是加窗的代價。同時に、青の主ローブが灰色より広いことも見える。これが窓の代償である。